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2026年甘肃省兰州市中考数学一模试卷
一、选择题：本题共11小题，每小题3分，共33分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.-3的绝对值是（　　）
A. 3 B. C. D. -3
2.以下图形中，是轴对称图形的是（　　）
A. B.
C. D.
3.计算：（3a+2b）（3a-2b）=（　　）
A. 3a2-2b2 B. 3a2-4b2 C. 9a2+4b2 D. 9a2-4b2
4.已知一元二次方程x2+4x+3=0，则此方程的根的情况是（　　）
A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根
C. 无实数根 D. 无法判断根的情况
5.在铺设钢轨时，两条钢轨必须是互相平行的.如图，已知∠1=90°，轨枕的俯视图是矩形，为保证两条钢轨平行，只需要确保（　　）
A. ∠2=90° B. ∠3=90° C. ∠4=90° D. ∠5=90°
6.如图，在四边形草坪内选取一点P修建凉亭，并用小路将其与A，B，C，D四个顶点相连接，要使它到四边形四个顶点的距离之和最小，则凉亭修建地点P一定在（　　）
A. 线段AC与BD的交点
B. 线段AC的中点
C. 线段BD的中点
D. 四边形草坪内任意一点
7.铁路道口的栏杆如图所示，AB=1.5m,BC=6m.要使栏杆右端从栏杆水平位置上升的垂直距离CE为4m,则栏杆左端应下降的垂直距离AD为（　　）
A. 2m B. 1.5m C. 1m D. 0.5m
8.在一定范围内，固定质量的酒精的体积V（单位：L）可近似地看作温度t（单位：℃）的一次函数，其图象如图所示，则V与t之间的表达式为（　　）
A. V=0.00575t-5.25
B. V=-0.00575t+5.25
C. V=0.00575t+5.25
D. V=-0.00575t-5.25
9.某店铺开展了顾客满意度调查，满意度评分由低至高依次为1分、2分、3分、4分和5分，评分越高表示顾客对店铺的服务质量越满意，根据调查结果绘制的统计图如图所示，其中评分为5分的有816人，则下列说法正确的是（　　）
A. 调查总人数为1000人
B. 评分为2分的人数最少
C. 评分的众数为4分
D. 大多数顾客对店铺的服务不满意
10.今有雀一只重一两九铢，燕一只重一两五铢.有雀、燕二十五只，并重二斤一十三铢.问：燕、雀各几何？（选自《张丘建算经》），古时，1斤等于16两，1两等于24铢，则题目大意为：1只雀重33铢，1只燕重29铢.雀和燕一共有25只，共重781铢.燕、雀各有多少只？设雀有x只，燕有y只，则下列方程组正确的是（　　）
A. B.
C. D.
11.如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，动点P从点A出发沿AB边匀速运动，到达点B时停止运动.过点P作PF∥AD，交DE于点F.设AP=x,△DPF的面积为y1，△DEP的面积为y2，则y1与x,y2与x的函数关系分别是（　　）
A. 均为一次函数
B. 均为二次函数
C. 一次函数，二次函数
D. 二次函数，一次函数
二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。
12.因式分解：a2-ab= .
13.如图，在△ABC中，AB=AC=13cm,BC=10cm,AD为△ABC的中线，则AD= cm.
14.位于兰州黄河风情线上的某摩天轮（图1），可近似地看成一个圆（图2），其半径为44米，36个全景透明轿厢平均分布在摩天轮上.小明和小亮周末乘坐该摩天轮时分别坐在了A处和B处的轿厢，则的长为 米（结果保留π）.
15.研究发现，生物的性状是由基因决定的，如豌豆豆荚的性状（饱满或皱褶）是由一对等位基因S和s决定的，这对基因一个来自父本，一个来自母本.当基因组成为ss时豌豆豆荚的性状是皱褶；其余基因组成时豌豆豆荚的性状是饱满.假设父本与母本的基因组成都是Ss,它们的两个等位基因S和s会等可能地遗传给其子代，则子代的豆英性状是皱褶的概率是 .
三、解答题：本题共11小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题5分)
计算：.
17.(本小题5分)
解不等式组：.
18.(本小题5分)
先化简，再求值：m（4n-3m）+（2m-n）2，其中m=-2，n=3.
19.(本小题7分)
如图，一次函数的图象与反比例函数），图象交于A（1，2），B两点，与x轴，y轴分别交于点C，D.
