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陕西省宝鸡市渭滨区2025-2026学年九年级下学期中考一模数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.计算，正确的结果是（ ）
A. 6 B. 5 C. D.
2.下列数学符号是轴对称图形的是（）
A. B. C. D.
3.下列计算正确的是（）
A. B.
C. D.
4.如图，在中，，平分，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
5.如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，，则菱形的面积为（ ）
A. 48 B. 60 C. 72 D. 96
6.若一次函数的图象上有，两点，则的值为（ ）
A. B. 3 C. D.
7.如图，为的直径，弦与交于点，为等腰三角形，为底，，则的度数为（ ）
A. B. C. D.
8.二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（　　）
A. abc＞0
B. 2a+b=0
C. a-b+c＜0
D. m（am+b）≥a+b
二、填空题：本题共5小题，每小题2分，共10分。
9.分解因式： ．
10.如果一个正多边形的每一个内角的度数是，那么这个多边形的边数是 ．
11.按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案有6颗 ，第②个图案有10颗 ，第③个图案有15颗 ，则第⑥个图案中有 颗 ．
12.如图，在平面直角坐标系中，是轴上的任意一点，轴，分别交的图象和的图象于，两点．若的面积是6，则的值为 ．
13.如图，在边长为6的正方形中，，分别是边，上的动点，且，连接，，则的最小值为 ．
三、计算题：本大题共3小题，共15分。
14.计算：．
15.解不等式组：．
16.解方程：．
四、解答题：本题共10小题，共79分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题5分)
如图，在中，，请你在上找一点，使得．（不写作法，保留作图痕迹）
18.(本小题5分)
如图，平分，，点在上，且．求证：．
19.(本小题5分)
数学探究课上，创新小组的六个组员一起探究身边的数学．喜欢画画的朵朵的书包里恰好有一张正方形纸片．她们的探究过程如图所示：
（1）组长小美首先从这个正方形纸片上剪去一个宽度为 的长方形纸条；
（2）组员小明再从剩下的长方形纸片上剪去一个宽为 的长方形纸条；
（3）组员小创通过测量并计算，发现第一次剪下的长方形纸条的周长是第二次剪下的长方形纸条周长的3倍．
请你求出原正方形纸片的边长．
20.(本小题8分)
在2026年中央广播电视总台春节联欢晚会上，A，B，C，D四家公司的机器人组团登台，参与了多个节目的表演，展示了人形机器人、四足机器人等多种形态的“具身智能”技术．某校想从这四家公司中挑选一家公司租赁机器人在校庆活动中为师生表演节目．
(1) 学校租赁到A公司机器人的概率为 ；
(2) 若学校的分部也需要租赁机器人，请用画树状图或列表的方法，求出该学校和分部租到不同公司机器人的概率（每家公司的机器人被租到的可能性一样大）．
21.(本小题8分)
如图，这是某公司门房监控装置示意图．摄像头安装在上，其中．已知摄像头的可监控视角，且的平分线与垂直，，，，，则摄像头最远可视点与点之间的距离为多少？（结果精确到，参考数据：，，，）．
22.(本小题8分)
三八时节，花香满径，正是人间好时节．某花店老板做完市场调研后，决定多批发一些卡布奇诺玫瑰和弗洛伊德玫瑰．已知卡布奇诺玫瑰的批发价是每把40元，零售价是每把60元，弗洛伊德玫瑰的批发价是每把38元，零售价是每把50元．老板计划购进卡布奇诺玫瑰和弗洛伊德玫瑰共100把，且购进弗洛伊德玫瑰的数量不少于卡布奇诺玫瑰的数量的．设购进弗洛伊德玫瑰把，出售这批卡布奇诺玫瑰和弗洛伊德玫瑰获得的总利润为元．
(1) 求与的函数表达式；
(2) 当取何值时，出售这批玫瑰获得的利润最大？最大利润是多少元？
23.(本小题12分)
人形机器人的表现让人们深切感受到了人工智能的飞速发展．开学初，某学校为了解该校学生对人形机器人的了解程度，对全校学生进行测试，现从七、八年级学生中分别随机抽取20名学生的测试得分进行整理和分析（得分用表示，且得分为整数，共分为5组．A组：，B组：，C组：，D组：，E组：，下面给出了部分信息．
八年级被抽取的学生测试得分中B组的所有数据为88，88，85，88，88，84，89，88．
七年级被抽取学生测试得分统计表
组别 分数/分 频数
A
B 8
C 3
D 2
E 3
八年级被抽取学生测试得分扇形统计图
平均数 众数 中位数
七年级 78分 87分 84分
八年级 78分 分 c分
请根据以上提供的信息，解答下列问题．
(1) 上述图表中， ， ， ；
(2) 根据以上数据，你认为该校七年级和八年级中哪个年级的学生对人形机器人的了解程度较好？请说明理由；
(3) 测试中等级为B及B以上说明学生对人形机器人的了解程度就达标．该校七、八年级共有学生2400人，估计该校七、八年级中达标的学生共有多少人？
24.(本小题8分)
如图，的外接圆为，且，延长到点，使得，过点作的垂线，交的延长线于点，连接，，且与相切．
(1) 求证：；
(2) 若的半径为2，求的长．
25.(本小题8分)
如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，，．与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为，连接，，．
(1) 求该二次函数的表达式；
(2) 在轴正半轴上是否存在一点，使得以点，，为顶点的三角形与相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
26.(本小题12分)
解决下列问题：
(1) 【问题提出】如图1，在中，，，是边的中点，连接．是的中点，是上的一动点，则的最小值为 ．
(2) 【问题探究】如图2，四边形是平行四边形，，，．，是边上的动点，且，则的最小值为多少？
(3) 【问题解决】如图3，为加强劳动实践课程的教学效果，某学校准备在一块四边形空地上，规划两条活动课专用小路和，两条小路交于点，校园规划管理办公室计划在和两条路上分别选取点，，在，，处铺设三条水管，方便后期用水浇灌种植的农作物，并使得的长度最小．已知，，，，．按照计划，每铺设一米水管的费用为600元，学校的预算费用是46000元．请你帮助学校计算一下，学校准备的费用够吗？（参考数据：）
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】D
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】B
8.【答案】C
9.【答案】
10.【答案】 /八
11.【答案】36
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】解：
．

