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23.4 实际问题与一次函数
课时2 选择方案
第二十三章一次函数
1.巩固一次函数知识，灵活运用变量关系解决相关实际问题；
2.灵活运用变量关系建立一次函数模型并且选择最佳方案解决相关实际问题.
现在很多人喜欢去游泳馆健身. 如果我们办一张年卡，会面临不同的套餐选择.
如果是你，会怎么选？选贵的怕用不上浪费，选便宜的又怕游得多了反而更花钱.
今天我们就来用函数的方法，一起算一算、比一比，看看哪种套餐最划算！
比如游泳馆推出了 A，B，C 三种年卡：
A 卡 600 元，能游 20 次，超出后每次 40 元
B 卡 1 200 元，能游 50 次，超出后每次 40 元
C 卡 1 800 元，不限次数
【探究】下表给出了某游泳馆A，B，C三种年卡套餐的收费标准.
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元
A 600 20 40
B 1 200 50 40
C 1 800 不限次
选取哪种年卡套餐能节省游泳费用？
问题1：哪种游泳费用是会变化的？哪种不变？
问题2：在A，B两种套餐中，游泳费用哪些部分组成
问题3：影响套餐外游泳费用的变量是什么
问题4：这三种方式中有一定最优惠的方式吗
问题1：哪种游泳费用是会变化的？哪种不变？
问题2：在A，B两种套餐中，游泳费用哪些部分组成
问题3：影响套餐外游泳费用的变量是什么
问题4：这三种方式中有一定最优惠的方式吗
A、B会变化，C不变
游泳费=年卡费用+套餐外费用.
套餐外游泳次数
没有一定最优惠的方式，与年游泳次数有关
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元
A 600 20 40
B 1 200 50 40
C 1 800 不限次
【分析】设年游泳x次，则套餐A,B,C的游泳费用y1,y2,y3都是x的函数.
在套餐C中，无论年游泳次数是多少，游泳费用都是1 800元，
因此，y3=1 800(x≥0).
若能得到y1,y2关于x的函数解析式，则利用函数解析式，通过方程、不等式或函数图象就能比较y1,y2,y3的大小，从而对年卡套餐作出选择.
【问题】在套餐A中，套餐外收费一定会产生吗 什么情况下才会有套餐外费用
不一定，只有在年有用次数超过20次时才会产生，
因此在套餐A中有两种情况.
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元
A 600 20 40
B 1 200 50 40
C 1 800 不限次
套餐A：考虑游泳费用y1时，要把年游泳次数x分为不超过20次和超过20次两种情况，得到刻画套餐A的游泳费用的函数解析式.
y1 =
化简，得
y1 =
这个函数的图象如图所示.
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元
A 600 20 40
套餐B：类似地，可以得到游泳费用y2关于年游泳次数x的函数解析式.
y2 =
化简，得
y2 =
套餐C：的游泳费用y3关于年游泳次数x的函数
解析式为：当≥0时， y3=1800.
两个套餐的函数图象如图所示.
套餐 年卡费用/元 套餐内游泳次数/次 套餐外单次收费/元
B 1 200 50 40
y2
y3
y2
y3
结合函数图象与解析式，可知：
当年游泳次数_______________时，选择套餐A能节省游泳费用；
当年游泳次数_______________时，
选择套餐B能节省游泳费用；
当年游泳次数_______________时，
选择套餐C能节省游泳费用.
小于或等于35
当y1＝y2时，x=35.
当y2＝y3时，x=65.
35
65
大于35小于65
大于或等于65
1.把实际问题转化为数学函数问题，列出函数关系式(建立数学模型)；
2.通过解不等式或画函数图象的方式确定自变量的范围；
3.利用一次函数的增减性知识从而选择出最佳方案
用一次函数解决方案问题步骤：
某教学网站开设了有关人工智能的课程并策划了A，B两种网上学习的月收费方式：
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/(元/min)
A 7 25 0.6
B 10 50 0.8
设小明每月上网学习人工智能课程的时间为小时，方案A，B的收费金额分别为A元，B元．
(1)当时，分别求出A，B与之间的函数关系式；
(2)若小明3月份上该网站学习的时间为60小时，则他选择哪种方式上网学习合算
(1)当时，分别求出A，B与之间的函数关系式；
(2)若小明3月份上该网站学习的时间为60小时，则他选择哪种方式上网学习合算
解：(1)当时，与之间的函数关系式分别为:
,
.
(2)当时，，,
∴
故选择B方式上网学习合算
收费方式 月使用费/元 包时上网时间/h 超时费/(元/min)
A 7 25 0.6
B 10 50 0.8
选择方案—费用比较类问题
设变量列出每种方案的解析式
画出每种方案的函数图象
利用函数图象及解析式选出最佳方案
1.如图，某电信公司提供了A，B两种方案的移动通讯费用y(元)与通话时间x(min)之间的关系，若通话时间超过200 min，则B方案比A方案便宜____元．
12
2.暑假老师带领该校交“三好学生”去北京旅游，甲旅行社说：“若校长买全票一张，则其余学生可享受半价优惠.”乙旅行社说：“包括校长在内，全部按全票的6折优惠.”
若全票为240元.
(1)设学生数为，甲旅行社收费为，乙旅行社收费为则=____________，=____________ ;
(2)当学生有____人时两个旅行社费用一样.
(3)当学生人数________时甲旅行社收费较少
4
大于4人
3.某学校欲购置一批标价为4 000元的某种型号电脑，需求数量在6至15台之间. 经与两个专卖店商谈，优惠方法如下：
甲店：购买电脑打八折；
乙店：先赠一台电脑，其余电脑打九折优惠．
设学校欲购置x台电脑，甲店购买费用为y甲(元)，乙店购买费用为y乙(元)．
(1)分别写出购买费用y甲、y乙与所购电脑x(台)之间的函数关系式；
(2)对x的取值情况进行分析，说明这所学校购买哪家电脑更合算？
解：(1)由题意可得y甲＝4 000×0.8x＝3 200x(6≤x≤15)．
y乙＝4 000×0.9(x－1)＝3 600x－3 600(6≤x≤15)．
(2)对x的取值情况进行分析，说明这所学校购买哪家电脑更合算？
当3 200x＝3 600x－3 600时，解得x＝9，
即当购买9台电脑时，在两家专卖店的购买费用相同；
当3 200x<3 600x－3 600时，解得x>9，
即当10≤x≤15时，买甲店电脑更合算；
当3 200x>3 600x－3 600时，解得x<9，
即当6≤x≤8时，买乙店电脑更合算．

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