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2025-2026学年甘肃省定西市渭源县麻家集中学九年级（下）第一次质检数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在0，-2，，π四个数中，最大的数是（　　）
A. -2 B. 0 C. π D.
2.下列水平放置的几何体中，主视图是三角形的是（　　）
A. B. C. D.
3.下列运算结果正确的是（　　）
A. 3a-2a=1 B. a2 a3=a6
C. （-a）4=-a4 D. （a+3）（a-3）=a2-9
4.如图，直线a∥b,若∠1=30°，∠2=50°，则∠A的度数为（　　）
A. 20°
B. 30°
C. 40°
D. 50°
5.按一定规律排列的代数式：2x,3x2，4x3，5x4，6x5， ，第n个代数式是（　　）
A. 2xn B. （n-1）xn C. nxn+1 D. （n+1）xn
6.甲、乙两家公司2019～2023年的利润统计图如下，比较这两家公司的利润增长情况（　　）
A. 甲始终比乙快 B. 甲先比乙慢，后比乙快
C. 甲始终比乙慢 D. 甲先比乙快，后比乙慢
7.两年前生产1千克甲种药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现在生产1千克甲种药品的成本为60元.设甲种药品成本的年平均下降率为x,根据题意，下列方程正确的是（　　）
A. 80（1-x2）=60 B. 80（1-x）2=60 C. 80（1-x）=60 D. 80（1-2x）=60
8.如图，在矩形ABCD中，分别以点A和C为圆心，AD长为半径画弧，两弧有且仅有一个公共点.若AD=4，则图中阴影部分的面积为（　　）
A. 32-8π
B. 16-4π
C. 32-4π
D. 16-8π
9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，BC=6，AD平分∠CAB交BC于点D，点E为边AB上一点，则线段DE长度的最小值为（　　）
A. B. C. 2 D. 3
10.如图1，底面积为30cm2的空圆柱容器内水平放置着由两个实心圆柱组成的“几何体”，现向容器内匀速注水，注满为止，在注水过程中，水面高度h（cm）与注水时间t（s）之间的关系如图2.若“几何体”的下方圆柱的底面积为15cm2，则“几何体”上方圆柱体的底面积为（　　）
A. 24cm2 B. 12cm2 C. 18cm2 D. 21cm2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.分解因式：x2-3x= ．
12.用配方法解方程x2+2x-3=0时，配方后得到的方程为______.
13.对于任意实数a,b,定义一种新运算：，例如：3※1=3-1=2，5※4=5+4-6=3，则4※3= ，（-1）※（-3）= .
14.如图，在△ABC中，D，E分别是AB和AC上的点，DE∥BC，AD=3BD，△ABC的面积为32，则△ADE的面积为 .
15.在一定条件下，乐器中弦振动的频率f与弦长l成反比例关系，即f=（k为常数，k≠0）.若某乐器的弦长l为0.9米，振动频率f为200赫兹，则k的值为 .
16.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的边AB在x轴上，点A的坐标为（-2，0），点E在边CD上.将△BCE沿BE折叠，点C落在点F处.若点F的坐标为（0，6），则点E的坐标为 .
三、解答题：本题共11小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题6分)
计算：.
18.(本小题6分)
解不等式组.
19.(本小题6分)
化简：.
20.(本小题8分)
如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，BE∥DC交AC的延长线于点E.
（1）请用无刻度的直尺和圆规作∠ECM，使∠ECM=∠A，且射线CM交BE于点F（保留作图痕迹，不写作法）.
（2）证明（1）中得到的四边形CDBF是菱形.
21.(本小题10分)
在“重走建军路，致敬新四军”红色研学活动中，学校建议同学们利用假期时间自主到以下三个基地开展研学活动：A.新四军纪念馆（主馆区）；B.新四军重建军部旧址（泰山庙）；C.新四军重建军部纪念塔（大铜马）.李峰和刘杰各自随机选择一个基地作为本次研学活动的第一站.
（1）李峰选择基地A的概率为______；
（2）用画树状图或列表的方法，求李峰和刘杰选择相同基地的概率.
