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2025-2026学年四川省南充市白塔中学九年级（上）月考数学试卷（1月份）
一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.我国古代数学的许多创新与发明都在世界上具有重要影响.下列图形“刘徽割圆术”、“杨辉三角”、“赵爽弦图”、“中国七巧板”中，属于中心对称图形的是（　　）
A. B. C. D.
2.下列事件中，属于不可能事件的是（　　）
A. 抛掷一枚硬币，落地后正面朝上 B. 打开电视机正在播放奥运会比赛
C. 在一个只装有黑球的袋子里摸出红球 D. 负数小于正数
3.下列方程中，有两个不相等的实数根的是（　　）
A. 3x2+1=0 B. x2-2x+1=0 C. x2+x+1=0 D. x2+3x-1=0
4.对于二次函数y=-（x-2）2-3，下列说法正确的是（　　）
A. 当x＞2时，y随x的增大而增大 B. 当x=2时，y有最大值-3
C. 图象的顶点坐标为（-2，-3） D. 图象与x轴有两个交点
5.如图，在水平放置的圆柱形排水管的截面中，圆的半径为5，弓形部分水面宽度AB=8，则该截面中水的最大深度是（　　）
A. 5
B. 4
C. 3
D. 2
6.如图，四边形ABCD内接于⊙O，点I是△ABC的内心，∠AIC=130°，点E在AD的延长线上，则∠CDE的度数为（　　）
A. 50°
B. 60°
C. 70°
D. 80°
7.《算法统宗》是明代数学家程大位的著作，其中有许多有趣的数学问题.今有一商贩售卖绸缎、若每匹绸缎售价为五十文钱时，每日可卖出三十匹；若每匹绸缎的售价每降低一文钱，每日的销售量就会增加一匹.已知每匹绸缎的成本为三十文钱，设每匹绸缎售价为x文钱，商贩每日的利润为y文钱，则y与x之间的函数关系为（　　）
A. y=（50-x）（30+x） B. y=（x-30）（30+x）
C. y=（x-30）（80-x） D. y=（50-x）（80-x）
8.如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为6cm的等边三角形ABC，点D是母线AC的中点，一只蚂蚁从点B出发沿圆锥的表面爬行到点D处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是（　　）
A. 3cm
B.
C.
D. 6cm
9.已知方程x2-2021x+1=0的两根分别为x1，x2，则x12-的值为（　　）
A. 1 B. -1 C. 2021 D. -2021
10.已知二次函数y=ax2-4ax（a是常数，a＜0）的图象上有A（m,y1）和B（2m,y2）两点.若点A，B都在直线y=-3a的上方，且y1＞y2，则m的取值范围是（　　）
A. B. C. D. m＞2
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.一元二次方程x2=3x的根是 .
12.盒中装有黑白两种颜色的棋子，黑色棋子有a枚，白色棋子有b枚，这些棋子除颜色外无其他差别.从盒中随机取出1枚棋子，如果它是黑色棋子的概率是，则的值为 .
13.已知A（-1，y1），B（1，y2），C（4，y3）三点都在二次函数y=-（x-3）2+k的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为 .
14.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（-1，0），B（3，2），将线段AB绕点A旋转90°，得到线段AB′，则点B′的坐标是______．
15.如图，边长相等的正八边形和正方形部分重叠摆放在一起，已知正方形面积是2，那么非阴影部分面积是 .
16.如图，O是正△ABC内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO′，下列结论正确有 .（请填序号）
①点O与O′的距离为4；②∠AOB=150°；③；④.
解答题：共86分。
(本小题8分)解下列方程
（1）x2-2x-2=0
（2）（x-2）2-x+2=0
18.(本小题8分)如图，网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的顶点均在小正方形的格点上.
（1）将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1，画出△A1B1C1；
（2）将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△A2B2C2，画出△A2B2C2；
（3）在（2）的运动过程中请计算出边AC扫过的面积.
19.(本小题8分)如图，在⊙O中，半径OC，OD分别交弦AB于点E，F，且OE=OF.
（1）求证：AE=BF；
（2）求证：=.
20.(本小题10分)为了了解全校1500名学生对学校设置的篮球、羽毛球、乒乓球、踢毽子、跳绳共5项体育活动的喜爱情况，在全校范围内随机抽查部分学生，对他们喜爱的体育项目（每人只选一项）进行了问卷调查，将统计数据绘制成如图两幅不完整统计图，请根据图中提供的信息解答下列各题．
（1）m=______%，这次共抽取了______名学生进行调查；并补全条形图；
（2）请你估计该校约有______名学生喜爱打篮球；
（3）现学校准备从喜欢跳绳活动的4人（三男一女）中随机选取2人进行体能测试，请利用列表或画树状图的方法，求抽到一男一女学生的概率是多少？
(本小题10分)关于x的方程x2+（2k+1）x+k2+2=0有两个实数根x1，x2．
（1）求实数k的取值范围；
（2）若x1，x2满足|x1|+|x2|=x1x2-1，求k的值．
22.(本小题10分)
如图，A，B是⊙O上两点，且AB=OA，连接OB并延长到点C，使BC=OB，连接AC．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）已知OC=16，点D，E分别是AC，OA的中点，DE所在直线交⊙O于点F，G，求GF的长．
23.(本小题10分)某商家销售一批“中国制造”的吉祥物“拉伊卜”毛绒玩具，已知每个毛绒玩具“拉伊卜”的成本为40元，销售单价不低于成本价，但不高于72元.在销售过程中发现，毛绒玩具“拉伊卜”每天的销售量y（个）与销售单价x（元）满足如图所示的一次函数关系.
