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山东省实验中学2025-2026学年第二学期高二第一次诊断性考试数学试题
一、单选题
1．已知函数，则（ ）
A． B． C．2 D．
2．直线是曲线的一条切线，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若在上单调递增，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
5．已知是可导函数，且对于恒成立，则（ ）
A． B．
C． D．
6．已知函数的导函数为，且满足，则（ ）
A．函数的图象关于点对称 B．函数的图象关于直线对称
C．函数的图象关于直线对称 D．函数的图象关于点对称
7．若存在实数，使得，则称为函数的“不动点”．函数的不动点个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．函数的两个极值点满足，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（多选）定义在上的可导函数的导函数图象如图所示，下列说法正确的是（ ）
A． B．函数的最大值为
C．1是函数的极小值点 D．3是函数的极小值点
10．已知函数，则下列结论正确的有（ ）
A．的图象关于点对称
B．当时，有两个零点
C．若有三个零点，则的取值范围是
D．若是的极大值点，则
11．设且，若，则下列大小关系可能成立的有（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．函数的减区间为________．
13．设点在曲线上，在直线上，则的最小值________.
14．已知，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________.
四、解答题
15．已知函数，．
(1)求的单调递增区间与极值；
(2)求在区间上的最大值与最小值．
16．已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)若函数有且仅有一个零点，求的值.
17．已知函数．
(1)证明：在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围．
18．已知函数，．
(1)讨论的单调性；
(2)当时，求证：．
19．已知函数 ．
(1)当时，
① 求的最小值；
② 设，求证: ；
(2)设，，是的两个极值点，求证：．
参考答案
1．A
【详解】依题意，因此，
所以．
故选：A．
2．C
【详解】因为的导数，所以令，得，所以切点为．
代入直线，得．
故选：C
3．C
【详解】，
所以，解得.
4．D
【详解】，
若在上单调递增，则在恒成立，
即，
令，其对称轴为，所以的最大值为，
故只需．即．
故选：D．
5．C
【详解】设，则．
因为，所以，
所以是R上的增函数，
因为，
所以，
即，
即．
故选：C．
6．D
【详解】由，可知函数的图象关于直线对称；
对求导，得，
则函数的图象关于点对称，所以ABC错误，D正确.
故选：D．
7．D
【详解】令，则，易知不是该方程的根，
故设，则.
由或；由.
故在和上单调递增，在上单调递减，
所以的极大值为，所以.
又，所以函数仅在上有1个零点，即的不动点个数为1，
故选：D
8．D
【详解】由题知，函数的定义域为，，
因为有两个极值点，所以，，则，①
令，因为，所以，
将代入①整理可得，，
所以，
令，则，
设，则，
因为，所以，所以在上单调递增，
所以，所以在上单调递增，
所以
故选：D
9．AC
【详解】由图可知，当时，，
所以函数在上单调递增，
，故A正确；
由函数在上单调递增，，
则不是函数的最大值，故B错误；
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以1是函数的极小值点，故C正确；
由图可知的左右两侧，
所以3不是函数的极值点，故D错误．
故选：AC．
10．AD
【详解】设，，则，所以函数是奇函数，其图象关于坐标原点对称．因为，所以函数的图象关于点对称，故A正确．
当时，，，
令得或．
当时，，
当时，，当时，，
所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．
当时，取得极大值3，当时，取得极小值，
因为，，
所以函数在区间，，上各有一个零点，
即有三个零点，故B错误．
因为，所以．
当时，恒成立，函数在上单调递减，
因为，，所以函数只有一个零点，不符合题意．
当时，令，解得，．当时，
，函数在上单调递增；
当时，，函数在上单调递减；
当时，，函数在上单调递增．
所以当时，取得极大值；当时，取得极小值．
因为当时，，，当时，，
所以在上有一个零点，
若有三个零点，则．又，解，
得．故C错误．
由C选项的分析知，函数的极大值点为，
解，得，故D正确．
故选：AD．
11．ACD
【详解】因为且，，所以.
