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23.1 一次函数的概念
第二十三章一次函数
1.理解一次比例函数的概念；
2.能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系；
3.结合具体情境理解一次函数的意义，能结合实际问题中的数量关系写出一次函数解析式，并解决简单的实际问题.
现实世界中的运动变化现象各种各样，有的简单，有的复杂．例如，在匀速直线运动中，任意相同时间的变化都会引起相同路程的变化，即路程随时间均匀变化.像这样，一个变量随另一个变量均匀变化的现象在现实世界中大量存在．例如，高铁列车在匀速行驶的过程中，行驶的路程随时间t的变化；一年期存款到期时在计算本息和的过程中，本息和随本金的变化；登山队员在攀登高峰的过程中，所在位置的气温随海拔x的变化；等等.
函数是刻画运动变化现象中变量之间关系的数学模型运动变化各种各样，函数也有不同的类型．一次函数是一类刻画简单的运动变化的函数，也是一类最基本的函数
接下来让我们看几个问题一起来探究一下一次函数.
【问题】某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃.用函数解析式表示y与x的关系，并求当登山队员向上登高2km时，他们所在位置的气温.
分析： y随x变化的规律是什么？
从大本营向上，当海拔增加x km时，气温从5℃减少6 x ℃．
【问题】某登山队大本营所在地的气温为5℃，海拔每升高1km气温下降6℃.登山队员由大本营向上登高xkm时，他们所在位置的气温是y℃.用函数解析式表示y与x的关系，并求当登山队员向上登高2km时，他们所在位置的气温.
因此，y关于x的函数解析式为
y=5-6x.
这个函数也可以写为
y=－6x+5.
当登山队员由大本营向上登高2km时，他们所在位置的气温就是当x=2时函数y=－6x+5的值，即y=－6×2+5=－7(℃).
【思考】在下列问题中，变量之间的对应关系是函数关系吗？如果是，写出函数解析式.
(1)铁的密度约为7.9g/cm3，铁块的质量m(单位：g)随它的体积V(单位：cm3)的变化而变化.
(2)每个练习本的厚度为0.5cm，一些练习本摞在一起的总厚度h(单位：cm)随练习本的个数n的变化而变化.
(3)一种计算成年人标准体重m(单位：kg)的方法是：以厘米为单位量出身高h，再减去常数105，所得差是m的值，m随h的变化而变化.
(4)把一个长10cm、宽5cm的矩形的长减少xcm，宽不变，矩形的面积y(单位：cm2)随x的变化而变化.
在上面的问题中，变量之间对应的关系都是函数关系，表示变量之间关系的函数解析式分别为：
(1)m=7.9V；(2)h=0.5n；(3)m=h-105；(4)y=-5x+50.
【观察】这些函数解析式有哪些共同特征？
(1) m = 7.9 V ； (2) h = 0.5 n ；
(3) m = h -105； (4) y = -5 x +50.
都是常数k与自变量x的积与常数b的和的形式.
m、h、m、y看作“y”；7.9、0.5、1、-5看作“k”；
V、n、h、x看作“x”；0、0、-105、+50看作“b”.
一般地，形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数，叫作一次函数，其中x是自变量.
y=kx+b(k，b是常数，k≠0)
注意一次函数有三个特征：①比例系数k≠0；②解析式中自变量x的次数是1；③常数b可以是任意实数.
自变量，次数1
一次项系数
常数项
一次函数的概念：
【观察】 y=kx 与y=kx+b 有什么关系？
当b=0 时， y=kx+b为y=kx，所以y=kx是特殊的一次函数.
特别地，当b=0时，y=kx+b即y=kx.
形如y=kx (k是常数，k≠0)的函数，
叫作正比例函数，其中k叫作比例系数.
y=kx(k是常数，k≠0)
自变量
比例系数
一次函数
正比例函数
关系图：
正比例函数是特殊的一次函数，即正比例函数一定是一次函数，但是一次函数不一定是正比例函数.
给出下列函数：
①y=3πx；
②y=8x－6；
③y=；
④y=－；
⑤y=8x2+1.
其中是一次函数的有_________，
是正比例函数的有_______(填序号)
①②④
①④
是一次函数,也是正比例函数
是一次函数，但不是正比例函数
不是整式，不是一次函数
是一次函数，也是正比例函数；
自变量x的次数为2，不是一次函数
【例1】一个弹簧不挂物体时长12cm，在弹簧的弹性限度内，每挂1kg的物体，弹簧伸长2 cm.
(1)求弹簧的长度y(单位：cm)关于所挂物体质量x(单位：kg)的函数解析式.
(2)当挂5 kg的物体时，弹簧的长度是多少？
解：(1)由每挂1kg的物体弹簧伸长2 cm可知，挂xkg的物体时，弹簧伸长2x cm.因此，y关于x的函数解析式为y=2x+12.
(2)把x=5代入y=2x+12，得y=2×5+12=22.
因此，当挂5 kg的物体时，弹簧的长度是22 cm.
利用正比例函数的概念求字母的值
【例2】已知=(1)+1是正比例函数，求的值.
解：根据题意得：
+1≠0且-1=0,
解得：
=1.
提示：函数解析式可转化为=（是常数，≠0)的形式.
一次函数
形如y=kx(k是常数，k≠0)的函数
形如y=kx+b(k，b是常数，k≠0)的函数
正比例函数
从实际问题中
确定函数解析式
特殊
b=0
1.下列说法正确的是（ ）
A.一次函数是正比例函数
B.正比例函数不是一次函数
C.不是正比例函数就不是一次函数
D.正比例函数是一次函数
D
2.已知y＝(m－3)x|m|－2＋1是y关于x的一次函数，则m的值是(　　)
A．－3 B．3 C．±3 D．±2
3.一个正方形的边长为3 cm，它的各边边长减少 x cm后，得到的新正方形的周长为 y cm，y与x之间的函数解析式是(　　)
A．y＝12－4x B．y＝4x－12
C．y＝12－x D．以上都不对
A
A
解：(1)y=x+1.5%x=1.015x.
(2)当x=10 000时，y=1.015×10 000=10 150.
故一年到期时的本息和是10 150元.
4.某银行一年期存款利率为1.5%，记存入的本金为x元，一年到期时的本息和为y元.
(1)写出y关于x的函数解析式；
(2)存入10 000元，一年到期时的本息和是多少元？
5.学校发起为福利院儿童捐书包的活动，每个书包60元. 张华现有积攒的零花钱480元，记她用零花钱捐献的书包数为x个，剩余的钱数为y元.
(1)求y关于x的函数解析式，以及自变量x的取值范围；
(2)若她至少要留下180元购买课外书，则她最多能捐献几个书包？
解：(1)y=480-60x (0≤x≤8，且x为整数).
(2)由题意，得480-60x≥180，解得 x≤5.
因此她最多能捐献5个书包.

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