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2025-2026学年四川省成都市温江区王府外国语学校九年级（下）月考数学试卷（3月份）
一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.时光流转，我们共同迎来2026年的学习生活，愿同学们在知识的陪伴下，脚踏实地，努力前行.现在，让我们从数学的视角开启这一年：2026的相反数是（　　）
A. 2026 B. -2026 C. D.
2.“月壤砖”是模拟月壤原料制成的一种建筑材料.如图是一种“月壤砖”的示意图，其左视图为（　　）
A.
B.
C.
D.
3.ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（　　）
A. 1.75×103 B. 1.75×1012 C. 1750×108 D. 1.75×1011
4.杜牧在《清明》一诗中写道“清明时节雨纷纷”，诗句中描述的事件是（　　）
A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 确定性事件 D. 随机事件
5.当前，人工智能新技术不断突破、新业态持续涌现、新应用加快拓展，已经成为新一轮科技革命和产业变革的重要驱动理念.某科技公司对员工进行调查发现，使用“ChatGPT”“DeepSeek”“豆包”“Kimi”“文心一言”这5种人工智能软件的人数分别为：24，30，29，26，30，则这组数据的中位数是（　　）
A. 24 B. 26 C. 29 D. 30
6.《四元玉鉴》是一部成就辉煌的数学名著，在中国古代数学史上有着重要地位.其中有一个“酒分醇醨”问题：务中听得语吟吟，道是醇醨酒二盆.醇酒一升醉三客，醨酒三升醉一人.共通饮了一斗七，一十九客醉醺醺.欲问高明能算士，几何醨酒几多醇？其大意为：有好酒和薄酒分别装在瓶中，好酒1升醉了3位客人，薄酒3升醉了1位客人，现在好酒和薄酒一共饮了17升，醉了19位客人，试问好酒、薄酒各有多少升？若设好酒有x升，薄酒有y升，根据题意列方程组为（　　）
A. B.
C. D.
7.如图，在 ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F.若AE=4，AF=6，且 ABCD的周长为40，则 ABCD的面积为（　　）
A. 48 B. 36 C. 40 D. 24
8.如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A，B（1，0）两点，对称轴是直线x=-1，下列说法正确的是（　　）
A. a＜0
B. 当x＞-1时，y的值随着x的值增大而减小
C. 点A的坐标为（-2，0）
D. 4a-2b+c＜0
二、填空题：本题共10小题，每小题4分，共40分。
9.分解因式：x2-16y2= ______．
10.在电压不变的情况下，电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）是反比例函数关系.当R=6时，l=5.则电流I与电阻R之间的函数表达式为I= .
11.方程=的解是 ．
12.如图，半圆O的直径AB为4，将半圆O绕点B顺时针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P，则图中阴影部分的面积为 .
13.如图，在△ABC中，按以下步骤作图：①分别以点B和C为圆心，以大于BC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交边AB于点E．若AC=5，BE=4，∠B=45°，则AB的长为 ．

14.如图，已知△ABC≌△ADE，点D恰好在BC边上，若∠EAC=50°，则∠ADE的度数为 .
15.若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程x2-6x+4=0的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是 ．
16.如图，已知⊙O是小正方形的外接圆，是大正方形的内切圆．现假设可以随意在图中取点，则这个点取在阴影部分的概率是 ______．
17.以等腰三角形的一腰为边向外作等腰三角形，使该边所对的角等于原等腰三角形的顶角.此时该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”.如图1，在△ABC中，AB=AC，AC=AD，∠D=∠BAC.此时，四边形ABCD是“双等四边形”，△ABC是“伴随三角形”.如图2，在等腰三角形ABC中，，在平面内找一点D，使四边形ABCD是以△ABC为伴随三角形的双等四边形.则CD= .
18.分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”.古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：.将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ；对于任意正整数k,将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 .
三、解答题：本题共8小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.(本小题10分)
（1）计算：；
（2）解不等式组：.