22.(本小题10分)
小明为了测量树AB的高度，经过实地测量，得到两个解决方案：
方案一：如图（1），测得C地与树AB相距10米，眼睛D处观测树AB的顶端A的仰角为32°；
方案二：如图（2），测得C地与树AB相距10米，在C处放一面镜子，后退2米到达点E，眼睛D在镜子C中恰好看到树AB的顶端A.
已知小明身高1.6米，试选择一个方案求出树AB的高度.（结果保留整数，tan32°≈0.64）
23.(本小题8分)
为了解学生的安全知识掌握情况，某校举办了安全知识竞赛.现从七、八年级的学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行收集、整理、描述、分析.所有学生的成绩均高于60分（成绩得分用x表示，共分成四组：A.60＜x≤70；B.70＜x≤80；C.80＜x≤90；D.90＜x≤100），下面给出了部分信息：
七年级20名学生的竞赛成绩为：
66，67，68，68，75，83，84，86，86，86，
86，87，87，89，95，95，96，98，98，100.
八年级20名学生的竞赛成绩在C组的数据是：81，82，84，87，88，89.
七、八年级所抽学生的竞赛成绩统计表
年级 七年级 八年级
平均数 85 85
中位数 86 b
众数 a 79
根据以上信息，解答下列问题：
（1）上述图表中a=______，b=______，m=______；
（2）根据以上数据分析，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的安全知识竞赛成绩较好？请说明理由（写出一条理由即可）；
（3）该校七年级有400名学生，八年级有500名学生参加了此次安全知识竞赛，估计该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀（x＞90）的学生人数是多少？
24.(本小题10分)
如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（1，6），B（n,2），与x轴，y轴分别交于C，D两点.
（1）求一次函数和反比例函数的表达式；
（2）若点P在y轴上，当△PAB的周长最小时，请直接写出点P的坐标；
（3）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，当EF=AB时，求a的值.
25.(本小题10分)
如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，AB是直径，C是的中点，过点C作⊙O的切线CE交AD的延长线于点E.
（1）求证：CE⊥AE；
（2）连接BD，若BC=6，AC=8，求BD的长.
26.(本小题10分)
问题提出
已知△ABC是等边三角形，将等边三角形ADE（A，D，E三点按逆时针排列）绕顶点A旋转，且平移线段AD使点A与顶点C重合，得到线段CF，连接BE，EF，BF.
观察发现
（1）如图1，当点E在线段AB上，猜想△BEF的形状______；
探究迁移
（2）如图2，当点E不在线段AB上，（1）中猜想的结论是否依然成立，请说明理由；
拓展应用
（3）若AB=2，，在△ADE绕着点A旋转的过程中，当EF⊥AC时，求线段AF的长.
27.(本小题12分)
如图，抛物线与x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，顶点为P.（1）求抛物线的解析式及P点坐标；
（2）抛物线交y轴于点C，经过点A，B，C的圆与y轴的另一个交点为D，求线段CD的长；
（3）过点P的直线y=kx+n分别与抛物线、直线x=-1交于x轴下方的点M，N，直线NB交抛物线对称轴于点E，点P关于E的对称点为Q，MH⊥x轴于点H.请判断点H与直线NQ的位置关系，并证明你的结论.
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】A
5.【答案】D
6.【答案】A
7.【答案】B
8.【答案】D
9.【答案】C
10.【答案】A
11.【答案】x(x-3)
12.【答案】（x+1）2=4
13.【答案】1
2

14.【答案】18
15.【答案】180
16.【答案】（3，10）
17.【答案】9．
18.【答案】解：，
解不等式①得：x＞-2，
解不等式②得：x＜0，
∴原不等式组的解集为：-2＜x＜0．
19.【答案】．
20.【答案】（1）解：如图，∠ECM即为所求；
（2）证明：由（1），得∠ECF=∠A，
∴CF∥AB．
∵BE∥DC，
∴四边形CDBF是平行四边形，
∵CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，
∴CD=BD，
∴ CDBF是菱形．
21.【答案】
22.【答案】解：方案一：过D作DE⊥AB于点E，
由题意得：CD⊥BC，AB⊥BC，
∴∠C=∠B=∠DEB=90°，
∴四边形BCDE为矩形，
∴BE=CD=1.6m,DE=BC=10m,
在Rt△ADE中，tan∠ADE=，
∴AE=DEtan∠ADE≈0.64×10=6.4m,
∴AB=AE+EB=1.6+6.4=8m.
