资源简介

2026年山西省吕梁市方山二中、恒源学校等中考数学一模试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.某仓库把运进货物的质量记为正数，运出货物的质量记为负数.如果运进10t货物记为+10t,那么运出3t货物应记为（　　）
A. -3t B. +3t C. -7t D. +7t
2.中国高端装备已从产品出口升级为技术+标准+产能+服务+资本的全链条出海，覆盖轨交、工程机械、能源、航空、船舶、军工、工业母机等核心赛道，是中国制造向中国智造转型的标杆.以下四家中国高端装备企业的品牌图标中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（　　）
A. 中国中铁 B. 中国铁建
C. 中国交建 D. 中国中车
3.下列计算正确的是（　　）
A. m3 m2=m6 B. （m+1）2=m2+1 C. -8m9÷2m3=-4m6 D. （m3）2=m5
4.全球最大的AI模型API聚合平台OpenRouter数据显示，2026年2月9日-15日，中国模型以4.12万亿Token的调用量，首次超过同期美国模型的2.94万亿Token的调用量.数据4.12万亿用科学记数法表示为（　　）
A. 4.12×104 B. 4.12×1012 C. 41.2×104 D. 0.412×1013
5.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（5，2），连接OA，将线段OA绕点O逆时针旋转90°得到线段OA′，则点A的对应点A′的坐标为（　　）
A. （2，5）
B. （2，-5）
C. （-2，-5）
D. （-2，5）
6.某景区单独购票为每人40元，团体购票为每人25元.某旅游团按团体购票比单独购票总共节省费用600元，则该旅游团人数为（　　）
A. 15 B. 24 C. 40 D. 60
7.智慧课堂是以大数据、AI、云计算、移动互联网为技术底座，以学生为中心，打通课前—课中—课后全流程，实现精准教学、个性学习、高效互动的新型课堂模式.某智慧课堂有4种互动工具：抢答、随机选择一人作答、小组作答、老师指定一人作答（每种互动工具可反复选择），老师先随机选择一种互动工具，再随机选择一种互动工具，则老师两次选到同一互动工具的概率是（　　）
A. B. C. D.
8.如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BC.若AB=5，BC=3，则BD的长为（　　）
A.
B.
C. 2
D. 4
9.研究表明某种玉米幼苗成长初期株高y（单位：cm,且20≤y≤50）与生长天数x（单位：天）之间满足某种函数关系，下表是一组测量的数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为（　　）
生长天数x/天 5 7 9 11
株高y/cm 20 24 28 32
A. y=2x+10 B. y=2x-10 C. D.
10.如图，AB是⊙O的直径，点C是AB下方的中点，连接AC，以点C为圆心，AC的长为半径作圆弧.若OA=2，则图中阴影部分的面积为（　　）
A. 4π
B. 2π+2
C. 4
D. 4π-2
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。
11.因式分解：6m2n-3mn2= .
12.如图，在正方形ABCD中，沿虚线剪去∠D，则∠1+∠2= °.
13.通信信号塔的总功率保持不变的情况下，信号强度I（单位：dBm）是距离r（单位：km）的反比例函数.已知距离该通信信号塔4km的区域，信号强度为20dBm；当小张同学在距离该通信信号塔16km处时，信号强度为 dBm.
14.如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE，线段BE的垂直平分线分别与AB，BC，BE交于点F，G，M.若AB=5，AD=6，则BG的长为 .
15.我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式实质上是同一个公式，即，其中a,b,c表示三角形的三条边长，.现有某社区计划用一段长为16m的篱笆围成一个三角形的绿化区域，已知这个三角形的一条边长为6m,则围成的三角形绿化区域面积最大为 m2.
三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题10分)
（1）计算：；
（2）解不等式组：.
17.(本小题5分)如图，△ABC内接于⊙O，连接OC，过点B作⊙O的切线，与OC的延长线交于点D.若∠D=26°，求∠A的度数.
