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23.4 实际问题与一次函数
课时1 建立一次函数模型
第二十三章一次函数
1.能利用一次函数知识，根据实际问题背景建立一次函数模型；
2.有机地把各种数学模型通过函数统一起来使用，学会如何写分段函数；
3.能进行解决问题过程的反思，总结解决问题的方法.
在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画. 在运用一次函数解决实际问题时，一般先将实际问题抽象为一次函数问题，然后根据条件求得一次函数的解析式，再结合一次函数的图象和性质分析并解决问题.
实际问题
一次函数
函数图像
解决问题
【例】某玉米种子的价格为40元/kg. 若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打六折：
(1)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象：
(2)一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？
【分析】付款金额与种子价格有关. 而种子价格不是固定不变的，它与购买量有关. 因此，写函数解析式与画函数图象时，应分0≤x≤2和x>2讨论.
解：(1)设购买量为 x kg，付款金额为 y 元.
当0≤x≤2时，种子价格为40元/kg，函数解析式为y=40x；
当x＞2时，购买的种子中有2kg按40元/kg计价，其余的(x-2)kg（即超过2kg部分按24元/kg（即六折）计价，
函数解析式为y=40×2+24(x-2)=24x+32.
函数图象如图所示.
O 1 2 3 x/kg
y元
100
80
60
40
20
y=40x
y=24x+32
【例】某玉米种子的价格为40元/kg. 若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打六折：
(1)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象：
函数解析式也可以这样表示：
解：(2)当0≤x≤2时，解析式为y=40x
当x＞2时，解析式为y=40×2+24(x-2)=24x+32.
因为4>2，
所以y=24×4+32=128.
因此，一次购买4kg种子，需付款128元.
【例】某玉米种子的价格为40元/kg. 若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打六折：
(2)一次购买4kg玉米种子，需付款多少元？
像这样讲函数的定义域被划分成几部分，每部分上的函数表达式不同，整体上呈现出分段形式的函数解析式就被称为分段函数.
分段函数的概念：
注意：1.它是一个函数；2.要写明自变量取值范围
【问题】为节约用水，某市制定以下用水收费标准，每户每月用水不超过8立方米，每立方米收取1元外加0.3元的污水处理费；超过时，超过部分每立方米收取1.5元外加1.2元污水处理费，现设一户每月用水x立方米，应缴水费y元.
(1)求出y关于x的函数解析式；
解：(1)当时，；
当时，；
所以y关于x的函数解析式为：
(2 )该市一户某月若用水x=10立方米时，求应缴水费；
(3)该市一户某月缴水费26.6元，求该户这月用水量
解：(2)当x=10时，y=2.7×10-11.2=15.8
答：应缴水费为15.8元
(3) ∵1.3×8=10.4<26.6，
∴该用户用水量超过8立方米，
2.7x-11.2=26.6，解得x=14
答：该户这月用水量为14立方米
(1)分段函数是一个函数，而非多个函数，其自变量在不同范围内解析式不同；
(2)表示函数关系的解析式，每一段后面必须加上自变量的取值范围.分段函数中，自变量在不同的取值范围内的解析式不同，在解决问题时，要特别注意自变量的取值范围的变化. 分段函数的应用面广，在水费、电费、商品促销等领域都有广泛应用.
用解析式法表示分段函数的关键：
建立一次函数模型
分段函数的解析式与图像
一次函数与实际问题
1. 某品牌笔记本单价为5 000元/台，若一次购买不超过3台，价格不变；若一次购买超过 3台，超过部分的笔记本价格打七折．则付款金额y(元)关于购买台数x(台)的函数解析式为：
2.某实践小组观察记录了莴笋的成长过程，如图表示的是一种莴笋的高度y(cm)与观察时间x(天)之间的函数图象．由图象可知，这种莴笋可能达到的最大高度是________．
32 cm
3.近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来越多.为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量(度)与应付电费(元)的关系如图所示. 请你根据图象所描述的信息，分别求出当和时，与的函数解析式.
解：当时，由图象可设，
∵其经过（50，25)，代入得，
∴=0.5，∴;
当>50时，由图象可设，
∵其经过（50,25)、(100,70)，得=0.9,=-20,
∴
∴

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