方案二：由题意得：CE=2，BC=10，DE=1.6，∠E=∠B=90°，∠DCE=∠ACB，
∴△ABC∽△DEC，
∴，
即：，
解得：AB=8m.
答：树AB的高度为8米．
23.【答案】86，87.5，40；
八年级学生竞赛成绩较好，理由：
七、八年级的平均分均为85分，八年级的中位数高于七年级的中位数，整体上看八年级学生竞赛成绩较好；
该校七、八年级参加此次安全知识竞赛成绩优秀的学生人数是320人
24.【答案】解：（1）∵一次函数y=kx+b与反比例函数y=（x＞0）的图象交于点A（1，6），B（n,2），
∴，
∴m=6，
∴反比例函数的表达式为y=，
∴2=，
∴n=3，
∴B（3，2），
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为y=-2x+8；
（2）如图，作点A关于y轴的对称点E，连接EB交y轴于P，
则此时，△PAB的周长最小，
∵点A（1，6），
∴E（-1，6），
设直线BE的解析式为y=mx+c,
∴，
解得，
∴直线BE的解析式为y=-x+5，
当x=0时，y=5，
∴点P的坐标为（0，5）；
（3）将直线AB向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F两点，
∴直线EF的解析式为y=-2x+8-a,
∴E（，0）．F（0，8-a），
∵EF=AB，
∴=×，
解得a=6或a=10．
25.【答案】（1）证明：连接OC.
∵CE切圆于C，
∴OC⊥CE，
∵C是的中点，
∴∠CAD=∠BAC，
∵OC=OA，
∴∠ACO=∠BAC，
∴∠CAD=∠ACO，
∴CO∥AE，
∴CE⊥AE．
（2）∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，∠ADB=90°，
∵BC=6，AC=8，
∴AB==10，
∴OB=5，
∵OC∥AE，BD⊥AD，
∴OC⊥BD，
∴BD=2BH，
令CH=x,
∵BH2=BC2-CH2=OB2-OH2，
∴62-x2=52-（5-x）2，
∴x=3.6，
∴CH=3.6，
∴BH==4.8，
∴BD=2BH=9.6．
26.【答案】等边三角形；
当点E不在线段AB上， 中的结论依然成立，理由见解答过程；
AF的值为或．
27.【答案】解：（1）∵抛物线与 x轴交于A（-1，0），B（4，0）两点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为y=x2-x-2，
而，
∴抛物线顶点P的坐标为（，-）；
（2）如图：
在y=x2-x-2中，令x=0得y=-2，
∴点C（0，-2），
∵A（-1，0），B（4，0），
∴tan∠ACO==，tan∠CBO===，
∴∠ACO=∠CBO，
∵∠CBO+∠OCB=90°，
∴∠ACO+∠OCB=90°，即∠ACB=90°，
∴AB是经过点A、B、C的圆的直径，
∵AB⊥CD，AB经过圆心，
∴CD=2CO=4；
（3）H在直线NQ上，证明如下：
如图：
将代入y=kx+n得：，
∴n=-k-，
∴直线MN解析式为y=kx-k-，
联立，
解得或，
∴M（2k+，2k2-），
∵MH⊥x轴于点H，
∴H（2k+，0），
在y=kx-k-中，令x=-1得y=-k-k-=-k-，
∴N（-1，-k-），
∵GE⊥x轴，AN⊥x轴，
∴GE∥AN，点G为AB中点，
∴，
∴点E为BN中点，
∵N（-1，-k-），B（4，0），
∴E（，-k-），
∵P，Q关于E对称，即E为PQ中点，
∴Q（，-k），
由N（-1，-k-），Q（，-k）可得直线NQ解析式为y=x-k-，
在y=x-k-中，令y=0得x=2k+，
∴直线NQ与x轴交于（2k+，0），即直线NQ与x轴交于点H，
∴H在直线NQ上．
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