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23.2 一次函数的图像和性质
课时3 用待定系数法求一次函数的解析式
第二十三章一次函数
1.理解待定系数法的含义.
2.会运用待定系数法和数形结合思想求一次函数解析式.
我们已经学习了一次函数的图象和性质，已知一个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，如何画出它的图象.
反过来，已知一个一次函数y=kx+b(k≠0)的图象经过两个具体的点，你能求出它的解析式吗？
【分析】求一次函数y=kx+b的解析式，关键是求出k，b的值. 从已知条件可以列出关于k，b的二元一次方程组，进而求出k，b.
因为图象过(2,-4)与(-3,11)两点，所以这两点的坐标必满足解析式.
【例4】已知一次函数的图象过点(2，-4)与(-3，11)，求这个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0)，
因为y=kx+b的图象过点过(2，-4)与(-3，11)，所以
解这个方程组，得
因此，这个一次函数的解析式为y=3x+2.
【例4】已知一次函数的图象过点(2，-4)与(-3，11)，求这个一次函数的解析式.
像这样，先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中未知的系数，从而得出函数解析式的方法，叫作待定系数法.
待定系数法：
由于一次函数y=kx+b中有k和b两个待定系数，所以用待定系数法时需要根据两个条件列二元一次方程组（以k和b为未知数）.
在正比例函数y=kx中，只有一个待定系数k，只要知道除(0,0)外的一个条件即可求出k的值.
1.已知一次函数的图象经过点(3，-3)与(，0)，求这个一次函数的解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).
∵y=kx+b的图象过点(3,-3)与(,0)，
∴
解得
∴这个一次函数的解析式为y=﹣x＋1.
【思考】试着归纳出待定系数法求函数解析式的基本步骤
设
列
解
还原
待定系数法求函数解析式的基本步骤
①设：设出一次函数的解析式y=kx+b(k≠0).
②列：将已知的两组x,y的对应值分别代入所设的解析式中，列出关于k,b的二元一次方程组.
③解：解所列的方程组，求出k,b的值.
④还原：写出所求一次函数的解析式.
根据一次函数的解析式画出它的图象，与根据图象上的点求出一次函数的解析式，体现了数形结合的基本思想方法
函数解析式y=kx+b
满足条件的两定点（1，y1）与（2， y2）
一次函数的图象直线
选取
画出
选取
解出
【例5】一位记者乘坐汽车赴360km外的乡村采访，全程的前一部分为高速公路，后一部分为普通公路.汽车在高速公路和普通公路上分别以某一速度匀速行驶，汽车行驶的路程y(单位：km)与时间x(单位：h)之间的关系如图所示.
(1)求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解析式；
(2)记者出发后多长时间到达采访地？
【分析】问题中汽车行驶的速度不是固定不变的，
它与行驶的时间范围有关.
当0≤x≤2时，汽车行驶的速度较快；
当x>2时，汽车行驶的速度较慢.
因此，求函数解析式时应对0≤x≤2和x>2两个时段分别讨论.
(1)求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解析式；
解：当0≤x≤2时，函数图象是经过原点和点A的直线的一部分，设函数的解析式为y=k1x.
因为它的图象过点A(2,180)，所以180=2k1，解得k1=90.
因此，当0≤x≤2时，函数的解析式为y=90x.
当x>2时，函数图象是经过A，B两点的直线的一部分. 我们求出直线AB所对应的一次函数的解析式. 设这个一次函数的解析式为y=k2x+b2，把点A,B的坐标分别代入y=k2x+b2，得
解这个方程组，得
因此，当x>2时，函数的解析式为y=60x+60.
综上，当0≤x≤2时，y=90x；
当x>2时，y=60x+60.
(1)求汽车行驶的路程y关于时间x的函数解析式；
解：由图象可知，当y=360时，x>2.
由360=60x+60，解得x=5.
因此，记者在出发5h后到达采访地.
0≤x≤5
(2)记者出发后多长时间到达采访地？
由(2)的解答，你能进一步确定(1)中函数的自变量的取值范围吗？
已知一点利用待定系数法求一次函数的解析式
练习1：若一次函数的图象经过点 A(2,0)且与直线平行，求其解析式.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).
由题意得
解得
∴这个一次函数的解析式为y=﹣x＋2.
几何面积和待定系数法求一次函数的解析式
练习2：已知一次函数的图象过点（0，2），且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求此一次函数的解析式
【分析】一次函数与轴的交点是（0，），与轴的交点是(0).由题意可列出关于的方程
注意：此题有两种情况.
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).
∵一次函数y=kx+b的图像过点(0，2)，∴ b =2
∵一次函数的图像与x轴的交点是(，0)，则，解得k=1或-1
∴这个一次函数的解析式为y=﹣x＋2或y=x＋2.
待定系数法
先求出解析式，再利用一次函数的性质求解.
①设；②列；③解；④写
解决问题
求一次函数解析式
1.一次函数的图象经过点和点(1,5)，则这个一次函数是（ ）
A.B.
C. D.
2.已知点P的横坐标与纵坐标之和为1，且这点在直线y=x+3上，则该点是（ ）
A.(-7,8) B. (-5,6)
C. (-4,5) D. (-1,2)
C
D
3.如图，一直线与两坐标轴的正半轴分别交于A，B两点，P是线段AB上任意一点（不包括端点），过点P分别作两坐标轴的垂线与两坐标轴围成的矩形的周长为8，则该直线的函数表达式是（ ）
A.
B.
C.
D.
A
4.一位旅客乘坐某航空公司飞机时，购买了经济舱机票. 他所托运的行李的费用y(单位：元)与行李的质量x(单位：kg)的关系如图所示，这位旅客可免费托运的行李的最大质量是多少千克？
解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b(k≠0).
由题图可知其图象经过点(25,90)和(30,180)，
∴ 解得
∴这个一次函数的解析式为y=18x-360.
当y=0时，x=20，
故可免费托运的行李的最大质量是20kg.
5.已知一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的范围是，求这个函数的解析式.
分析： (1)当时，，实质是给出了两组自变量及对应的函数值;
(2)由于不知道函数的增减性，此题需分两种情况讨论
答案：或.

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