20.(本小题8分)
党的二十大报告再次将劳动教育同“德育、智育、体育、美育”放在同等重要的战略地位，明确了全面加强新时代大中小学劳动教育的重要性，为落实劳动教育，某校在寒假期间组织学生进行“为家献爱心”活动，活动设置了四个爱心项目：A.为家人做早饭，B.洗碗，C.打扫家，D.洗衣服.要求每个学生必须且只能选择一项参加，并且要坚持整个寒假，为了了解全校参加各项目的学生人数，学校随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了两幅不完整的统计图，请根据所给信息，解答下列问题：
（1）本次接受抽样调查的总人数是______人；
（2）请将上述两个统计图中缺失的部分补充完整；
（3）该校参加活动的学生共2600人，请估计该校参加A项目的学生有______人；
（4）小雯同学在整个寒假中每天都能坚持洗碗，养成了很好的劳动习惯，妈妈奖励带她去看两场电影，小雯听说春节期间新上映的四部电影《热辣滚烫》、《飞驰人生2》、《第二十条》、《之逆转时空》（依次记为a、b、c、d）都深受大家喜爱，很难做出决定，于是将写有这四个编号的卡片（除序号和内容外，其余完全相同）背面朝上放置，洗匀放好，从中随机抽取两张卡片，请用列表或画树状图的方法，求抽到的两张卡片恰好是“a《热辣滚烫》”和“b法《飞驰人生2》”的概率.
21.(本小题8分)
如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成.如图2，AB是灯杆，CD是灯管支架，灯管支架CD与灯杆间的夹角∠BDC=60°.综合实践小组的同学想知道灯管支架CD的长度，他们在地面的点E处测得灯管支架底部D的仰角为60°，在点F处测得灯管支架顶部C的仰角为30°，测得AE=3m,EF=9m（A，E，F在同一条直线上）.请解答下列问题：
（1）求灯管支架底部距地面高度AD的长（结果保留根号）；
（2）求灯管支架CD的长度（结果精确到0.1m,参考数据：）.
22.(本小题10分)
如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C作⊙O的切线交BA的延长线于点D，连接AC，BC．
（1）求证：∠DCA=∠ABC；
（2）当时，①求tan∠ABC；
②若DF平分∠BDC，交BC于点F，CF=2，求⊙O半径．
23.(本小题12分)
模型学习：
如图1，AB⊥BD，CD⊥BD，AP⊥PC，垂足分别为B、P、D，且三个垂足在同一直线上，我们把这样的图形叫“K型图”；易得△ABP∽△PDC.
模型应用：
如图2，已知在四边形ABCD中，AB⊥BC，AB∥CD，AB=3，CD=2，BC=5，若以AD为直径的圆与边BC相交于点P，则BP的长为______.
模型拓展：
如图3，在平面直角坐标系中，直线l：y=x+2与x、y轴分别相交于点A、B，将直线l绕点B逆时针旋转45°后得到直线l'，求直线l'的函数关系式.
模型延伸：
如图4，反比例函数的图象经过点A（4，6），在OA的右侧该图象上找一点B，使tan∠AOB=，求点B的坐标.
24.(本小题8分)
小美打算在“母亲节”买一束百合和康乃馨组合的鲜花送给妈妈．已知买2支百合和1支康乃馨共需花费14元，3支康乃馨的价格比2支百合的价格多2元．
（1）求买一支康乃馨和一支百合各需多少元？
（2）小美准备买康乃馨和百合共11支，且康乃馨不多于9支，设买康乃馨x支，买这束鲜花所需总费用为w元．
①求w与x之间的函数关系式；
②请你帮小美设计一种使费用最少的买花方案，并求出最少费用．
25.(本小题10分)
已知：抛物线y=x2+bx+c经过点A（-1，0）和点C（0，-3），与x轴交于另一点B.
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P为第四象限内抛物线上的点，连接CP，AP，AC.设点P的横坐标为m（0＜m＜3）.
①如图1，当CP⊥AC时，求tan∠PAB的值；
②如图2，连接AC，过点P作x轴的垂线，垂足为点D.过点C作AP的垂线，与射线PD交于点E，与x轴交于点F.当∠EAD=∠ACO时，求m的值.
26.(本小题12分)
在平行四边形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上.
【尝试初探】
（1）如图1，若平行四边形ABCD是正方形，E为BC的中点，∠AEF=90°，求的值；
【深入探究】
（2）如图2，∠B=45°，∠AEF=90°，AE=EF，求的值；
【拓展延伸】
（3）如图3，BF与DE交于点O，，求的值.
