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23.4 实际问题与一次函数
课时3 设计方案
第二十三章一次函数
1.会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想.
2.能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法.
上节课我们学习了如何运用函数知识比较方案并选择最优方案，但如果方案不是指定的需要自己制定，那你能否自己设计最优方案呢？
学校要组织 234 名学生和 6 名教师一起去参加实践活动，现在有两种车可以选 —— 甲种车能坐 45 人，租金 400 元；乙种车能坐 30 人，租金 280 元. 而且要求每辆车上至少有 1 名老师，总费用还不能超过 2 300 元.
大家想想，这种既要算人数、又要控预算的问题，我们该怎么一步步规划出最省钱的方案呢？今天这节课，我们就来学习如何用一次函数的知识，解决这类生活里最常见的 “设计最优方案” 问题.
【探究】某学校计划在总费用不超过2300元的情况下，租用客车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆客车上至少要有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如下表所示：
（1）共需租多少辆客车？
（2）给出最节省费用的租车方案.
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
问题1：影响租车费用的因素有哪些
甲、乙两种车所租辆数
问题2：客车总数又与哪些因素有关
与乘车人数有关
问题3：如何由乘车人数确定客车总数呢？
①要保证240名师生都有车坐，客车总数不能小于6.
②要使每辆客车上至少要有1名教师，客车总数不能大于6.
综合起来可知客车总数为6辆
租车费用与所租车的种类有关.
可以看出，当客车总数a确定后，在满足各项要求的前提下，尽可能少地租用甲种客车可以节省费用.
问题4：合租甲、乙两种车的时候，又有很多种方案可供选择，应该如何选出最节省费用的租车方案呢？
（2）给出最节省费用的租车方案.
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
解：设租用x辆甲种客车，则租车费用y(单位：元)是x的函数，
即 y=400x+280(a-x).
将已经确定的a=6 代入，化简这个函数，得y=120x+1 680.
问题5：为使240名师生有车坐，可以确定x的一个范围吗？
问题6：为使租车费用不超过2 300元，可以确定x的范围吗？
45x+30(6-x)≥240
x≥4
120x+1 680≤2 300
x≤5
综上可以得到x的取值范围：4≤x≤5，因为x要取整数，所以4≤x≤5.
客车种类 载客量/人 租金/元
甲 45 400
乙 30 280
问题7：在考虑上述问题的基础上，你能得出几种不同的租车方案？为节省费用应选择其中哪个方案？请说明理由.
∵4≤x≤5且x取整数. ∴x=4或5．
有两种不同的租车方案：甲客车4辆，乙客车2辆；甲客车5辆，乙客车1辆．
又租车费用y=400x+280(6-x)=120x+1 680，
∵120＞0，
∴y随x的增大而增大．
∴当x=4时，租车费用最少，为120×4+1 680=2 160（元）．
答：租甲种车4辆，乙种车2辆最节省费用．
解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量. 然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型.
某辣椒批发商销售A，B两种不同品种的辣椒共80箱，进价和售价如表所示．

设该辣椒批发商采购了A种辣椒x箱，销售完所有辣椒获得的总利润为y元．
品种 进价/(元/箱) 售价/(元/箱)
A 400 480
B 300 350
解：根据题意，得y＝(480－400)x＋(350－300)(80－x)
＝30x＋4 000，
∴y与x之间的函数解析式为y＝30x＋4 000.
(1)求y与x之间的函数解析式．
解：根据题意，得400x＋300(80－x)≤29 000，
解得 x≤50.
∵y＝30x＋4 000，30>0，
∴y随x的增大而增大，
∴当x＝50时，y有最大值，最大值为30×50＋4 000＝5 500.
答：购进50箱A种辣椒所获得的利润最大，最大利润为5 500元．
(2)如果该批发商最多投入的成本为29 000元，那么购进多少箱A种辣椒所获得的利润最大？并求出最大利润．
品种 进价/(元/箱) 售价/(元/箱)
A 400 480
B 300 350
(1)利用不等式（组）确定自变量的取值范围；
(2)根据函数的增减性，在自变量取值范围内，确定符合实际问题的函数的最值及相应的自变量的值.
根据函数最值设计最佳方案
1.已知甲仓库有生活物资100t，乙仓库有生活物资80t. 现要把这些生活物资全部运往A，B两地，A地需生活物资70t，B地需生活物资110t，两仓库到A，B两地的路程和运费如下：
设甲仓库运往A地的生活物资为x t(x为整数)，总运费为y元.
(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围.
(2)若要使总运费不超过37 160元，则有几种运送生活物资的方案？哪种运送方案总运费最少？最少是多少元？
(1)∵甲仓库运往A地的生活物资为xt，
∴甲仓库运往B地的生活物资为(100-x)t；乙仓库运往A地的生活物资为(70-x)t；乙仓库运往B地的生活物资为80-(70-x)=(10+x)t.
运输总费用为：
y=12×20x+10×25(100-x)+12×15(70-x)+8×20(10+x)=-30x+39 200.
∵70-x≥0，x≥0，100-x≥0，∴0≤x≤70.
因此，y关于x的函数解析式为y=-30x+39 200(0≤x≤70).
(2)若要使总运费不超过37 160元，则有几种运送生活物资的方案？哪种运送方案总运费最少？最少是多少元？
(2) 根据题意，得-30x+39 200≤37 160, 解得x≥68.
∵0≤x≤70，∴68≤x≤70.
∵x为整数，∴x=68或69或70，故有三种运送方案.
∵-30<0，∴y随x的增大而减小，
∴当x=70时，y有最小值.
∴当甲仓库运往A地的生活物资为70t，运往B地的生活物质为30t，乙仓库运往A地的生活物资为0t，运往B地的生活物质为80t时，总运费最少，
最少为-30×70+39 200=37 100（元）.
2.某工程机械厂根据市场要求，计划生产A、B两种型号的大型挖掘机共100台，该厂所筹生产资金不少于22400万元，但不超过22500万元，且所筹资金全部用于生产这两种型号的挖掘机，所生产的这两种型号的挖掘机可全部售出，此两种型号挖掘机的生产成本和售价如下表所示:
型号 A B
成本（万元/台） 200 240
售价（万元/台） 250 300
（1）该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案
（2）该厂如何生产获得最大利润
（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高万元（>0），该厂如何生产可以获得最大利润 (注：利润=售价-成本)
（1）该厂对这两种型号挖掘机有几种生产方案
解：（1）设生产A型挖掘机x台，则B型挖掘机可生产(100-)台，由题意知:
解得 37.5 40. 取正整数，∴ 为38、39、40.
∴有三种生产方案：①A型38台，B型62台；
②A型39台，B型61台;
③ A型40台，B型60台.
（2）该厂如何生产获得最大利润
解：（2）设获得利润为（万元），由题意可知:
∴
（3）根据市场调查，每台B型挖掘机的售价不会改变，每台A型挖掘机的售价将会提高万元（>0），该厂如何生产可以获得最大利润 (注：利润=售价-成本)
解：（3）由题意可知:
∴①当0< <10时，取=38， 最大
②当=10时， -10=0，三种生产获得利润相等;
③当>10时，取=40,， 最大,
即A型挖掘机生产40台，B型生产60台.

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