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2025-2026学年吉林省长春六中高二（下）第一学程数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.有甲、乙、丙、丁、戊5名同学站成一排参加文艺汇演，若甲和乙相邻，则不同排列方式共有（　　）
A. 12种 B. 24种 C. 36种 D. 48种
2.设A B，且P（A）=0.3，P（B）=0.6，则P（A|B）=（　　）
A. 1 B. C. D.
3.将甲乙丙丁戊5名志愿者全部分配到A，B，C三个地区参加公益活动，要求每个地区都要有志愿者且最多不超过2人，则不同的分配方案有（　　）
A. 90种 B. 180种 C. 60种 D. 120种
4.2026年央视春晚舞蹈机器人节目《武Bot》惊艳全球!其中，机器人以“似倒非倒”的姿态将醉拳的飘逸与力量完美融合.根据系统日志，一个机器人执行“后空翻”任务时，落地状态仅存在三种互斥的情况：
①平稳落地（概率为0.7）：动作精准，必定能站稳；
②踉跄落地（概率为0.2）：重心略偏，90%能站稳；
③近乎倒地（概率为0.1）：姿态失衡，50%能站稳.
则这个机器人执行后空翻任务时能站稳的概率为（　　）
A. 0.9 B. 0.91 C. 0.92 D. 0.93
5.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB=2BC，P为线段BC1的中点，则异面直线DP与B1C1所成角的余弦值为（　　）
A.
B.
C.
D.
6.从标有0，1，2，3，4的五张卡片中随机选取4张放入如图所示的空格处组成一个四位数的偶数，则这个数大于2023的概率为（　　）
A. B. C. D.
7.英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.2025贺岁档电影精彩纷呈，有几部影片是小红同学想去影院看的.小红同学家附近有甲、乙两家影院，小红第一天去甲、乙两家影院观影的概率分别为0.3和0.7.如果她第一天去甲影院，那么第二天去甲影院的概率为0.6；如果第一天去乙影院，那么第二天去甲影院的概率为0.5，则小红同学（　　）
A. 第二天去甲影院的概率为0.54
B. 第二天去乙影院的概率为0.46
C. 已知小红第二天去了甲影院，那么她第一天去乙影院的概率为
D. 已知小红第二天去了乙影院，那么她第一天去甲影院的概率为
8.在一个抽奖游戏中，主持人从编号为1，2，3，4的四个外观相同的空箱子中随机选择一个，放入一件奖品，再将四个箱子关闭，只有主持人知道奖品在哪个箱子里，当抽奖人选择了某个箱子后，在箱子打开之前，主持人先随机打开另一个没有奖品的箱子，并问抽奖人是否愿意更改选择以便增加中奖概率，现在已知甲选择了1号箱，用Ai表示i号箱有奖品（i=1，2，3，4），用Bj表示主持人打开j号箱子（j=2，3，4），下列结论正确的是（　　）
A.
B.
C. 若j=3，甲无论是否更改选择，他获奖的概率均为
D. 若j=3，要使获奖概率更大，甲应该改选2号或者4号箱中的任意一个
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.若，则下列选项正确的有（　　）
A. a1=-4052
B. 展开式中所有项的二项式系数的和为22026
C. 奇数项的系数和为
D.
10.已知F1，F2分别为双曲线C：=1的左、右焦点，点A为双曲线右支上任意一点，点M（2，3），下列结论中正确的是（　　）
A. |AF1|-|AF2|=4
B. |AM|+|AF1|的最小值为
C. 过M与双曲线有一个公共点直线有3条
D. 若∠F1AF2=90°，则△F1AF2的面积为5
11.“杨辉三角”如图所示，则（　　）
A. 第6行所有数中，第4个数最大
B. 72在杨辉三角中出现了3次
C. 第100行的所有数之和被5除的余数为1
D. 将第5行的数排成一列，相同数字不相邻的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.把5封不同的信投入4个不同的信箱，不同的投法种数共有 种.
13.若将自然数1，2，3，4，5，…，按照如图排列，我们将2，4，7，11，16，…都称为“拐角数”，则第20个“拐角数”为 .（用数字作答）
14.马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，为状态空间中经过从一个状态到另一个状态的转换的随机过程.该过程要求具备“无记忆”的性质：下一状态的概率分布只能由当前状态决定，在时间序列中它前面的事件均与之无关.甲乙两个口袋中各装有1个黑球和2个白球，现从甲、乙两口袋中各任取一个球交换放入另一口袋，重复进行n（n∈N*）次这样的操作，记甲口袋中黑球个数为Xn，恰有1个黑球的概率为pn，则pn= .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知等差数列{an}满足a3=3，a4=4.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{an+bn}是首项为2，公比为3的等比数列，求数列{bn}的前n项和.
