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12.2 课时2 多边形的外角和
1.理解多边形的外角和多边形的外角和的概念.
2.探索并掌握“多边形的外角和等于360°”，能灵活运用这个性质解决有关问题．
我们已经知道多边形内角和的计算方法，下面将探究多边形的外角和.
如图12.2-6，任意画一个四边形ABCD，分别延长各边，得到 ∠1，∠2，∠3，∠4，它们有什么共同特征
观察与发现：
我发现，每个角与相邻的内角互为邻补角.
一般地，多边形一个内角的邻补角叫作多边形的外角.
在多边形的每个顶点处取多边形的一个外角，这些外角的和叫作多边形的外角和.
(1)如图12.2-6，四边形 ABCD 的外角和等于多少
思考与交流：
四边形 ABCD 的每个外角都与相邻的内角互为邻补角.4个外角与内角的和是 4×180°，减去四边形的内角和 360°，得到这4个外角的和为 360°.
(2) n 边形的外角和是多少呢
n 边形的每一个内角与相邻的外角互为邻补角，n 边形有 n 个内角，所以所有内角与外角的和为 n 180°.已知边形的内角和为 (n－2) 180°，因此”边形的外角和为
n 180°－(n－2) 180
＝ n·180°－n·180°＋2×180
＝ 360°.
多边形的外角和等于 360°.
例2.一个多边形的内角和是它的外角和的 7 倍，求这个多边形的边数.
解：设多边形的边数为 n，则
(n－2) 180°＝7×360°
解得 n＝16.
所以这个多边形的边数为 16.
尝试用其他方法说明 n 边形的外角和等于 360°.
如图.
∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＋···＋∠n
＝ n 180°－(n－2) 180
＝360°
探究与挑战：
1.一个多边形的内角和是外角和的2倍，这个多边形是几边形
解：因为多边形的外角和是 360°，内角和是外角和的 2倍，
所以这个多边形的内角和是 720° .
设多边形的边数是 n，则 (n－2) 180°＝720°.
解得 n＝6.
所以这个多边形是六边形.
2. 求正八边形一个外角的度数.
解：360°÷8＝45°.
3. 在如图所示的五角星中，求 ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E 的度数.
解：因为 ∠AFE 是 △FEC 的外角，
所以根据三角形外角的性质，得
∠AFE＝∠C＋∠E.
因为 ∠AJB 是 △BDJ 的外角，
所以根据三角形外角的性质，得
∠AJB＝∠B＋∠D.
根据三角形内角和是 180°，得
∠A＋∠AFE＋∠AJB＝ 180°，
所以 ∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°.

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