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2025-2026学年云南省昆明市西山区高二（上）期末数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.（2-i）i的虚部为（　　）
A. 2 B. -2 C. 1 D. -1
2.已知集合A={0，1，4，9}，，则A∩B=（　　）
A. {0，1，4} B. {0，1，9} C. {4，9} D. {0，1}
3.若椭圆C的离心率为，则C的长轴长与短轴长之比为（　　）
A. 1：2 B. 2：1 C. ：2 D.
4.在△ABC中，若AB=1，AC=5，BC=3，则B=（　　）
A. 30° B. 45° C. 135° D. 150°
5.已知f（x）是定义在R上且周期为2的奇函数，当1≤x≤2时，f（x）=x2-x,则=（　　）
A. B. C. D.
6.等差数列{an}的前n项和为Sn，若，则=（　　）
A. 6 B. 9 C. 12 D. 21
7.若圆M：x2+y2-2ax=0（a＞0）截直线x+y=0所得线段的长是，则圆M与圆（x-3）2+（y-4）2=16的位置关系是（　　）
A. 外切 B. 内切 C. 相离 D. 相交
8.已知θ∈（0，π），且，则=（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.设Sn为数列{an}的前n项和，满足Sn=2an-1，则（　　）
A. a3=2a2 B. a4=16 C. S5=31 D. Sn＞an
10.在棱长为4的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为DD1的中点，则（　　）
A. BC1∥AE B. 点D到平面AEC的距离为
C. DB1⊥AC D. 直线BE与CD所成角的余弦值为
11.已知P是双曲线上一动点，O为坐标原点，过点P作直线分别与双曲线的渐近线交于M，N两点，且，下列说法正确的是（　　）
A. 若直线MN垂直于x轴，则
B. 若，则双曲线的离心率为
C. 若点P的坐标为（1，1），则直线MN的斜率为4
D. 若双曲线的离心率为，则△OMN的面积为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量=（5，2），=（-1，1），则|+2|= .
13.曲线在（1，2）点处的切线的斜率为 .
14.从{1，2，3，4，5}中任取两个不同的数作为点的坐标（x,y），则该点在圆x2+y2=25内的概率为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知函数，.
（1）求φ；
（2）求f（x）的值域和单调区间.
16.(本小题15分)
如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，E是PD的中点，AB=2AD=2PA=4，
（1）求证：PB∥平面ACE；
（2）求平面ACE与平面ABCD夹角的余弦值.
17.(本小题15分)
某校举行知识竞赛，满分100分，从中随机抽取部分参赛选手，记录他们的初赛成绩，并制成如图所示的频率分布直方图.根据频率分布直方图，请回答下列问题：
（1）求频率分布直方图中a的值，若从成绩不低于80分的同学中按分层随机抽样方法抽取22人成绩，求22人中不低于90分的人数；
（2）估计该校学生知识竞赛成绩的众数和平均数（同一组数据用区间中点值作为代表）；
（3）若甲、乙两位同学都进入复赛，已知甲复赛获奖的概率为，乙复赛获奖的概率为，甲、乙是否获奖互不影响，求至少有一位同学复赛获奖的概率.
18.(本小题17分)
已知椭圆E：=1（a＞b＞0）的焦距为2，点A（2，0）在E上.
（1）求E的方程；
（2）直线y=k（x-1）交E于P，Q两点，直线AP，AQ与y轴的交点分别为M，N.
（i）求|MN|的取值范围；
（ii）证明：以线段MN为直径的圆恒过定点.
19.(本小题17分)
已知点在抛物线C：y2=2px（p＞0）上，且P1到C的焦点的距离为.
（1）求m的值；
（2）如图，按照如下方法依次构造点Pn（n=2，3，4，…），过点Pn-1作斜率为的直线与抛物线C交于点Qn-1，令Pn为Qn-1关于x轴的对称点，记Pn的坐标为（an，bn），
（i）证明：数列{bn}是等差数列，并求bn和an；
（ii）求△Pn-1PnPn+1的面积.
1.【答案】A
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】C
5.【答案】A
6.【答案】C
7.【答案】D
8.【答案】B
9.【答案】AC
10.【答案】BCD
11.【答案】ACD
12.【答案】5
13.【答案】-1
14.【答案】
15.【答案】φ= f（x）∈[-1，1]；f（x）的单调递增区间为[kπ-，kπ+]（k∈Z）；单调递减区间为[kπ+，kπ+]（k∈Z）
16.【答案】证明：因为底面ABCD是矩形，
所以AB⊥AD，
因为PA⊥平面ABCD，
又AB 平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以PA⊥AD，PA⊥AB，
以A为原点，AB，AD，AP所在直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（0，1，1），
所以，，，
设平面ACE的一个法向量为，
则，
令y=2，则=（-1，2，-2），
，且PB 平面ACE，
所以PB∥平面ACE
17.【答案】a=0.025；10人 众数为85，平均数为79.5
18.【答案】 （i）（2，+∞）．
（ii）由对称性知，以线段MN为直径的圆恒过的定点一定在x轴上，设为T（t，0），
则=（-t，），=（-t，），
所以 =t2+ =t2+=0，
而===-3，
所以t2-3=0，解得t=，
所以定点坐标为（，0），
故以线段MN为直径的圆恒过定点（，0）
19.【答案】2 （i）设Pn-1的坐标为（an-1，bn-1），且an-1=2，
直线Pn-1Qn-1的方程为y-bn-1=（x-an-1），
与抛物线的方程x=2y2联立，可得y2-y-+bn-1=0，
由Pn为Qn-1关于x轴的对称点，可得Qn-1（an，-bn），
则+bn-+bn-1=0，即为（bn+bn-1）（bn-bn-1+1）=0，
由bn+bn-1≠0，可得bn-bn-1=-1，且b1=-1，
则数列{bn}是首项和公差均为-1的等差数列；则bn=-n，an=2n2；（ii）2
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