15.【答案】解：解①，得
，
解②，得
，
∴原不等式组的解集为．

16.【答案】解：，
∴，
方程两边同时乘以，得，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解．

17.【答案】解：如图，即为所求．

18.【答案】证明：∵平分，
∴．
∵，
∴，
∴．

19.【答案】解：设正方形的边长为，则小美剪去 的长方形纸条的周长为，小明剪去 的长方形纸条的周长为，依题意，得
，
解得，
答：正方形的边长为．

20.【答案】【小题1】
【小题2】
解：列表如下，
A B C D
A
B
C
D
由表可得，所有等可能的结果共有16种，其中学校和分部租到不同公司机器人的结果有12种．
因此该学校和分部租到不同公司机器人的概率为．

21.【答案】解：过点作，
，
，
，
四边形为矩形，
，
，
，
，
，
，是的角平分线，
，
，
，
，
，
，
，
在中，
，
，
．
摄像头最远可视点与点之间的距离为．

22.【答案】【小题1】
解：设购进弗洛伊德玫瑰把，则购进卡布奇诺玫瑰把，
根据题意得：
，
∵购进弗洛伊德玫瑰的数量不少于卡布奇诺玫瑰的数量的，
∴，解得，
∵，解得，
∴，
∴与的函数表达式为且为整数；
【小题2】
解：∵，
∴随的增大而减少，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
答：当时，出售这批玫瑰获得的利润最大，最大利润是1696元．

23.【答案】【小题1】
4
88
84.5
【小题2】
解：因为七年级和八年级的平均分相同，八年级的中位数大，所以说明八年级学生的高分人数要多于七年级学生，所以八年级学生对人形机器人的了解程度较好；
【小题3】
解：，
所以该校七，八年级中达标的学生共有1380人．

24.【答案】【小题1】
证明：如图
∵，，
∴是的垂直平分线，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴；
【小题2】
解：令交点为F，连接，如图
∵的半径为2，
∴
∴，，
∵，为直径，
∴与相切于点A，
∵与相切于点C，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
即，
解得或 （不符合题意，舍去）．
∴的长为．

25.【答案】【小题1】
解：∵二次函数的图象经过点，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为；
【小题2】
解：存在，
根据题意可知点，
当时，，解得，
∴点．
∵二次函数的表达式为，
∴抛物线的顶点坐标为，
∴，
∴，
∴是直角三角形，且．
∵点，
∴．
当时，，
∴，即点；
当时，，
∴，即点，
所以点P的坐标是或．

26.【答案】【小题1】
【小题2】
解：过点作于，向右平移个单位得到，作关于的对称点，连接、，
∴，
当，，三点共线时，的值最小，最小值为线段的长度，
∵四边形是平行四边形，，，，
∴，，，
∴，，
∴，
∴的最小值为；
【小题3】
解：作点O关于直线对称点，点O关于直线对称点，连接，过作的延长线于点H，连接，，
∴，，，
∴，
∴当点E，F，，四点共线时，使得的长度最小，即的长度，
∵，．
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴学校准备的费用够用．

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