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）已知点B的横坐标为4，求△AOB的面积.
20.(本小题7分)
数学实践小组在研学时提出问题：山上信号塔的高度约为多少米？
实践小组利用已学知识和工具测量数据解决问题，具体研究方案如下：
问题 山上信号塔的高度约为多少米？
工具 皮尺、测倾器等测量工具
图形
说明 根据实际问题画出示意图（图2），小组成员首先在山脚平地上的C处测得∠ACN=37°，再往信号塔方向前进至山脚平地上的D处，测得CD=150m,在D处测得∠ADN=45°，∠BDN=42°，AB⊥CN于点E.
根据上述信息，请你帮助实践小组解答下列问题：
（1）求信号塔顶到山脚平地的距离AE（结果精确到1m）；
（2）求信号塔AB的高度（结果精确到1m）.
（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
21.(本小题7分)
某学习小组的研究性学习报告的部分内容如下，请认真阅读，完成相应问题.
主题 设计几何图形复刻仪的研究报告
设计思路 几何图形复刻仪是由共端点的两根伸缩杆（OP，OP′）和两支笔（点P，P′）构成.在复刻过程中，伸缩杆始终保持相同长度（OP=OP′），通过调整夹角（∠POP′）的大小来控制复刻后图形的位置.
具体实例 如图1，小明利用复刻仪复刻等边三角形ABC的过程如下：使复刻仪的定点O与顶点A重合，调整∠POP′=∠BAC，笔（点P）从A→B→C→A运动时，另一支笔（点P′）随之运动，从而将等边三角形ABC复刻到△ACD的位置.小明在复刻过程中发现，当点P从B→C运动时，总有△ACP′与△ABP全等.
根据以上信息，解决下列问题：
（1）如图1，小明利用几何知识证明△ACP′≌△ABP的过程如下：
∵△ABC为等边三角形，
∴AC=AB.
∵∠PAP'=∠BAC，
∴∠PAP'-∠PAC=∠BAC-∠PAC.
∴∠CAP'=_____①.
由设计思路可知，AP'=_____②.
∴△ACP′≌△ABP.（_____③）
请写出①②③处空缺的内容：①______，②______，③______；
（2）如图2，小明将复刻仪的定点O与顶点A重合，调整夹角∠POP'=∠BAC，可对△ABC进行复刻.他进一步思考发现，利用尺规作图的相关知识也能得到相同的复刻结果，请你用无刻度的直尺和圆规将图中的点P复刻至AB上方的点P′处.（不写作法，保留作图痕迹）
22.(本小题7分)
研究发现：人类繁衍无数代，但总体看来，成年人的身高并没有发生太大变化.基本稳定在一定范围内（不考虑人种差异）.为此、研究小组随机选取某地区的16对父子的身高进行研究，将所得数据进行收集、整理、描述和分析，相关信息如下：
信息一：16对父子的身高.
编号 1 2 3 4 5 6 7 8
父亲身高x/cm 160 174 170 173 169 182 172 180
儿子身高y/cm 163 176 176 170 170 181 176 178
编号 9 10 11 12 13 14 15 16
父亲身高x/cm 172 168 166 182 173 164 180 176
儿子身高y/cm 174 170 168 178 172 165 182 177
信息二：16对父子身高的条形图.将父亲与儿子的身高都分成5组：A（160≤a＜165），B（165≤a＜170），C（170≤a＜175），D（175≤a＜180），E（180≤a＜185）.
信息三：16对父子身高的散点图.为研究儿子身高y（cm）与父亲身高x（cm）之间的相关关系，利用统计软件画出散点图，发现散点大致分布在直线l附近，直线l的关系式近似为y=0.784x+38.2.
根据以上信息，解决下列问题：
（1）父亲身高的中位数落在______组；（填组别字母）
（2）下列结论正确的是______；（只填序号）
①16对父子的身高差都小于5cm；
②由信息三可知，若父亲身高为186cm时，他儿子的身高很可能在184cm左右.
（3）若该地区有4000对父子，估计其中父子身高都在180≤a＜185范围的有多少对？
23.(本小题7分)
如图，点C，D在以AB为直径的⊙O上，AB平分∠CAD，BE交AD的延长线于点E，∠ABC=∠E.
（1）求证：BE是⊙O的切线；
（2）若BC=4，BE=5，求DE的长.
