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2025-2026学年吉林省长春市九台一中高一（下）第一次月考数学试卷
一、单项选择题：本大题共8小题，共40分。
1.=（　　）
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是（　　）
A. 若，则 B. ，则
C. 若，且，则 D. 若，则与不共线
3.若复数z满足（2+i）z=4-3i,则复数z虚部为（　　）
A. 1 B. i C. -2 D. -2i
4.已知平面向量=（-1，），=（，）.若（k+）⊥（-2），则k=（　　）
A. B. C. -2 D. 2
5.在△ABC中，AB=2，AC=3，，则△ABC的面积为（　　）
A. B. C. D.
6.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且，则a=（　　）
A. B. C. 1 D. 3
7.在边长为1的正方形ABCD中，M为BC中点，点E在线段AB上运动，则的取值范围是（　　）
A. [，2] B. [0，] C. [，] D. [0，1]
8.如图，在△ABC中，，，若，则λ+μ=（　　）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共3小题，共18分。
9.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,则下列说法正确的是（　　）
A. 若A＞B，则sinA＞sinB
B. 若a：b：c=4：5：6，则△ABC是钝角三角形
C. 若sinA=sinB，则△ABC为等腰三角形
D. 若A=30°，b=4，a=3，则△ABC有一个解
10.已知向量，，则下列结论正确的是（　　）
A. 若，则
B. 若，则
C. 的最大值为2
D. 若在上的投影向量为，则向量与的夹角为
11.下列命题正确的是（　　）
A. 在△ABC中，，则△ABC的形状一定是直角三角形
B. 若A，B，C，D四点在同一条直线上，且AB=CD，则
C. 平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是矩形
D. 在△ABC中，若，则P点的轨迹经过△ABC的内心
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若z1=3-2i,z2=i+1，则|z1-z2|= .
13.已知，且与夹角为锐角，则λ的取值范围为______.
14.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a,b,c,若2bcosB=acosC+ccosA，b=2，则△ABC面积的最大值是 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
已知，，.
（1）求与的夹角；
（2）求的值.
16.(本小题15分)
已知复数z=m2-3m-4+（m2+4m+3）i（m∈R）.
（1）若z是实数，求m的值；
（2）若z是纯虚数，求m的值；
（3）若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围.
17.(本小题15分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2b cosA=c cosA+a cosC．
（1）求角A的大小；
（2）若a=，b+c=4，求bc的值．
18.(本小题17分)
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a,b,c,且向量，向量，.
（1）求角C；
（2）若，求△ABC周长的取值范围.
19.(本小题17分)
如图1所示，在△ABC中，点D在线段BC上，满足，G是线段AB上的点，且满足，线段CG与线段AD交于点O.
（1）若，求实数x,y的值；
（2）若，求实数t的值；
（3）如图2，过点O的直线与边AB，AC分别交于点E，F，设，（λ＞0，μ＞0）；求λμ的最大值.
1.【答案】B
2.【答案】A
3.【答案】C
4.【答案】A
5.【答案】A
6.【答案】A
7.【答案】C
8.【答案】D
9.【答案】AC
10.【答案】AD
11.【答案】ACD
12.【答案】
13.【答案】λ＞-且λ≠0
14.【答案】
15.【答案】解：（1）因为，所以，
故，
所以，
因为，所以，
（2）因为，，，
所以，
，
故．
16.【答案】m=-1或m=-3；
m=4；
（-3，-1）
17.【答案】解：（1）已知等式2b cosA=c cosA+a cosC，
由正弦定理化简得：2sinB cosA=sinCcosA+sinAcosC，
即2sinBcosA=sin（A+C）=sinB，
在△ABC中，sinB≠0，
∴cosA=，∴A=；
（2）a=，A=；
由余弦定理得：
a2=b2+c2-2bccos60°=7，
代入b+c=4得（b+c）2-3bc=7
bc=3．
18.【答案】解：（1）∵，
∴（a-c）（a+c）+（b-a）b=0，
化简得a2+b2-c2=ab,
∴
∵C∈（0，π），
∴．
（2）由余弦定理得c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2-ab=（a+b）2-3ab.
∵∴，
当且仅当a=b时等号成立．
∴，
∴，
当且仅当时等号成立．
∴，
又∵a+b＞c,∴．
∴△ABC周长的取值范围为．
19.【答案】
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