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第10章 整式的乘法与除法
10.3 乘法公式
课时2 完全平方公式
1.会推导完全平方公式并会用语言叙述；
2.会通过图形的拼接验证完全平方公式，了解完全平方公式的几何背景；
3.了解完全平方公式的结构特征以及公式中字母的广泛含义，并能运用完全平方公式进行计算.
巴依老爷逼着我用他的一块地换我的两块地，我该不该跟他换呢？会吃亏吗？
阿凡提的两块地
肯定比我的一块地多，我必须把它换过来！
故事新编:
巴依老爷的土地
阿凡提的土地
(a+b)2 =
(a+b) (a+b)
= a2+ab+ab+b2
=a2+2ab+b2.
形
数
如图,某中学计划将一个边长为x m的正方形花坛每条边的长度都增加2m,新花坛的面积是多少 如果都减少1m呢
由于新花坛依然呈正方形,因此改造后的花坛面积分别为(x+2)2m2和(x-1)2m2,运用多项式的乘法计算得:
(x+2)2
=(x+2)(x+2)
=x·x+x·2+2·x+2×2
=x2+2x+2x+4
=x2+4x+4;
(x-1)2
=(x-1)(x-1)
=x·x-x·1-1·x-1×(-1)
=x2-x-x+1
=x2-2x+1.
(x+2)2和(x-1)2分别表示两个相同多项式的积,这也是一种特殊形式的整式乘法.
(1)计算下列算式:
(x+5)2= ; (2y-1)2= .
(2)观察上面的算式及其运算结果,你有什么发现
(a-b)2
=(a-b)(a-b)
=a2-ab-ba+b2
=a2-2ab+b2
上面的运算表示的是两数和(差)的平方.若a,b是有理数,利用多项式的乘法计算:
(a+b)2
=(a+b)(a+b)2
=a2+ab+ba+b2
=a2+2ab+b2
x2+10x+25
4y2-4y+1
由上述计算发现,可以直接写出两个数的和或差的平方的运算结果.由此得到简化这类运算的公式.
完全平方公式的文字表示：
两个数的和(差)的平方,等于这两个数的平方和加上(减去)它们乘积的2倍.
完全平方公式的符号表示：
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a-b)2=a2-2ab+b2
(3)当a,b均表示正数时,如图中的面积关系可以解释公式(a+b)2=a2+2ab+b2.
怎样设计图形解释公式(a-b)2=a2-2ab+b2
公式特征：
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
右边：（1）积为二次三项式；
（2）积中首尾两项是前面两数的平方和；
（3）中间一项是前面两数积的2倍，且符号与
乘式中间的符号相同.
注意：公式中的字母a，b可以表示数，单项式和多项式.
左边：是两数的和（或差）的平方.
左为括号平方.
右为三项：
首平方，尾平方，积的2倍放中央 ，它的符号看前方.
例3.利用完全平方公式计算:
(1)(x+3)2 (2)(2m-3n)2 (3)（-x-y）2
解：(1)(x+ 3)2=
=x2
(a + b)2= a2 + 2 ab + b2
x2
+2 x 3
+32
+6x
+9
解: (2m-3n)2=
=4m2
(2) (2m-3n)2
( a - b )2= a2 - 2 a b + b2
(2m)2
- 2 2m 3n
+(3n)2
-12mn
+9n2
(3)（-x-y）2
解:
1012
解：1012
= (100+1)2
=10000+200+1
=10201
例4.利用完全平方公式计算：1012.
下面各式的计算是否正确？如果不正确，应当怎样改正？
(x+y)2=x2 +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
错
错
错
错
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
(a+b)2= a2 +2ab+b2
(a-b)2= a2 - 2ab+b2
1、完全平方公式：
2、注意：项数、符号、字母及其指数；
3、解题时常用结论：
1、下列各式中与(x+1) 相等的是( )
A.x +1 B.x +2x+1 C.x -2x+1 D.x -1
2、若a+b=4，则a2+2ab+b2的值是（ ）
A.16 B.8 C.2 D.4
3、如果(x+4)2=x2+kx+16,那么k= .
4、
B
A
8
5.如果x2+kx+25是完全平方式，则 k=_______.
6.已知 a+b=4，ab=-12，则a2+b2=______.
10或-10
40

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