18.(本小题10分)2026年世界地球日（4月22日）的主题是“我们的力量，我们的星球”，该主题呼吁全球民众以集体行动推动环保与气候保护.某校组织八、九年级学生参加了世界地球日知识竞赛.现从八、九年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩进行整理、分析，成绩（用x表示，单位：分，满分为100分，均为整数）分为A，B，C，D四个等级，其中A.90≤x≤100；B.80≤x＜90；C.70≤x＜80；D.x＜70.数据收集与整理
八年级：56，70，72，75，75，76，77，78，81，82，84，88，88，88，89，91，95，95，100，100.
九年级：54，68，71，73，75，76，76，78，80，86，86，86，87，90，90，92，95，98，99，100.
数据分析
八、九年级各抽取的20名学生的竞赛成绩数据分析如下：
年级 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 A等级率
八年级 a 83 b 115.2 25%
九年级 83 c 86 132.1 d%
请认真阅读以上信息，回答下列问题：
（1）填空：a=______，b=______，c=______，d=______.
（2）根据上述信息分析，请你对八、九年级学生知识竞赛的成绩进行评价（任选两个统计量说明）.
（3）该校八年级有200名学生，九年级有240名学生，估计该校八、九年级竞赛成绩为A等级的学生总人数.
19.(本小题8分)随着我国科技事业的不断发展和航天技术的需要，某航天企业推出甲、乙两种型号的卫星零部件加工机器人.已知甲型号机器人比乙型号机器人平均每小时多加工15个零部件，甲型号机器人加工900个零部件所用时间与乙型号机器人加工600个零部件所用时间相同.则甲、乙两种型号机器人平均每小时分别加工多少个零部件？
20.(本小题9分)综合与实践
某校综合与实践小组的同学在学习了解直角三角形后，用所学知识对教学楼AB的高度进行测量.他们分为甲、乙两组，分别设计了如下测量方案：
测量教学楼AB的高度
组别 甲 乙
工具 测角仪 三角板，皮尺
测量示意图
测量方案与数据 如图1，组长用测角仪CD在点D处测得教学楼最高点A的仰角α=32°，测角仪CD=1.6m 如图2，组长站在点C处，眼睛在点D处用三角板观测教学楼最高点A的仰角β=30°，面向教学楼前进至点E处，眼睛在点F处用三角板观测到教学楼最高点A的仰角γ=45°，组长的眼睛到水平地面的距离EF=CD=1.6m,用皮尺测得EC=15m
说明 所有点均在同一竖直平面内，MN表示水平地面，点B，C都在MN上 所有点均在同一竖直平面内，MN表示水平地面，点B，E，C都在MN上
参考数据 sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62，，
计算 … …
问题解决：
（1）你认为哪个组的测量方案存在问题，请指出并提出改进建议.
（2）根据没有问题的测量方案，计算教学楼AB的高度（结果精确到0.1m）.
21.(本小题9分)阅读与思考
下面是小陈同学的数学日记，请认真阅读，并完成相应的任务.
×年×月×日星期六
利用平行线探究角平分线分线段成比例
今天，我在书店一本书上看到一个重要的补充：三角形一个内角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例.
我和小组的同学研究了一番，写出的题目如下：如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，求证：
【自主探究】通过查阅资料，我们找到了方法，下面是我们的证明过程（不完整）：
证明：过点C作CE∥AD，交BA的延长线于点E.
∴（依据），∠BAD=∠E，∠ACE=∠CAD.
∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD.
∴∠E=∠ACE.∴AC=AE.
∴，即.
【拓展探究】我有如下思考：如图2，在△ABC中，外角∠PAC的平分线与BC的延长线交于点D，那么能不能参照上述方法求出线段AB，AC，BD，DC之间的比例关系呢？
…
任务：
（1）【自主探究】的证明过程中的“依据”是指______.
（2）如图3，在△ABC中，，请你作出边BC的一个三等分点D（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹，标明字母）.
