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23.3 一次函数与方程(组)、不等式
第二十三章一次函数
1.认识一次函数与一元（二元）一次方程（组）、一元一次不等式之间的联系;
2.会用函数观点解释方程和不等式及其解(解集)的意义;
3.经历用函数图象表示方程、不等式解的过程，进一步体会“以形表示数，以数解释形”的数形结合思想.
小明去超市买水果，苹果每斤5元. 假设他买了 x 斤，总价 y 元.
问：(1) 如果数数付了30元，他买了几斤苹果？
(2) 如果数数只带了30元，他最多能买几斤苹果？
(3) 总价 y 与 x 的关系是什么？
5x = 30
5x ≤ 30
y = 5x
方程
不等式
函数
方程、不等式、函数有什么联系呢？
【探究1】如图，一次函数 y = 2x-1 的图象与 x 轴交点的横坐标是0.5.当自变量 x 的值为 0.5 时，函数值是多少？由此可以得出一元一次方程 2x－1= 0 的解吗？
【分析】一次函数 y = 2x-1的图象与 x 轴交点的横坐标为(0.5 , 0) ，这表明当自变量 x 的值为0.5时，函数值为0.
y = 2x-1
由此可以得出一元一次方程 2x-1= 0 的解是 x = 0.5.
0.5
0
因为任何一个以 x 为未知数的一元一次方程都可以变形为ax+b=0 (a≠ 0)的形式，所以：
一次函数与一元一次方程的关系：
从函数值
从函数的图象
求一元一次方程ax+b=0的解
求一元一次方程ax+b=0的解
一次函数ax+b=y中， y=0时的x值
求直线ax+b=y与x轴交点的横坐标
【问题】一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒 (从方程函数解析式及图象不同方面进行解答)
解法1：设再过x秒它的速度为17米/秒
由题意得：2x+5=17 解得：x=6
答：再过6秒它的速度为17米/秒
解法2：速度是时间x的函数，
由得
由右图看出直线与轴的交点为(6，0)
得6
【问题】一个物体现在的速度是5米/秒，其速度每秒增加2米/秒，再过几秒它的速度为17米/秒 (从方程函数解析式及图象不同方面进行解答)
解法3：速度是时间的函数，
由右图可以看出当=17时，=6.
①转化：将一元一次方程转化为 kx+b = 0 (k≠0)的形式.
②画图象：画出一次函数 y = kx+b 的图象.
③找交点：找出一次函数图象与 x 轴交点的横坐标，即为一元一次方程的解.
利用一次函数的图象解一元一次方程的步骤
【分析】当图象上点的纵坐标大于0时，点在x轴上方，其横坐标大于0.5，即函数值大于0时x的取值范围是 x>0.5；
当图象上点的纵坐标小于0时，点在x轴下方，其横坐标小于0.5，即函数值小于0时x的取值范围是 x<0.5.
【探究2】如图，利用一次函数y=2x-1的图象，你能得出函数值大于0时x的取值范围吗？函数值小于0时呢？由此，你能分别得出一元一次不等式 2x-1＞0与 2x-1＜0 的解集吗？
∴不等式 2x-1>0 的解集是 x > 0.5，不等式 2x-1<0 的解集是 x < 0.5.
对于可化为 ax+b > 0或 ax+b < 0 (a≠0) 的一元一次不等式，在求它的解集时：
一次函数与一元一次不等式的关系：
从函数值
从函数的图象
求一元一次方程ax+b＞0(或“＜0”)的解集
求一元一次方程ax+b＞0(或“＜0”)的解集
ax+b=y的值大于或小于0时，x的取值范围
确定直线ax+b=y在x轴上方或下方的图像所对应的x的取值范围
【问题】画出函数的图象，结合图象求:
(1)不等式和的解集;
(2)当x取何值时，
解：作出函数的图象，如图所示，图象与轴交于点B(2, 0).
(1)由图象可知,不等式的解集是图象位于轴上方的的取值范围,即不等式 的解集是图象位于轴下方的x的取值范围，即;
(2)由图象可知，当时，
最后研究一次函数与二元一次方程、二元一次方程组的关系，
【探究3】如何用一次函数的图象解释二元一次方程？先以方程 2x-y=1为例.
【分析】方程2x-y=1可以转化为y=2x-1，它们有相同的解.
y=2x-1对应一次函数y=2x-1，它的图象是一条直线.
