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9.1.1 课时2 正弦定理的应用
第九章 解三角形
回顾什么是正弦定理，并说说正弦定理解三角形的适用条件有哪些？它们对应求出的三角形是否唯一确定？
1.应用正弦定理解三角形，能根据正弦定理确定三角形解的个数.
2.掌握正弦定理的推论及变形公式，能应用其进行边角转化，解决三角形问题.
探究1：应用正弦定理理确定三角形解的个数.
1.已知△ABC中， ，求A，C及三角形面积.
解：由 得：
由于0°而
所以三角形面积
当C=45°时，A=180°-B-C=15°，
当C=135°时，A=180°-B-C=-75°，不合题意，舍去.
从b>c，B=120°及大边对大角看出C=135°不可能成立.
2.满足条件A=30°，a=1，c=4的△ABC存在吗，并说明理由.
假设满足条件的三角形存在，则由 可知，
又因为sinC≤1，所以这是不可能的，
因此不存在这样的三角形.
思考：结合问题2、3，已知三角形两边a、b和其中一边a的对角A，如何求解三角形？
已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法：
1．先由正弦定理求出另一边对角的正弦值．
2．判断另一边对角的正弦值的大小：
（1）如果正弦值>1，则无解．
（2）如果正弦值=1，则一解且为直角，
（3）如果正弦值<1，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论解的取舍：
根据内角和或大边对大角验证.
思考：已知三角形两边a、b和其中一边a的对角A，若A为锐角，三角形解的个数情况如何？a、b对应有怎样的关系式？若A为直角、钝角呢？
三角形解的个数的判断：
下列说法正确的是（ ）.
A.当b=11，a=20，B=30°，三角形有一解.
B.当c=54，b=39，C=120°，三角形有一解.
C.当b=26，c=15，C=30°，三角形有一解.
D.当a=2，b=6，A=30°，三角形有一解.
B
探究2：正弦定理的推论
如图所示，△ABC是圆O的内接三角形，c是圆O的直径，R是圆O的半径，
与半径R有什么关系？为什么？
C
B
解:由题可知，c是圆O的直径，
所以在△ABC中有
A
所以,
思考：如图所示，c不是圆O的直径，R是圆O的半径，
与半径R有什么关系？为什么？
A
C
B
由图知，∠B=∠B'，因为在△ABC中，
所以，在△AB'C中，
所以在△AB'C中有
又因为在圆O上，不论B′怎么移动，上述结论都成立，
所以对于任意△ABC都有
A
C
B’
B
1.正弦定理的推论：
2.正弦定理的变形：
(1)a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；
(2)sinA＝ ，sinB＝ ，sinC＝ ；
(3)a：b：c＝sinA：sinB：sinC.
(4)
探究3：应用正弦定理解决三角形中的问题.
1.△ABC中，sin2A=sin2B+sin2C，求证△ABC为直角三角形.
证明：因为
且
又因为sin2A=sin2B+sin2C，所以
即a2+b2=c2，由勾股定理逆定理得△ABC为直角三角形.
利用正弦定理判断三角形形状的思路：
围绕三角形的边角关系，利用正弦定理进行边角互化:
(1)把角转化为边，通过代数变形找出边之间的关系；
(2)把边转化为角，通过三角变换找出角之间的关系.
2.如图所示，在△ABC中，已知∠BAC的角平分线AD与边BC相交于点D，求证：
证明：如图，设∠ADB=α，∠BAD=β,
则由题意可知∠ADC=π-α，∠CAD=β，
在△ABD和△ADC中，分别应用正弦定理，可得
两式相除，可得
利用正弦定理研究三角形或者四边形中的边角问题时：
（1）确定需要研究的边或者角，在哪个三角形中研究；
（2）利用正弦定理，转化边角关系，得到等量关系求解.
解：由 及正弦定理得
∴sin2A=sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，
即A＝B或
故△ABC为等腰三角形或直角三角形.
在△ABC中，若 ，试判断△ABC的形状.
根据下列关键词，构建知识导图.
“三角形的解”、“正弦定理的变形”

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