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10.2 复数的运算
10.2.2 复数的乘法与除法
新授课
1. 掌握复数乘、除法的运算法则，能够进行复数的乘除运算；
2. 了解实系数一元二次方程在复数范围内的解集.
回顾：两个实数的乘法对加法来说满足分配律，即 a，b，c∈R 时，有
(a + b)c = ac + bc.
且实数的正整数次幂满足
aman = am+n，(am)n = amn，(ab)n = anbn (m，n均为正整数).
思考：复数的乘法应该如何规定，才能使得类似的运算法则仍成立呢？
知识点 1：复数的乘法
复数的乘法法则
设 z1 = a + bi，z2 = c + di (a，b，c，d∈R)，则称 z1z2 (或 z1×z2) 为 z1与 z2 的积，且两个复数的积仍然是一个确定的复数.
概念生成
由上可知，只需要按照多项式乘法的方式进行，并利用 i2 = – 1 即可算出两个复数的积.
z1z2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bd i2 = (ac – bd) + (ad + bc)i
规定：i2 = – 1
例 1：设 z1 = 3，z2 = 1 – 2i，z3 = – 5i，分别计算下列各式的值.
（1）z1z2 与 z2z1； （2）(z1z2)z3 与 z1(z2z3)； （3）z1(z2 + z3) 与 z1z2 + z1z3.
解：（1）z1z2 = 3(1 – 2i) = 3 – 6i，z2·z1 = (1 – 2i)3 = 3 – 6i；
（2）(z1z2)z3 = (3 – 6i)(– 5i) = – 15i + 30i2 = – 30 – 15i；
z1(z2z3) = 3[(1 – 2i)(– 5i)] = 3(– 5i + 10i2) = 3(– 10 – 5i) = – 30 – 15i；
（3）z1(z2 + z3) = 3[1 – 2i + (– 5i)] = 3(1 – 7i) = 3 – 21i；
z1z2 + z1z3 = 3 – 6i + 3(– 5i) = 3 – 6i – 15i = 3 – 21i.
思考：观察上面每组的计算结果，说说你有什么发现？
典例剖析
归纳总结
复数乘法的交换律和结合律及对加法的分配律
对任意 z1，z2，z3∈C，都有：
（1）z1z2 = z2z1；（2）(z1z2)z3 = z1(z2z3)；（3）z1(z2 + z3) = z1z2 + z1z3.
例 2：已知 a，b∈R，求证：(a + bi)(a – bi) = a2 + b2.
证明：(a + bi)(a – bi) = a2 – abi + bai – b2i2 = a2 + b2.
方法小结：
（1）共轭复数的积： z∈C，z = |z|2 = ||2；
（2）复数的完全平方及平方差公式：
(z1 + z2)2 = z12 + 2z1z2 + z22，z12 – z22 = (z1 + z2)(z1 – z2) .
计算 (1 + i)2 与 (1 – i)2 的值.
练一练
解：(1 + i)2 = 12 + 2i + i2 = 2i；
(1 – i)2 = 12 – 2i + i2 = – 2i.
复数的乘方
n 个相同的复数 z 相乘时，仍称为 z 的 n 次方(或 n 次幂)，记作 zn，即
zn = z×z×···×z.
概念拓展
可以验证，当 m，n 均为正整数时，
zmzn = zm+n，(zm)n = zmn，(z1z2)n = z1nz2n.
由此可知 (5i)2 = 52×i2 = – 25；i3 = i2×i = – i；i4 = i2×i2 = (– 1)×(– 1) = 1.
n 个
问题 1：在实数中，如果a ≠ 0且ax = b，那么x = ，类比实数除法的意义，猜想两个复数相除的定义.
知识点 2：复数的除法
如果复数 z2 ≠ 0，则满足 zz2 = z1 的复数 z 称为 z1 除以 z2 的商，并记作
z = (或 z = z1 ÷ z2)，
而且同以前一样，z1 称为被除数，z2 称为除数.
利用复数除法的定义可以证明，当 w 为非零复数时，有
= ， = + .
问题 2：设实数 a，b 满足 (a + bi)(1 + 2i) = 1，求 a，b 的值.
因为 (a + bi) 与 (1 + 2i) 均不为 0，所以上述式子可以改写为a + bi = ，
将等式右边看成一个分式，分母变为实数得 (1 + 2i)(1 – 2i) = 12 – (2i)2 = 5，
因此 a + bi = = = = – i，所以 a = ，b = .
复数的倒数：
一般地，给定复数 z ≠ 0，称 为 z 的倒数； z1 除以 z2 的商 可看成 z1 与 z2 的倒数之积.
例 3：求 (1 + 2i) ÷ (3 – 4i) 的值.
证明：(1 + 2i) ÷ (3 – 4i) = = = = – + i .
非零复数的 0 次幂与负整数次幂：
当 z 为非零复数且 n 是正整数时，规定 z0 = 1，z – n = .
例如：(1 + i) – 2 = = = = – .
典例剖析
思考：已知虚数单位 i 是方程 x2 = – 1 的一个解，则这个方程还有其他复数的解吗？
知识点 3：实系数一元二次方程在复数范围内的解集
因为 i2 = (– i)2 = – 1，所以方程 x2 = – 1 在复数范围内的解集为 {i，– i}.
例 4 ：在复数范围内求方程 x2 + 2x + 3 = 0 的解集.
典例剖析
解：因为 x2 + 2x + 3 = x2 + 2x + 1 + 2 = (x + 1)2 + 2，
所以原方程可以化为 (x + 1)2 = – 2 ，
从而可知 x + 1 = i 或 x + 1 = – i，
因此 x = –1 + i 或 x = – 1 – i，
所求解集为 { – 1 + i，– 1 – i }.
拓展：若设方程 x2 + 2x + 3 = 0 在复数范围内的两个解分别为 x1，x2，
则 = x2 且 = x1，可算得 x1 + x2 = –2，x1x2 = 3.
归纳总结
实系数一元二次方程在复数范围内的解集：
当 a，b，c 都是实数且 a ≠ 0 时，关于 x 的方程 ax2 + bx + c = 0 称为实系数一元二次方程，这个方程在复数范围内总是有解的，且
（1）当 Δ = b2 – 4ac > 0 时，方程有两个不相等的实数根；
（2）当 Δ = b2 – 4ac = 0 时，方程有两个相等的实数根；
（3）当 Δ = b2 – 4ac < 0 时，方程有两个互为共轭的虚数根.
运算律
复数的乘法
复数的除法
共轭复数积的特点
运算法则
定义
运算法则
定义
要点概括整合

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