这条直线上每个点的坐标(x,y)都是方程2x-y=1的解，
以方程2x-y=1的解(x,y)为坐标的点都在这条直线上.
一次函数与二元一次方程的关系：
一次函数y=kx+b
二元一次方程y-kx=b
一次函数y=x+b
图象上点的坐标
二元一次方程
y-kx=b的解
一一对应
相互转化
注意：虽然一次函数与二元一次方程可以相互转化，但是一次函数≠二元一次方程.
【探究4】对于二元一次方程组你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？
【分析】方程组中两个二元一次方程分别对应一次函数y=2x-1与y=﹣x+· 解这个方程组，可以看作求这两个一次函数的图象的交点坐标. 因此，可以用画图象的方法得到这个二元一次方程组的解.
【探究4】对于二元一次方程组你能从函数的角度对解这个方程组进行解释吗？
如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数 y = 2x-1与 y=﹣x+的图象.
这两条直线的交点坐标为 ( 1 , 1 )，
由此得出方程组
的解是 .
一般地，由含有未知数 x 和 y 的两个二元一次方程组成的每个二元一次方程组，都对应两个一次函数，于是也对应两条直线.
从“数”的角度看，解这样的方程组相当于求当自变量为何值时相应的两个函数的值相等，以及这个函数值是何值；
从“形”的角度看，解这样的方程组相当于确定两条直线交点的坐标.
一次函数与二元一次方程组的关系：
方程的解
对应两条直线交点的坐标.
【例】 同时释放两个探测气球，1号气球从距离地面5m高处出发，以1m/s的速度上升；2号气球从距离地面15m高处出发，以0.5m/s 的速度上升. 两个气球都上升了1 min.
分别写出表示两个气球所在位置的高度 y (单位：m) 关于上升时间 x (单位：s) 的函数解析式.
(2) 两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
解：(1) 气球上升时间 x 满足0 ≤ x ≤ 60.
对于1号气球，y 关于 x 的函数解析式为 y = x+5.
对于2号气球，y 关于x的函数解析式为 y = 0.5x+15.
(2) 两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
解：(2) 两个气球在某时刻位于同一高度，就是对于 x (0 ≤ x ≤ 60)的某个值，函数 y = x+5 和 y = 0.5x+15 有相同的值 y.
由此可以列二元一次方程组
解得
这就是说，当气球上升 20s 时，两个气球都距离地面 25m.
也可以画一次函数的图象解答此问题.
如图，在同一平面直角坐标系中，画出一次函数 y = x+5 与y = 0.5x+15 的图象.
这两条直线的交点坐标为(20，25)，这说明当气球上升 20 s 时，两个气球都距离地面 25 m.
(2) 两个气球在某时刻能否位于同一高度？如果能，这时气球上升了多长时间？位于什么高度？
①变函数：把方程组中的方程化为一次函数的形式.
②画图象：建立一个平面直角坐标系，画出两个一次函数的图象.
③找交点：由图象确定两直线交点的坐标
④写结果：依据点的坐标写出方程组的解.
注意：用图象法解二元一次方程组要求作图精准，且有时只能得到近似解.
图象法求二元一次方程组的解的一般步骤
一次函数与二元一次方程(组)
一次函数与
一元一次方程
一次函数与
一元一次不等式
数形结合思想
一次函数与方程 (组)、不等式
直线y=kx+b(k≠0)与x轴交点的横坐标
一元一次方程kx+b=0的解
直线y=kx+b在x轴上方(下方)部分对应的自变量的取值范围
一元一次方程kx+b>0(＜0)的解集
两个一次函数图象的交点坐标即为对应的二元一次方程组的解
一次函数图象上的点的坐标即为对应的二元一次方程的解
1.若以二元一次方程的解为坐标的点都在直线上，则常数 ）
A. B. 2 C.-1 D.1
B
2.已知不等式的解集是则一次函数的图象大致是（ ）
B
3. 画出一次函数 y = -2x+8 的图象，利用图象解方程 -2x+8 = 0 及不等式 -2x+8 > 0 与 -2x+8 < 0.
解：图象如图所示，
观察图象可知方程-2x+8 = 0 的解为 x = 4，
不等式 -2x+8>0的解集为 x < 4，
不等式 -2x+8 < 0的解集为x > 4.
4.直线与轴的交点的横坐标的值是方程的解，求a的值.
解：由题意可得:
当直线与轴相交时，
则，解得：
当时，,
解得：

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