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第10章 整式的乘法与除法
10.3 乘法公式
课时1 平方差公式
1.会推导平方差公式并会用语言叙述；
2.会通过图形的拼接验证平方差公式 ；
3.了解平方差公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并能运用平方差公式进行计算.
某中学计划对一个边长为的正方形花坛进行改造如图. 如果改造成长为，宽为的长方形花坛，改造前后花坛的面积相等吗？
改造后的面积为.
可见，改造前后花坛的面积不相等.
活动一：探究平方差公式
计算下列算式：
.
；
.

观察上面的算式及其运算结果，有什么发现？
上面的运算都是形如的多项式与形如的多项式相乘.
这些式子的计算结果有什么共同点？式子的形式有什么规律？如何计算？
运算结果是两个数的平方差.
若是有理数，利用多项式的乘法计算：
.
把式子与计算结果的规律结合在一起，如何用语言描述？
两个数的和与这两个数的差的积，可以直接写成这两个数平方的差.
平方差公式：两个数的和与这两个数的差的乘积等于这两个数的平方差，
即.
计算这两个图形的面积.
当均表示正数且时，上图中的面积关系可以解释平方差公式.
活动二：理解公式
任务：分析公式的结构特征
公式左边是两个二项式相乘，这两个二项式中的两项有什么特点？
这两个二项式中的两项，有一项完全相同，如中的，另一项互为相反数，如－b)中的与b.
公式右边的结果是怎样确定的？
公式右边是相同项的平方减去相反项的平方.
这两个算式符合平方差公式的结构特征吗？若符合，指出式子中的“”和“”.
这两个算式符合平方差公式的结构特征，中的“”是3y，“”是；()()中的“”是，“”是.
的位置可以调换.
任务：对比与拓展
式子能否运用平方差公式进行计算？如果能，如何变形后运用公式计算？其中的“”和“”分别是什么？
式子可以运用平方差公式进行计算，式子可以变形为，其中“”是，“”是.
活动三：例题讲解
例 利用平方差公式计算：
； ； .
解：
.

平方差公式中的可以是数，也可以是代数式.
例 利用平方差公式计算.
解：

. 计算：
.
.
.
.
.
. 若，则.

.有一块长方形土地，长为，宽为(，现在要在这块土地周围修建一条宽度为的环形道路，求道路所占的面积 用含的式子表示.
长方形土地面积为.
修道路后的大长方形长为，宽为，其面积为.
所以道路所占面积为.
通过今天的学习，你收获了什么数学知识？积累了哪些思想方法？

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