（3）求出【拓展探究】中，线段AB，AC，BD，DC之间的比例关系.
22.(本小题11分)综合与实践
问题情境：远离城市喧嚣，走进自然山野，露营已成为当下人们放松身心、享受生活、感受自然之美的热门休闲方式.已知某款露营帐篷的支架撑开后（如图1）可近似看作抛物线.
建立模型：如图2，抛物线与水平地面交于A，B两点，以AB的中点O为原点，AB所在直线为x轴，过点O作AB的垂线与抛物线交于点M，且点M是抛物线的顶点，以OM所在直线为y轴，建立平面直角坐标系（单位长度为1m）.已知AB=2.4m,OM=1.8m.
问题解决：
（1）求抛物线的函数表达式.
（2）为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于1m,求活动区域在水平方向上的最大宽度.
（3）如图3，为获得更舒适的空间且方便悬挂露营灯，将抛物线支架沿竖直方向向上平移hm（平移后的抛物线可视为原抛物线向上平移后的一部分）后，在y轴右侧抛物线上距原点水平距离为1m的点E处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于1.3m,直接写出h的最小值.
23.(本小题13分)综合与探究
问题情境：在正方形ABCD中，点E是直线BC上的一点（不与点B重合），连接AE，过点B作BF⊥AE于点F，过点D作DG⊥AE，与AE所在直线交于点G.
猜想证明：
（1）如图1，当点E在边BC上时，猜想AF与DG的数量关系，并说明理由.
独立思考：
（2）如图2，在（1）的条件下，连接DF，CG，判断DF与CG的数量关系与位置关系，并说明理由.
拓展延伸：
（3）连接CG，若AB=5，tan∠ADG=2，请直接写出CG的长.
参考答案
1.A
2.D
3.C
4.B
5.D
6.C
7.A
8.B
9.A
10.C
11.3mn（2m-n）
12.270
13.5
14.
15.12
16.9 1≤x＜2
17.32°．
18.83;88;86;35 答案不唯一，
例如，八、九年级竞赛成绩的平均数相同，但是八年级竞赛成绩的方差为115.2，小于九年级竞赛成绩的方差132.1，所以八年级的竞赛成绩更稳定，所以，八年级的竞赛成绩更好 134名
19.甲型号机器人平均每小时加工45个零部件，乙型号机器人平均每小时加工30个零部件．
20.甲组的测量方案存在问题；甲组的测量方案缺少CD到AB的距离，故应测量测角仪CD到教学楼AB的距离 22.2 m
21.平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的对应线段成比例 答案不唯一， 如图，过点C作CE∥AD，交BA于点E．
∴∠AEC=∠PAD，∠ACE=∠DAC，，
∵AD平分∠PAC，
∴∠DAC=∠PAD，
∴∠ACE=∠AEC，
∴AE=AC，
∴
22.y=-1.25x2+1.8 1.6 m 0.75 m
23.AF=DG；理由如下：
∵BF⊥AE于点F，DG⊥AE，与AE所在直线交于点G，
∴∠AFB=∠AGD=90°，
∴∠ADG+∠DAG=90°；∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=90°，AB=DA，
∴∠BAF+∠DAG=90°，
∴∠BAF=∠ADG，
在△ABF和△DAG中，
，
∴△ABF≌△DAG（AAS），
∴AF=DG DF=CG，DF⊥CG；理由如下：
如图2，四边形ABCD是正方形，记CG与DF交于点O，
∴AD=DC，∠ADC=90°，
∴∠ADG+∠CDG=90°，
由（1）知∠ADG+∠DAF=90°，
∴∠DAF=∠CDG，
在△ADF和△DCG中，
，
∴△ADF≌△DCG（SAS），
∴∠ADF=∠DCG，DF=CG，∠ADF=∠DCG，
∵∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠DCG+∠CDF=90°，
∴∠DOC=90°，
∴DF⊥CG 或
第1页，共1页

展开更多......

收起↑