又，所以.
构造函数，
则的定义域为，，
所以在上单调递减，又，
所以当时，，即，所以，
所以，故CD正确；
当时，，即，
所以，所以，故AD正确，B错误.
故选:ACD.
12．
【详解】由已知得，，
令，即，解得，
则的单调递减区间为，
故答案为:.
13．
【详解】函数的定义域为，求导得，
当曲线在点处的切线与直线平行时，最小，最小值为切线与直线之间的距离，即切点到直线的距离.
设，由导数的几何意义，可得，解得（舍去），
故切点为，点到直线的距离
所以的最小值为
故答案为：
14．
【详解】由题意，，可得，
所以，
令，
则，
所以在上单调递增，
又，
所以，对任意的恒成立，
所以，只需即可，
设，，则，
当时，，则单调递增，
当时，，则单调递减，
又，且，
所以，
所以，则实数的最大值为.
故答案为：
15．(1)单调增区间为和，极大值为，极小值为
(2)最大值为1，最小值为
【详解】（1），令，得或，
当时，，则在单调递增，
当时，，则在单调递减，
当时，，则在单调递增，
所以单调增区间为和，单调减区间为，
所以的极大值为，极小值为．
（2）由（1）可知，在上单调递增，在单调递减，在单调递增，
又，，
所以在区间上的最大值为1，最小值为．
16．(1)
(2)9
【详解】（1）当时，，，
得，
所以曲线在点处的切线方程为，
即.
（2）方法一：，，
，
令，，得，
故在内单调递增，又，
则当，，得，单调递减，
当，，得，单调递增，
从而在处取得极小值，同时也是最小值，
最小值为.
又当且时，，当时，，
由函数有且仅有一个零点，可得，
则a的值为9.
方法二：，，
令得，
令，，
则，
令，，得，
故在内单调递增，又，
则当，，得，单调递减，
当，，得，单调递增，
从而在处取得极小值，同时也是最小值，
最小值为.
又当且时，，当时，，
由函数有且仅有一个零点，可得，
则的值为9.
17．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）函数的定义域为.
.
令，则.
令，得，所以；
令，得，所以.
所以在上单调递减，在上单调递增.
所以在处取得最小值，最小值为.
当时，，所以.
又，所以当时，.
当时，.
其简图如下：
所以有唯一解，即在曲线的图象上，有且仅有一个点处的斜率等于，
即在曲线的所有切线中，有且仅有一条切线的斜率与直线的斜率相等.
（2）当时，不等式恒成立，即.
令，则
.
令，则.
因为，所以，
又，所以.
所以是增函数，所以.
因为，所以恒成立，所以是增函数，
所以，即的最小值为.
所以实数的取值范围是．
18．(1)当时，函数在区间上单调递增；
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意可知，函数，的定义域为，
导数，
当时，，；
当时，，；，；
综上，当时，函数在区间上单调递增；
当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减．
（2）由（1）可知，当时，
函数在区间上单调递增，在区间，上单调递减．
所以，
要证，需证．
即需证恒成立，
令，
则
所以函数在区间单调递增，
故，
所以，恒成立，
所以当时，．
19．(1)① ；②证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）①当时，，其定义域为，
又，
所以当时，，所以在上单调递减，
当时，，所以在上单调递增，
所以在处取得极小值，也是最小值，即；
②由①知，当时，，即，
令，则，则，
所以，则，
所以，得证.
（2）函数的定义域为，
又，
因为，是的两个极值点，所以，，
即，
令，，则，
当时，当时，
所以在上单调递减，在上单调递增，
不妨假设，
要证，只需证，因为，所以，
因为在上单调递增，所以只需证，
又因为，所以只需证，
令，
则，
因为，所以，
则，所以，
所以在上单调递减，，
所以，即.

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