（1）若销售单价为64元，连续两次降价后售价为49元，若每次下降的百分率相同，每次下降的百分率为______；
（2）每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为多少元时，该商家每天的销售利润为2400元？
（3）当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为多少元时，该商家每天获得的利润最大？最大利润是多少元？
24.(本小题10分)如图，E为平面内一点，以正方形ABCD的顶点A为旋转中心，将线段AE顺时针旋转90°得到线段AF，连接BF.
（1）如图（1），当点E在边CD上时，求证：DE=BF；
（2）如图（2），当点E在对角线BD上时，连接EF，若AB=4，BE=3DE，求EF的长；
（3）如图（3），当点E在线段DF上时，连接CF，若BE=3DE，直接写出的值.
25.(本小题12分)
如图，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且A（-1，0），对称轴为直线x=2.
（1）求该抛物线的解析式；
（2）当点P是抛物线上的一点且在x轴的下方时，求四边形PBAC面积的最大值，并求出此时P点的坐标；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点Q，使得△BCQ是直角三角形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.
参考答案
1.C
2.C
3.D
4.B
5.D
6.D
7.C
8.C
9.B
10.C
11.x1=0，x2=3
12.
13.y1＜y2＜y3
14.（-3，4）或（1，-4）
15.
16.①②④
17.解：（1）∵a=1，b=-2，c=-2，
∴△=（-2）2-4×1×（-2）=12＞0，
则=1±；
（2）∵（x-2）2-（x-2）=0，
∴（x-2）（x-3）=0，
则x-2=0或x-3=0，
解得x1=2，x2=3．
18.解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
（3）由勾股定理得，AC=，
∴边AC扫过的面积为==．
19.证明过程见解答；
证明过程见解答
20.解：（1）20；50；
如图所示；50×20%=10（人）．
（2）360；
（3）列表如下：
男1 男2 男3 女
男1 男2，男1 男3，男1 女，男1
男2 男1，男2 男3，男2 女，男2
男3 男1，男3 男2，男3 女，男3
女 男1，女 男2，女 男3，女
∵所有可能出现的结果共12种情况，并且每种情况出现的可能性相等．其中一男一女的情况有6种．
∴抽到一男一女的概率P==．
21.（1）根据题意得Δ=（2k+1）2 4（k2+2）≥0，
解得k≥；
（2）根据题意得x1+x2= （2k+1）＜0，x1x2=k2+2＞0，
∴x1＜0，x2＜0，
∵|x1|+|x2|=|x1x2| 1，
∴ （x1+x2）=x1x2 1，
∴2k+1=k2+2 1，
整理得k2 2k=0，解得k1=0，k2=2，
∵k≥，
∴k=2．
22.（1）证明：∵AB=OA=OB，
∴△OAB是等边三角形．
∴∠AOB=∠OBA=∠OAB=60°．
∵BC=OB，
∴BC=AB，
∴∠BAC=∠C，
∵∠OBA=∠BAC+∠C=60°，
∴∠BAC=∠C=30°．
∴∠OAC=∠OAB+∠BAC=90°．
∴OA⊥AC，
∵点A在⊙O上，
∴AC是⊙O的切线；
（2）解：如图，连结OF，过点O作OH⊥GF于点H．
∴GF=2HF，∠OHE=∠OHF=90°．
∵OC=16，
∴OA=OC=8，
∵点D，E分别是AC，OA的中点，
∴OE=AE=OA=×8=4，DE∥OC．
∴∠OEH=∠AOB=60°，OH=OEsin∠OEH=2．
∴HF===2．
∴GF=2HF=4．
23.12.5% 每个毛绒玩具“拉伊卜”的售价为70元时，该商家每天的销售利润为2400元 当毛绒玩具“拉伊卜”的销售单价为72元时，该商家每天获得的利润最大，最大利润为2432元
24.（1）证明：∵将线段AE顺时针旋转90°得到线段AF，
∴AE=AF，∠EAF=90°，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠BAD=90°，AD=AB，
∴∠DAE=∠BAF，
∴△DAE≌△BAF（SAS），
则DE=BF．
（2）解：同（1）可证△DAE≌△BAF（SAS），
∴∠ADE=∠ABF，DE=BF，
∵点E在对角线BD上，
∴∠ADE=∠ABF=∠ABD=45°，
∴∠EBF=90°，
∵AB=AD=4，
∴，
∵BE=3DE，
∴，，
∴，
在Rt△EBF中，由勾股定理得，EF2=BF2+BE2=2+18=20，
则．
（3）解：延长FD至M，使ED=DM，连接MC，如图，
同（1）可证△DAE≌△BAF，则BF=DE=DM，∠ABF=∠ADE，
设∠ADE=α，则∠CDE=90°-α，
∴∠CDM=180°-∠EDC=90°+α，∠FBC=∠ABC+∠ABF=90°+α，
∵四边形ABCD为正方形，
∴DC=BC，
在△FBC和△MDC中，
，
∴△FBC≌△MDC（SAS），
∴FC=MC，∠FCB=∠MCD，
则∠FCM=∠DCF+∠DCM=∠DCF+∠BCF=90°，
故△FCM为等腰直角三角形，
在四边形BCDF中，∠FBC=90°+α，∠CDE=90°-α，则∠BFD=90°，
∴△BFE为直角三角形，
设DE=x,
∵BE=3DE，
∴BE=3x,
∴，
则，
∵，
∴，
则．
25.抛物线的解析式为y=x2-4x-5 四边形PBAC面积的最大值为，P的坐标是 Q的坐标为（2，3）或（2，-7）或（2，1）或（2，-6）
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