1.【答案】B
2.【答案】D
3.【答案】D
4.【答案】D
5.【答案】C
6.【答案】A
7.【答案】A
8.【答案】D
9.【答案】（x+4y）（x-4y）
10.【答案】
11.【答案】x=9
12.【答案】π+2
13.【答案】7
14.【答案】65°
15.【答案】2
16.【答案】
17.【答案】或或．
18.【答案】
+

19.【答案】解：（1）原式=-3+2--+1
=-；
（2）解不等式①得：x≤-3，
解不等式②得：x＞-5，
∴不等式组的解集为-5＜x≤-3．
20.【答案】120； 见解答； 390； ．
21.【答案】解：（1）在Rt△DAE中，∠AED=60°，AE=3m,
∴，
∴灯管支架底部距地面高度AD的长为．
（2）如图所示，延长FC交AB于点G，
∵∠DAE=90°，∠AFC=30°，
∴∠DGC=90°-∠AFC=60°，
∵∠GDC=60°，
∴∠DCG=180°-∠GDC-∠DGC=60°，
∴△DGC是等边三角形，
∴DC=DG，
∵EF=9m,AE=3m,
∴AF=AE+EF=12m,
在Rt△AFG中，
，
∴，
∴灯管支架CD的长度约为1.7m.
22.【答案】（1）证明：如图，连接OC，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
∵CD是⊙O的切线，
∴∠DCO=90°，
∴∠ACB=∠DCO，
∴∠DCA=∠BCO，
∵OC=OB，
∴∠OCB=∠DCA；
（2）①∵，
∴设CD=4x，OD=5x，
∴OC==3x，
∴DB=DO+OB=8x，
∵∠DCA=∠B，∠CDB=∠CDA，
∴△DCA∽△DBC，
∴==，
∴tan∠ABC==；
②如图，过点C作CH∥DB，交DF的延长线于H，
∵DF平分∠CDB，
∴∠CDF=∠BDF，
∵CH∥BD，
∴∠CHD=∠FDB，
∴∠CDF=∠CHF，
∴CD=CH=4x，
∵CH∥BD，
∴△CHF∽△BFH，
∴==，
∵CF=2，
∴BF=4，
∴BC=6，
∵=，
∴AC=3，
∴AB==3，
∴AO=，
∴⊙O半径为．
23.【答案】2或3
24.【答案】解：（1）设买一支康乃馨需m元，买一支百合需n元，
则根据题意得：，
解得：，
答：买一支康乃馨需4元，买一支百合需5元；
（2）①根据题意得：w=4x+5（11-x）=-x+55；
②∵康乃馨不多于9支，
∴x≤9，
∵-1＜0，
∴w随x的增大而减小，
∴当x=9时，w最小，
即买9支康乃馨，买11-9=2支百合费用最少，wmin=-9+55=46（元），
答：w与x之间的函数关系式：w=-x+55，买9支康乃馨，买2支百合费用最少，最少费用为46元．
25.【答案】解：（1）将点A、C的坐标代入抛物线表达式得，解得，
故抛物线的表达式为y=x2-2x-3；
（2）过点C作x轴的平行线交过点P与y轴的平行线于点N，交过点A与y轴的平行线于点M，
∵∠ACM+∠PCN=90°，∠PCN=∠CPN=90°，
∴∠ACM=∠CPN，
∴tan∠ACM=tan∠CPN==3，
故设CN=3t，则PN=t，故点P的坐标为（3m，-3+m），
将点P的坐标代入抛物线表达式得-3+m=（3m）2-2×3m-3，解得m=，
故点P的坐标为（，-），
则tantan∠PAB===；
（3）由点A、P的坐标得，直线AP的表达式为y=（m-3）（x+1），
∵CE⊥AP，故设直线CE的表达式为y=x+t，
将点C的坐标代入上式得：t=-3，
故直线CE的表达式为y=x-3，
当x=m时，y=x-3=，故点E的坐标为（m，），
∵∠EAD=∠ACO，
∴tan∠EAD=tan∠ACO=，
故，即，
解得m=12（舍去）或2，
经检验m=2是方程的根，
∴m=2．
26.【答案】；
；
．
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