16.(本小题15分)
已知展开式中，只有第6项的二项式系数最大.
（1）求n的值；
（2）求a1+a2+ +an的值；
（3）求|a0|+|a1|+|a2|+ +|an|的值.
17.(本小题15分)
甲、乙两名同学进行传统文化知识比赛，规则如下：连续胜两局者获胜，比赛结束；比赛最多五局，若五局结束时两人均未能连续获胜两局，则五局中胜局数多者获胜.在一局比赛中，若甲胜，则甲下一局胜的概率为；若甲输，则甲下一局胜的概率为.已知第一局甲胜的概率为，假设每局比赛没有平局，记比赛结束时的局数为X.
（1）求第2局比赛甲胜的概率；
（2）在X=3的条件下，求甲胜的概率；
（3）求比赛结束时甲胜的概率.
18.(本小题17分)
已知椭圆过点，且离心率为.
（1）求E的方程；
（2）直线l1经过E的左焦点F1与E相交于A，B两点，直线l2与E相交于C，D两点，且AC，BD的交点为E的右焦点F2，记l1，l2的斜率分别为k1，k2，k2=λk1.
（i）证明：λ为定值；
（ii）求点P到l2的距离的最大值.
19.(本小题17分)
近年来足球赛事中，单败淘汰赛制（输一局就淘汰）与新兴的双败赛制并存，为比赛增添了许多看点.现有四支队伍A、B、C、D参与赛事，其中A是强队，对阵B、C、D的获胜概率均为p,，而B、C、D彼此之间对阵时获胜概率均为.经抽签，第一轮比赛时，A和C对阵，B和D对阵.
双败赛制规则如下图所示：
（1）若赛前要从4支队伍中随机选出2支队伍打一场热身赛，求选出的两支队伍恰好是A和B的概率；
（2）若，在单败淘汰赛赛制下，B获得冠军的概率是多少？
（3）分别计算两种赛制下A获得冠军的概率（用p表示），并据此证明双败赛制对强队更有利.
1.【答案】D
2.【答案】B
3.【答案】A
4.【答案】D
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】D
8.【答案】D
9.【答案】ABD
10.【答案】ABD
11.【答案】ACD
12.【答案】1024
13.【答案】211
14.【答案】
15.【答案】an=n
16.【答案】10 0 310
17.【答案】
18.【答案】 （i）由（1）知F1（-1，0），F2（1，0），
由题意知，直线l1的斜率不可能为0，设其方程为x=my-1，则，A（x1，y1），B（x2，y2），
所以，
设AC的方程为x=ny+1，C（x3，y3），D（x4，y4），则，
联立，消去x得（3n2+4）y2+6ny-9=0，
所以，
即，
所以，
同理，
所以==，
所以=．
（ii）
19.【答案】 在单败淘汰赛赛制下，A要想获得冠军，有两种情况：
①A、C对阵时A赢，B、D对阵时B赢，A再与B对阵时A赢，即事件MBM，
，
②A、C对阵时A赢，B、D对阵时D赢，A再与D对阵时A赢；即事件MDM，
，
∵事件MBM与事件MDM互斥，∴A获得冠军的概率为：
，
在双败赛赛制下，A要想获得冠军，从每场A参与的比赛中A的输赢角度出发，有三种情况：
①A、C对阵时A赢，A与B、D对阵中的胜者比赛时A赢，最后一场决赛A赢，即事件MMM，
P（MMM）=P（M）P（M）P（M）=p p p=p3
②A、C对阵时A赢，A与B、D对阵中的胜者比赛时A输，B、D对阵中负者与C对阵时胜者与A对阵时A赢，
最后一场决赛A赢，即事件，
，
③A、C对阵时A输，A与B、D对阵中的负者比赛时A赢，B、D对阵中的胜者与C对阵时负者与A对阵时A赢，
最后一场决赛A赢，即事件，
，
∴A获得冠军概率为：
=p3+p3（1-p）+p3（1-p）=p3（3-2p），
∵，
当时，有P2-P1＞0．
∴双败赛制对强队更有利
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