24.(本小题8分)
在数学综合实践课上，某兴趣小组的同学们通过折叠正方形探究与轴对称有关的几何问题.如图，在正方形ABCD中，点E是线段AD上的一点，将△ABE沿BE折叠，使点A落在点P处，得到△PBE后再展平，连接EP并延长交CD于点F.
【初步探究】
（1）如图1，小刚发现△BPF≌△BCF，请说明理由；
【深入探究】
（2）如图2，连接AP并延长交CD于点G，求证：EF=DG+CF.
25.(本小题8分)
已知二次函数y=ax2-2ax-2t的图象经过点A（-1，t）.
（1）求证：a=t；
（2）若该二次函数的最小值为a2-4.
①求二次函数的表达式；
②若M（x1，m），N（x2，m）为二次函数图象上的不同的两点，且m≠-2，求证：.
26.(本小题9分)
综合与实践
在平面直角坐标系xOy中，给出如下定义：对于平面内一点M和另一点P，在图形G上存在点Q.使得PM QM=k（k为常数，k＞0）且PM⊥QM于点M，则称点P为图形G关于点M的“k定积垂旋点”，点M称为垂旋中心.
【感知定义】（1）如图1，已知图形G1：线段AB，A（2，2），B（4，2），若点P为图形G1关于点M的“3定积垂旋点”，其中M（1，2）为垂旋中心，请写出一个满足要求的点P坐标______；
【类比研究】（2）如图2，已知图形G2：半径为的⊙O，若直线y=-x+b上存在点P为图形G2关于点O的“4定积垂旋点”，其中O（0，0）为垂旋中心，求b的取值范围；
【应用迁移】（3）如图3，M（-2，0）为垂旋中心，点P（0，t）为图形G3关于点M的“6定积垂旋点”，点Q是图形G3上的一点，请解决以下问题；
①求OQ的最大值；
②请直接写出OQ取得最大值时t的值.
1.【答案】A
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】B
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】C
9.【答案】A
10.【答案】A
11.【答案】D
12.【答案】a（a-b）
13.【答案】12
14.【答案】π
15.【答案】
16.【答案】-3，
17.【答案】-1＜x＜7．
18.【答案】m2+n2，13．
19.【答案】；
20.【答案】450米 45米
21.【答案】∠BAP;AP;SAS 如图2，∠POP'即为所求．

22.【答案】C ② 该地区有4000对父子，估计其中父子身高都在180≤a＜185范围的有500对
23.【答案】证明：∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB+∠ABC=90°，
∵∠ABC=∠E，
∴∠CAB+∠E=90°，
∵AB平分∠CAD，
∴∠CAB=∠DAB，
∴∠DAB+∠E=90°，
∴∠ABE=90°，
∵OB为半径，
∴BE是⊙O的切线 3
24.【答案】∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=BC，∠A=∠C=90°，
由折叠可得：BP=BA，∠BPE=∠A=90°，
∴BP=BC，∠BPF=∠C=90°，
∵BF=BF，
∴Rt△BPF≌Rt△BCF（HL） 如图，连接BF，
由（1）得Rt△BPF≌Rt△BCF，
∴CF=PF．
∵四边形ABCD是正方形，
∴BA=AD，∠BAE=∠D=90°，
∴∠BAG+∠DAG=90°，
根据轴对称的性质得：AP⊥BE．
∴∠BAG+∠ABE=90°，
∴∠ABE=∠DAG．
在△ABE和△DAG中，
，
∴△ABE≌△DAG（ASA）．
∴AE=DG．
由折叠可得：EP=AE．
∴EP=DG．
∴EF=EP+PF=DG+CF
25.【答案】证明：把点A（-1，t）代入二次函数y=ax2-2ax-2t得：
a+2a-2t=t，
a+2a=t+2t，
3a=3t，
∴a=t ①y=x2-2x-2；②证明：∵M（x1，m），N（x2，m）为二次函数图象上的不同的两点，
∴点M，N关于对称轴x=1对称，
∴，
∴x1+x2=2，
x1=2-x2，
∵M（x1，m）在二次函数y=x2-2x-2图象上，
∴，
∴，
将x1=2-x2代入得：
m+2
=
=
=
=x2（x2-2），
∴
=
=
26.【答案】（1，5）（答案不唯一） -4≤b≤4 ①4；②-1或1
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