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23.2 一次函数的图像和性质
课时2 一次函数的图像和性质
第二十三章一次函数
1.理解一次比例函数的概念；
2.能辨别正比例函数与一次函数的区别与联系；
3.能灵活运用一次函数的图象与性质解答有关问题.
某大米加工厂每天可完成加工任务5吨.
(1)若加工的大米总量为y，加工天数为天请问：与之间有怎样的关系
(2)若原有100吨大米，加工天后还剩y吨此时：y与有怎样的关系
解：
正比例函数
一次函数
【思考】如何画出这些函数的图象？
我们知道正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图象是一条经过原点的直线，那么一次函数的图象是否也是一条直线？是否也经过原点？一次函数的图象又具有哪些性质呢？
下面，我们研究一般的一次函数的图象和性质.
【例2】画出函数y=-3x与y=-3x+1的图象.
解：函数y=-3x与y=-3x+1中的自变量x可为任意实数.列表表示几组对应值.
x … -1 -0.5 0 0.5 1 …
y=-3x … 3 1.5 0 -1.5 -3 …
y=-3x+1 4 2.5 1 -0.5 -2
描点、连线，画出函数y=-3x与y=-3x+1的图象.
y=-3x
y=-3x+1
这两个函数的图象形状都是______，并且倾斜程度_______. 函数y=-3x的图象经过原点，函数y=-3x+1的图象与y轴交于点______，即它可以看作由直线y=-3x向____平移_____个单位长度而得到.
【探究】比较上面两个函数的图象的相同点与不同点，填写你的观察结果：
直线
相同
(0,1)
上
1
y=-3x
y=-3x+1
思考1：比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗？
解：这两个函数的图象有上述关系是因为k相同，b不同.
y=-3x
y=-3x+1
思考2：联系观察结果，考虑一次函数y=kx+b (k≠0)的图象是什么形状，它与直线y=kx (k≠0)有什么关系.
比较一次函数y=kx+b(k≠0)与正比例函数y=kx(k≠0)的解析式，容易得出：
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由直线y=kx平移|b|个单位长度得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）.
一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y=kx+b.
y=-3x
y=-3x+1
思考3：怎样画一次函数的图象最简单？为什么？
①两点法：因为两点确定一条直线，所以一般选取直线y=kx+b(k≠0)与两坐标轴的交点，即(0，b)与(﹣，0)画直线.也可取横、纵坐标均为整数的点.
②平移法：y=kx+b(k≠0)的图象可由y=kx(k≠0)的图象通过向上(b＞0)或向下(b＜0)平移得到.
与y轴的交点
x=0，y=b
与x轴的交点
y=0，x=﹣
【例3】画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象.
【分析】由于一次函数的图象是直线，所以只要确定两个点就能画出.
解：列表表示当x=0，x=1时两个函数的对应值.
x 0 1
y=2x-1 -1 1
y=-0.5x+1 1 0.5
方法一（两点法）：
过点（0，-1）与（1，1）画出直线；过点（0，1）与（1，0.5)画出直线
y=-0.5x+1
y=2x-1
解：列表表示当x=0，x=1时y=2x，y=-0.5x两个函数的对应值.
x 0 1
y=2x 0 2
y=-0.5x 0 -0.5
方法二（平移法）：
先画直线y=2x与y=-0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y=2x-1与y=-0.5x+1.
y=2x-1
y=-0.5x+1
y=2x
y=-0.5x
【例3】画出函数y=2x-1与y=-0.5x+1的图象.
【探究2】画出函数y=x+1，y=-x+1，y=2x+1，y=-2x+1的图象，观察这些直线，总结它们从左向右上升或下降的规律.
可以发现：当k>0时，直线y=kx+b从左向右上升；
当k<0时，直线y=kx+b从左向右下降.
思考1：一次函数的解析式y=kx+b(k，b是常数，k≠0)中，k的正负对函数图象有什么影响？你能进而归纳一次函数的性质吗？
一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)具有如下性质：
当k＞0时，y随x的增大而增大；
当k＜0时，y随x的增大而减小.
思考2：b的值与一次函数的增减性有关吗？
固定k的值，让b的值变化，观察图象发现：
函数的增减性不变，
即一次函数的增减性只与k的正负有关，
而一次函数的图象与y轴交点的位置与b值有关.
P1(1，1)，P2(2，2)是一次函数=-0.5+3图象上的两点，下列判断中，正确的是( )
A.1>2 B. 1<2
C.当1< 2时， 1<2 D.当1< 2时， 1>2
D
试着根据一次函数的图象判断的正负，并说出直线经过的象限：
k ___ 0, b ___ 0 k ___ 0 , b ___ 0 k ___ 0， b ___ 0
K___0, b ___ 0 k ___ 0, b ___ 0 k ___ 0, b ___ 0
>
>
>
=
>
<
<
>
<
=
<
<
思考3：一次函数中，的正负对函数图象及性质有什么影响？
当时，直线由左到右逐渐上升，随的增大而增大.
①时，直线经过第一、二、三象限;
②时，直线经过第一、三、四象限.
当时，直线由左到右逐渐下降，随的增大而减小：
① 时，直线经过第一、二、四象限；
② 时，直线经过第二、三、四象限.
一次函数
图象
增减性 正半轴 负半轴 原点 正半轴 负半轴 原点
经过的象限 三、二、一 三、四、一 三、一 二、一、四 二、三、四 二、四
图象
一条直线
k>0：b>0，经过第一、二、三象限；
b<0，经过第一、三、四象限.
k<0：b>0，经过第一、二、四象限；
b<0，经过第二、三、四象限.
画法
一次函数
性质
①两点法；②平移法.
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
1.若一次函数的函数值随的增大而增大,则（ ）
A.B.C. D.
2.一次函数y=2x-3的图象经过的象限是（ ）
A.一、二、三 B.二、三、四
C.一、三、四 D.一、二、四
B
3.一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象如图所示，则k，b的取值范围是(　　)
A．k>0，b>0
B．k<0，b>0
C．k>0，b<0
D．k<0，b<0
C
4.分别在同一平面直角坐标系中画出(1)(2)中各函数的图象，并指出每小题中三个函数的图象有什么关系.
(1) y=x-1，y=x，y=x+1；
(2) y=-x-1，y=-x-1，y=-2x-1.
解：(1)如图所示，它们的图象互相平行.
(2)如图所示，它们的图象都经过点(0,-1).
y=-x-1
y=-x-1
y=-2x-1

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