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9.1.1 课时1 正弦定理
第九章 解三角形
如图，小明的家坐落在河岸的一侧A处，河的对岸B处有一座电视塔，在电视塔的同一岸选取一点C，且借助红外测距仪测量出了BC的长，也通过测角仪得到了 与 的大小，在不借助测量工具的情况下，你能借助已知的这三个量，求出小明家与电视塔的距离AB的长吗？
1.通过对三角形面积公式的探索，推导并理解正弦定理.
2.掌握正弦定理的适用条件，能用正弦定理解决简单的问题.
探究：正弦定理.
（1）如图，已知 中，已知 ，如何求出这个三角形的面积？
如图所示，在 中，过A作BC边上的高AD，
在 中，由正弦的定义可知：
因此三角形的面积为：
D
（2）在上述 中，若已知边a、c及其夹角B，则三角形的面积如何表示？若已知边b、c及其夹角A，则三角形的面积又如何表示？
c
当C为钝角时，如下图所示，仍设△ABC 的BC边上的高为AD，则可知
因此仍 有成立；
思考：若C不是锐角，如何根据边a、b及其夹角C的值，表示这个三角形的面积？由此你能得出什么结论？
所以，对任意的 ，它的面积为
当C为直角时，由 ，可知 仍成立.
C
B
A
b
a
D
思考：三角形的边与其对角的正弦的比值下有什么关系
三角形面积公式：一般地，若 ABC记的面积为S，则
由此可知： ，
这就是正弦定理：在一个三角形中，各边的长和它所对的角的正弦的比相等.
又因为 ，因此可得：
在△ABC中，已知a＝3，b＝5，sin A＝ ，则sin B＝(　　)
A．　　　B．　　　C．　　　D．1
B
分析：由正弦定理 可得 .
探究：正弦定理的适用条件.
1.已知 ABC中， 求c.
由已知得：
所以
由正弦定理可知：
我们把三角形的3个角和3条边都称为三角形的元素，已知三角形的若干元素求其他元素一般称为解三角形.
2.已知 中， ，求解这个三角形.
因为 ，所以
由于0°当B=60°时，C=180°-A-B=90°，
此时△ABC为直角三角形，c为斜边，从而有：
当B=120°时，C=180°-A-B=30°，
此时△ABC为等腰三角形，从而由等角对等边有：c=a=2.
思考：结合问题1、2，正弦定理解三角形的适用条件有哪些？
正弦定理的适用条件：
(1)已知两角及任一边，求其他两边和一角；
(2)已知两边和其中一边对角，求另一边的对角（从而进一步求出其他的边和角）.
在△ABC中，已知c＝ ，A＝45°，a＝2，解这个三角形．
解：因为
所以
因为C∈(0°，180)，c>a，所以C=60°或C=120°.
当C=60°时，B=75°，
当C=120°时，B=15°，
所以
或
C
3
根据下列关键词，构建知识导图.
“正弦定理”、“应用类型”

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