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10.1 复数及其几何意义
10.1.2 复数的几何意义
新授课
1. 理解复数的几何意义；
2. 理解复平面、实轴、虚轴、共轭复数的概念；
3. 理解复数的模的概念，掌握用向量的模表示复数模的方法.
导入：在几何知识中，我们用什么来表示实数
思考：类比实数的数轴表示，可以用什么来表示复数？
实数用数轴上的点来表示
一一对应
实数
（数）
数轴上的点
（形）
根据复数相等的定义，复数 z = a + bi (a，b∈R) 被它的实部与虚部唯一确定，即复数 z 被有序实数对 (a，b) 唯一确定.
复数 z = a + bi
有序实数对 (a，b)
平面直角坐标系中的点 Z (a，b)
一一对应
一一对应
一一对应
（数）
（形）
综上，可在复数集与平面直角坐标系的点集之间建立一一对应关系，
即：复数 z = a + bi 点 Z (a，b).
知识点 1：复数的几何意义
x
y
O
A
C
B
1 + 2i
– i
3
建立了直角坐标系来表示复数的平面也称为复平面.
在复平面内，x 轴上的点对应的都是实数，因此 x 轴称为实轴；
y 轴上的点除原点外，对应的都是纯虚数，因此 y 轴称为虚轴.
概念生成
如图，复数 1 + 2i 对应的点为 A (1，2)；
复数 3 对应的点为 B (3，0)；
点 C (0，– 1) 对应的复数为 – i.
分别写出下列复数在复平面内对应的点的坐标.
（1）2 + 5i； （2）– 3 + 2i； （3）3 – 2i； （4）– 2i – 4；
（5）3； （6）– 3i； （7）4i； （8）– 2.
练一练
解：（1）(2，5)；（2）(– 3，2)；（3）(3，– 2)；（4）(– 4，– 2)；
（5）(3，0)；（6）(0，– 3)；（7）(0，4)； （8）(– 2，0).
知识点 2：共轭复数
问题 1：设 3 + i 与 3 – i 在复平面内对应的点分别为 A 与 B，在复平面内画出点 A，B，并说说两点的位置关系是怎样的？
x
y
O
B
3 – i
A
3 + i
A，B 两点关于实轴对称
思考：当 a，b∈R 时，复数 a + bi 与 a – bi 在复平面内对应的点又有什么位置关系？
一般地，如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则称这两个复数互为共轭复数，其中复数 z 的共轭复数用 表示；
因此，当 z = a + bi (a，b∈R) 时，有 = a – bi.
概念生成
x
y
O
a + bi
a – bi
B
A
如图，在复平面内，表示两个共轭复数的点关
于实轴对称；反之，如果表示两个复数的点在复平
面内关于实轴对称，则这两个复数互为共轭复数.
知识点 3：复数的模
问题 2：平面向量可以用有序数对来表示，借助有序数对能建立复数与平面向量的联系吗？
平面直角坐标系中的点 Z (a，b) 能唯一确定一个以原
点 O 为始点、Z 为终点的向量 ，所以复数也可用
向量来表示，即复数 z = a + bi 向量 = (a，b).
a
b
Z：a + bi
O
y
x
概念生成
一般地，向量 = (a，b) 的长度称为复数 z = a + bi 的模 (或绝对值)，复数 z 的模用 |z| 表示，因此 |z| = .
注：当 b = 0 时， |z| = = |a|（复数的模是实数绝对值概念的推广）.
如图，复数 z1 = 3 + i 对应向量= (3，1)，
复数 z2 = 3 – i 对应向量= (3，– 1)；
由图可知 |3 + i| = |3 + i| = ，即两个共轭复数的模相等，|z| = ||.
x
y
O
Z2
3 – i
3 + i
Z1
例 1 ：设复数 z1 = 3 + 4i 在复平面内对应的点为 Z1，对应的向量为 ；复数 z2 在复平面内对应的点为 Z2 ，对应的向量为 ，已知 Z1 与 Z2 关于虚轴对称，求 z2，并判断 || 与 || 的大小关系.
典例剖析
解：由题意可知 Z1 (3，4)，又因为 Z1 与 Z2 关于虚轴对称，所以 Z2 (– 3，4)，从而有 Z2 = – 3 + 4i，因此 |Z2| = = 5.
又因为 || = |z1| = = 5，|| = |z2| = 5，所以 || = ||.
例 2：设复数 z 在复平面内对应的点为 Z，说明当 z 分别满足下列条件时，点 Z 组成的集合是什么图形，并作图表示.
（1）| z | = 2； （2）1 < | z | ≤ 3.
解：（1）由 |z| = 2 可知向量的长度等于 2，即点 Z 到原点的距离始终等于 2，因此点 Z 组成的集合是圆心在原点、半径为 2 的圆，图形如图所示；
y
O
x
y
O
x
（2）不等式 1 < |z| ≤ 3 等价于不等式组 ，
又因为满足 |z| ≤ 3 的点 Z 的集合，是圆心在原点、半径为 3 的圆及其内部，
而满足 |z| > 1 的点 Z 的集合，是圆心在原点、半径为 1 的圆的外部，
所以满足条件的点 Z 组成的集合是一个圆环 (包括外边界但不包括内边界).
归纳总结
复数的模的几何意义：
（1）复数 z = a + bi (a，b∈R) 的模就是复数 z = a + bi 在复平面内对应的点 Z (a，b) 到坐标原点的距离；
（2）复数的模的几何意义是实数的绝对值概念的扩充，因此有 |z| ≥ 0，并且绝对值具有的某些性质可以推广到复数的模.
要点概括整合
复数 z = a + bi
一一对应
一一对应
复数的模及其几何意义
实轴 (x轴)
虚轴 (y轴)
复平面内的点
Z (a，b)
平面向量
一一对应

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