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重庆市南开中学校2025-2026学年下学期九年级数学（八）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列各数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列汉服纹样中，属于中心对称图形的是（ ）
A．如意纹 B．凤纹 C．龙纹 D．忍冬纹
3．磁器口古镇为了解游客对特色小吃的喜爱程度，对前来游玩的名游客随机抽取名游客进行调查，下列说法正确的是（ ）
A．该调查方式是全面调查 B．样本容量是
C．名游客是总体的一个样本 D．名游客是总体
4．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．如图，四边形与四边形位似，点为它们的位似中心，且四边形与四边形的周长之比为，则为（ ）
A． B． C． D．
6．如图是某种分子的结构模型图，它由空心小球和实心小球按如图所示的方式排列．第个图形共有个小球，第个图形共有个小球，第个图形共有个小球按照这一规律，第个图形中小球的个数是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，四边形内接于，已知，为上一点，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，则应邀请（ ）个球队参加比赛．
A．6 B．7 C．8 D．9
9．如图，在边长为的正方形中，点为正方形外部一点，连接、、、，线段、分别交边于点、，将沿翻折至正方形所在平面内，使得点的对应点恰好落在线段上，若，则的面积为（ ）
A． B． C． D．
10．已知整式：，其中为正整数，，，…，均为整数，且满足，记：，为偶数．下列说法：
①若，，则满足条件的整式共有2个，其中有1个单项式；
②若，且函数的图象与轴有交点，则满足条件的整式共有8个；
③若，，，则满足条件的整式共有9个．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．不透明袋子中有2个红球、5个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球，则摸出白球的概率是______．
12．如图，，射线交于点，交于点，射线交于点，若，，则______．
13．若为正整数，且满足，则______．
14．若实数，同时满足，，则______．
15．如图，是的直径，点在上，连接，以为边作平行四边形，交于点，交于点，连接，交于点，连接、，若，，，则的长度为______．
16．我们规定，若一个四位正整数的各个数位数字互不相同，且满足千位数字比百位数字大4，则称这个四位数为“差四数”．例如：四位数7306，因为，所以7306是“差四数”．按照这个规定，最小的“差四数”是______．一个“差四数”，记，若被33整除，且是完全平方数，则所有满足条件的正整数M的和是______．
三、解答题
17．求不等式组：的所有整数解．
解：解不等式得______，
解不等式得______，
所以，原不等式组的解集为______，
所以，原不等式组的整数解为______．
18．在学习了三角形的中线和重心后，数学小组进行了更深入的研究，他们发现，三角形的重心到一个顶点的距离等于它到该顶点对边中点距离的两倍，可利用三角形全等和平行线的相关知识得到此结论．
请你根据他们的想法和思路，完成以下作图和推理填空：
(1)如图，的两条中线和交于点．请你利用尺规作图，在下方作，延长交于点（不写作法，保留作图痕迹）；
(2)在（1）的条件下，证明：．
证明：，是的中线，
，．
在和中，
，
．
② ．
．
③ ，
，
④ ．
即．
．
19．先化简，再求值：，其中．
20．某银行为了解客户等候时长，从甲、乙两个网点各随机抽取20名客户，调查了他们办理业务的排队时间（单位：分钟），随后进行整理、分析（时间用表示，并分为四组：，，，），下面给出了部分信息：
甲网点20名客户排队时间为：5，10，15，18，25，28，29，30，30，30，32，34，35，36，38，40，46，50，54，55．
乙网点20名客户排队时间在组中的数据是：31，32，32，35，36，38，40，42．
扇形统计图中，组数据所对圆心角度数为．
甲、乙两网点抽取客户排队时间统计表
甲网点 乙网点
平均数 32.5 32.5
众数 32
中位数 31
(1)填空______，______，______；
(2)根据以上数据，你认为甲、乙两个网点哪个网点办理业务更快捷？请说明理由（写出一条即可）；
(3)若一周内，在甲网点办理业务的客户为700名，在乙网点办理业务的客户为960名，根据以上信息，估计这周内在两个网点办理业务排队时间不高于30分钟的客户共有多少名？
21．列方程解下列问题：
“辉煌九秩，筑梦百年”，在建校90周年之际，九年级学生君君制作了一批手工艺品送给母校作纪念，每一件工艺品都包含一个礼盒和三张礼卡，已知材料可制作10个礼盒或50张礼卡，她现有材料，材料刚好全部用完并且制作出来的礼卡和礼盒刚好全部配套．
(1)该同学可制作多少件工艺品？
(2)首批工艺品投入使用后广受好评，学校计划从企业定制“日新”、“月异”两款书签回馈校友.已知每个“月异”款书签比每个“日新”款书签少元，用4500元购进“月异”款书签的数量，比用4000元购进“日新”款书签的数量多，求每个“月异”款书签的价格是多少元？
22．如图，矩形的对角线、交于点，，，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，到达点时停止运动，连接，点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿方向匀速运动，至点处停止．两点同时出发，设运动时间为秒（），连接，点与点之间的距离为，的面积为，的面积为，．
(1)请直接写出、关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围；
(2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数，的图象，并分别写出函数，的一条性质；
(3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）．
23．为助力乡村振兴与智慧农业发展，某智慧农场采用“地面巡检车+低空植保无人机”协同作业模式检测作物生长情况．如图，点，，，在同一平面内，已知点在点的正北方向，点在点的北偏东方向，且在点的东北方向，点在点正东方向，且在点的正南方向处．（参考数据：，，）
(1)求的长度（结果保留根号）；
(2)无人机从点出发沿往处行进检测作物生长情况，巡检车从点出发沿往处行进检测作物生长情况，无人机行进一段路程后发现作物生长数据异常，于是将数据同时传输给指挥中心与巡检车（数据传输瞬时完成），此时无人机行进的路程与无人机到指挥中心的直线距离之比为，且无人机到巡检车的直线距离恰好等于无人机到指挥中心的直线距离，请问无人机传输数据时，巡检车距离指挥中心多少千米？（结果保留小数点后两位）
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，两点，交轴于点，抛物线的对称轴是直线．
(1)求抛物线的表达式；
(2)点是直线上方对称轴左侧抛物线上一动点，过点作轴交抛物线于点，作于点，过点作轴，且垂足为，点，为线段上的动点（点在点的下方），且，连接，．当取得最大值时，求点的坐标及的最小值；
(3)在（2）中取得最大值的条件下，连接交线段于点，将抛物线沿射线方向平移个单位长度，记点平移后的对应点为点．点为新抛物线上的一个动点，当时，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
25．如图，在中，点是边上一点（不与端点重合），连接．
(1)如图1，，，线段的垂直平分线交于点，连接，若，求的度数；
(2)如图2，若点是的中点，将线段绕点逆时针旋转至，使得，连接．以为斜边在上方作，且满足，连接，交的延长线于点．用等式表示线段、、的数量关系并证明；
(3)如图3，，，，点是的中点，点是直线上一动点，连接，，将绕点顺时针旋转得到，连接，点是直线上一动点，连接．在点的运动过程中，当取得最小值时，在平面内将沿直线翻折得到，连接．在点的运动过程中，直接写出的最大值．
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页

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