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河南省郑州市2026届高三下学期三模数学考试题卷
一、单选题：总共8小题，每小题5分，共40分，每小题有四个选项，只有一个正确
1．已知 ，则sinacosa=（　　）
A． B． C． D．
2．已知，“”是“”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
3．数列的前项和为，若，且，则（　　）
A．81 B．54 C．32 D．
4．某快递驿站随机记录了7天代收快递的件数，如下表：
天/第 1 2 3 4 5 6 7
件数 285 367 463 290 335 719 698
已知该驿站每代收1件快递收取0.8元服务费，据此样本数据，估计该驿站每月（按30天计算）收取的服务费是（单位：元）（　　）
A．8808 B．9696 C．10824 D．11856
5．若复数满足，则（　　）
A． B． C． D．
6．设A，B是平面上距离为4的两个定点，若该平面上的动点P满足||PA|-|PB||=3，则P点的轨迹是（）
A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线
7．已知函数，若恒成立，且，则的单调递增区间为（　　）
A．（）
B．（）
C．（）
D．（）
8． 已知椭圆：的左焦点为，如图，过点作倾斜角为的直线与椭圆交于，两点，为线段的中点，若（为坐标原点），则椭圆的离心率为（　　）
A． B． C． D．
9．设函数，则（　　）
A．是偶函数 B．
C．在区间上单调递增 D．为的极小值点
10．如图，在正方体中，为的中点（　　）
A．平面
B．
C．若正方体的棱长为1，则点到平面的距离为
D．直线与平面所成角的正弦值为
11．已知函数与，记，其中，且，则（　　）
A．一定为周期函数
B．若，则在上总有零点
C．可能为偶函数
D．在区间上的图象过3个定点
三、填空题：本题3小题，每小题5分，共15分。
12．已知一组数据：10，11，12，13，13，14，15，16，记这组数据的第60百分位数为a，众数为b，则a和b的大小关系是　 　.(用“<”，“>”，“=”连接)
13．已知，其中，若且，当时，的最大值是　 　 ；
14．已知函数 对任意的 都有 ，若 的图象关于直线 对称，且 ，则 　 　．
四、解答题本题共5小题，共77分，解答应文字说明，证明过程或演算步骤
15．已知椭圆C的中心在坐标原点，左顶点，离心率，F为右焦点，过焦点F的直线交椭圆C于P Q两个不同的点.
（1）求椭圆C的方程；
（2）当时，求直线PQ的方程；
（3）设线段PQ的中点在直线上，求直线PQ的方程.
16．某社区拟对该社区内8000人进行核酸检测，现有以下两种核酸检测方案：
方案一：4人一组，采样混合后进行检测；
方案二：2人一组，采样混合后进行检测；
若混合样本检测结果呈阳性，则对该组所有样本全部进行单个检测；若混合样本检测结果呈阴性，则不再检测.
（1）某家庭有6人，在采取方案一检测时，随机选2人与另外2名邻居组成一组，余下4人组成一组，求该家庭6人中甲，乙两人被分在同一组的概率；
（2）假设每个人核酸检测呈阳性的概率都是0.01，每个人核酸检测结果相互独立，分别求该社区选择上述两种检测方案的检测次数的数学期望.以较少检测次数为依据，你建议选择哪种方案？
（附：，）
17．如图，四边形是正方形，平面，，，，F为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求二面角的大小．
18．已知 分别是椭圆 的左 右焦点， 为椭圆的上顶点， 是面积为4的直角三角形.
（1）求椭圆 的方程；
（2）设圆 上任意一点 处的切线 交椭圆 于点 ，问： 是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由.
19．已知函数，．
（1）对任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（2）设方程在区间内的根从小到大依次为，，…，，…，求证：．
答案解析部分
1．【答案】D
2．【答案】B
3．【答案】B
4．【答案】C
5．【答案】C
6．【答案】C
7．【答案】D
8．【答案】B
9．【答案】B,D
10．【答案】A,B,C
11．【答案】A,B,D
12．【答案】=
13．【答案】49
14．【答案】3
15．【答案】（1）解：由题意设椭圆方程为，
因为左顶点，离心率，所以，，，
，所以椭圆的方程为；
（2）解：由（1）知，
设直线PQ的方程为，，
与椭圆方程联立，整理得
，，
所以，
，
解得，，
所以直线PQ的方程为或；
（3）解：设直线PQ的方程为，，
由（2）知，，
因为在直线上，所以，
即，解得，所以，
所以直线PQ的方程为.
16．【答案】（1）解：记该家庭6人中甲，乙两人被分在同一组为事件A，
则
（2）解：每个人核酸检测阳性概率为0.01，则每个人核酸检测呈阴性的概率为0.99，
若选择方案一进行核酸检测，记小组4人的检测次数为，则可能取值为1，5，其分布列为：
1 5
P
则选择方案一，小组4人的检测次数期望为，
于是得该社区对8000人核酸检测总次数的期望为，
若选择方案二，记小组2人的检测次数为，则可能取值为1，3，其分布列为：
1 3
P
，
于是得该社区8000人进行核酸检测总次数的期望，
显然，所以建议选择方案一.
17．【答案】（1）证明：依题意，平面，且四边形是正方形
以A为原点，分别以的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系．
则，，，，，，
取的中点M，连接EM．
，则，
∴，∴，
∵平面平面，∴平面．
（2）解：，F为PD的中点，
则，，，
又，平面，故为平面的一个法向量，
设平面的法向量为，因为，
，即，令，得，，
故．
设二面角的大小为，则，
由图知，所求二面角为钝角，所以二面角的大小是
18．【答案】（1）解：由 为直角三角形，故 ，
又 ，
可得
解得
所以 ，
所以椭圆 的方程为
（2）解：当切线 的斜率不存在时，其方程为
将 代入 ，得 ，不妨设 ， ，又
所以
同理当 时，也有 .
当切线 的斜率存在时，设方程为 ，
因为 与圆 相切，
所以
即 ，
将 代入 ，
得 ，
所以
又
，
又
，
将 代入上式，得 ，
综上，
19．【答案】（1）解：因为，
所以，
对任意的，恒成立，
则对任意的恒成立，
当时，则对任意的恒成立；
当时，，
则，
令，其中，
则
且不恒为零，
所以，函数在上单调递增，则，
所以，
综上所述，．
（2）证明：由，可得，
令，
则．
因为，
则，
所以，，
所以，函数在上单调递减，
因为又因为，
所以，存在唯一的，使得．
所以，，
则，
所以，
，
因为函数在上单调递减，
所以，
则．
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