资源简介

(共15张PPT)
10.2 复数的运算
10.2.1 复数的加法与减法
新授课
1. 掌握复数加、减法运算法则，并会简单应用；
2. 了解复数加、减运算的几何意义.
回顾：任意两个实数都可以相加，且实数中的加法运算满足交换律与结合律，即 a，b，c∈R 时，必定有
a + b = b + a，
(a + b) + c = a + (b + c).
思考：复数中的加法应该如何规定，才能使得类似的交换律与结合律都成立呢？
知识点 1：复数的加法
问题 1：设 z1 = 1 + i，z2 = 2 – 2i，z3 = – 2 + 3i，类比实数的加法运算，试着计算 z1 + z2 的值？
思考：结合上述计算结果，猜想任意两个复数相加的运算规则是什么？
z1 + z2 = (1 + i) + (2 – 2i) = (1 + 2) + (1 – 2)i = 3 – i；
复数的加法法则
设 z1 = a + bi，z2 = c + di (a，b，c，d∈R) 是任意两个复数，则 z1 + z2称为 z1与 z2 的和，且两个复数的和仍然是一个确定的复数.
概念生成
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
实部相加为实部
虚部相加为虚部
由复数和的定义可知，两个共轭复数的和一定是实数.
问题 2：复数的加法满足交换律、结合律吗？请给出证明.
设 z1 = a1 + b1i，z2 = a2 + b2i，z3 = a3 + b3i，其中a1，a2，a3，b1，b2，b3∈R，
因为 z1 + z2 = (a1 + b1i) + (a2 + b2i) = (a1 + a2) + (b1 + b2)i，
z2 + z1 = (a2 + b2i) + (a1 + b1i) = (a2 + a1) + (b2 + b1)i，
且 a1 + a2 = a2 + a1，b1 + b2 = b2 + b1，
∴ z1 + z2 = z2 + z1（交换律）
因为 (z1 + z2) + z3 = [(a1 + b1i) + (a2 + b2i)] + (a3 + b3i)
= [(a1 + a2) + (b1 + b2)i] + (a3 + b3i)
= (a1 + a2 + a3) + (b1 + b2 + b3)i；
∴ (z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3)（结合律）
z1 + (z2 + z3) = (a1 + b1i) + [(a2 + b2i) + (a3 + b3i)]
= (a1 + b1i) + [(a2 + a3) + (b2 + b3)i]
= (a1 + a2 + a3) + (b1 + b2 + b3)i；
问题 2：复数的加法满足交换律、结合律吗？请给出证明.
归纳总结
复数加法的交换律和结合律
对任意 z1，z2，z3∈C，都有：
（1）z1 + z2 = z2 + z1；（2）(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3).
问题 3：设 z1 = 2 + 2i，z2 = – 1 – 4i，求出 z1 + z2，并在复平面内分别作出 z1，z2， z1 + z2 所对应的向量，猜想并归纳复数加法的几何意义.
z1 + z2 = (2 + 2i) + (– 1 – 4i) = 1 – 2i；
x
y
O
Z1
Z
Z2
复数加法的几何意义：
如图，复数 z1，z2 所对应的向量分别为 与 ，则当 与 不共线时，以 OZ1 和 OZ2 为两条邻边作平行四边形 OZ1ZZ2，则 z1 + z2 所对应的向量就是 ；
由复数加法的几何意义可以得出：
| | z1 | – | z2 | | ≤ | z1 + z2 | ≤ | z1 | + | z2 |.
在实数中，减去一个数可以看成加上这个数的相反数；例如，因为 3 的相反数为 – 3，因此 8 – 3 = 8 + (– 3) = 5.
问题 4：设 z1 = 5 + 8i，z2 = 5 – 3i，类比实数减法的意义，猜测 z2 的相反数以及 z1 – z2 的值.
知识点 2：复数的减法
所以 z2 的相反数为 – z2 = – (5 – 3i) = – 5 + 3i；
因此 z1 – z2 = z1 + (– z2) = (5 + 8i) + (– 5 + 3i) = 11i.
复数z = a + bi (a，b∈R) 的相反数记作 – z，并规定 – z = – (a + bi) = – a – bi；
复数 z1 减去 z2 的差记作 z1 – z2，并规定 z1 – z2 = z1 + (– z2).
复数的减法法则
设 z1 = a + bi，z2 = c + di (a，b，c，d∈R) 是任意两个复数，则 z1 – z2称为 z1与 z2 的差，且两个复数的差仍然是复数.
概念生成
z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
实部相减为实部
虚部相减为虚部
两个复数的差一般也不满足交换律，即一般来说，z1 – z2 ≠ z2 – z1.
复数加法的几何意义：
如图，复数 z1，z2 所对应的向量分别为 与 ，设点 Z 满足
= ，则 z1 – z2 所对应的向量就是 ；
由复数减法的几何意义可以得出：| | z1 | – | z2 | | ≤ | z1 – z2 | ≤ | z1 | + | z2 |.
问题 5：利用复数与向量之间的对应关系，猜想并归纳复数减法的几何意义.
x
y
O
Z1
Z
Z2
例 1 ：计算 (2 – 5i) + (3 + 7i) – (5 + 4i).
典例剖析
解：根据定义有 (2 – 5i) + (3 + 7i) – (5 + 4i)
= (2 + 3 – 5) + (– 5 + 7 – 4)I
= – 2i.
例 2：判断命题“两个共轭复数的差一定是纯虚数”的真假，并说明理由.
解：这是假命题，理由如下.
设 z = a + bi (a，b∈R)，则 = a – bi ，
从而有 z – = (a + bi) – (a – bi) = 2bi，
当 b = 0 时，z – = 0，这不是纯虚数.
要点概括整合
复数加减法的几何意义
复数加减运算法则
复数的加减法运算

展开更多......

收起↑