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12.1
课时2 三角形的内角和
1. 学生能理解三角形的内角和是180°及直角三角形两个锐角的关系.
2. 会应用三角形内角和的定理解决简单的几何问题.
在小学，我们用测量和拼接的方法验证过“三角形的内角和等于180°”.如何说明这个结论
任意剪出一个三角形纸片，将三角形的三个角撕下，按图12.1-6 的方式拼接，会发现三角形的三个内角可以拼成一个平角.
观察与发现：
根据拼接过程，你能说明“三角形的内角和等于180°”吗
可以构造平行线，借助平行线的性质，说明这个结论.
(1) 怎样说明“三角形的内角和等于 180°”
思考与交流：
由图 12.1-6可知，过点 A 画直线 BC 的平行线 DE，可以将∠B，∠BAC，∠C 拼成一个平角(图12.1-7).
根据平角的定义，得
∠DAB＋∠BAC＋∠EAC＝180°.
根据两直线平行，内错角相等，得
∠DAB＝∠B，∠EAC＝∠C.
所以 ∠B＋∠BAC＋∠C＝180°.
由此，可以得到：三角形的内角和等于 180°.
(2) 如图12.1-8，在 △ABC 中，若∠C＝90°，∠A 与∠B 有怎样的关系 若∠A＋∠B＝90°，则 △ABC 是什么三角形
因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠C＝90，所以∠A＋∠B＝90°，即∠A与∠B互余.反过来∠A＋∠B＝90°，因为三角形内角和等于180°，所以∠C＝90°，即△ABC 是直角三角形.
三角形的内角和等于 180°.
直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.
例1.如图12.1-9，在 △ABC 中，D 是边 AB 上的一点，∠A与 ∠ACD 互余，请说明 ∠B 与∠DCB 互余.
解：根据 ∠A 与 ∠ACD 互余，及互余的定义，得
∠A＋∠ACD＝90°.
根据三角形的内角和等于 180°，得
∠ADC＝180°－(∠A＋∠ACD)＝90°.
根据平角的定义，得
∠BDC＝180°－∠ADC
＝180°－90°
＝90°
根据直角三角形的定义，知 △BDC 是直角三角形.所以 ∠B 与 ∠DCB 互余.
三角形内角和
推导过程：
①借助平行线的性质，说明三角形内角和是180°；
②借助三角形的内角和，说明直角三角形两个锐角的关系.
三角形的内角和等于180°.
直角三角形的两个锐角互余；
有两个角互余的三角形是直角三角形
1. 分别计算下图中 ∠1 的度数.
解：∠1＝180°－65°－65°＝50°，
∠1＝90°－60°＝30°.
2. 如图，点 B，E，C 在同一条直线上，∠A＝∠DEC，∠D＝∠BEA，∠A 与 ∠D 互为余角.试说明：
(1) AE⊥DE；
(2) AB ∥ CD.
(1) AE⊥DE；
解：因为∠A与∠D互余，∠A＝∠DEC，
∠D＝∠BEA.
所以∠DEC与∠BEA互余.
根据平角的定义，得∠BEC＝180°，
所以∠AED＝180°－90°－90°.
所以 AE⊥DE.
(2) AB ∥ CD.
解：因为 ∠A 与 ∠D 互余，∠A＝∠DEC，
所以∠DEC 与∠D 互余.
所以∠DEC＋∠D＝90°.
根据三角形的内角和为 180°，得
∠C＝180°－90°－90°.
同理，∠B＝90°，
所以 ∠B＋∠C＝180°.所以 AB // CD.

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