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山东省泰安第一中学青年路校区2025-2026学年高一下学期4月诊断测试数学试题
一、单选题
1．已知点则与同方向的单位向量为
A． B． C． D．
2．若复数为纯虚数，其中，为虚数单位，则（ ）
A． B． C．1 D．
3．已知向量，若，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知非零向量，满足，若，则向量在向量方向上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
5．在中，、分别在边、上，且，，在边上（不包含端点）．若，则的最小值是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
6．已知中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．若的面积，且，则的周长为（ ）
A． B．15 C． D．
7．如图，为了测量河对面M，N两建筑物之间的距离，小胡同学在A处观测，M，N分别在A处的北偏西、北偏东方向．再往正东方向行驶32米至B处，观测N在B处的正北方向，M在B处的北偏西方向，则M，N两建筑物之间的距离为（）
A．米 B．米 C．米 D．米
8．已知的内角 ，， 所对的边分别为 ，，，下列四个命题中错误的命题是（ ）
A．在 中，若 ，则
B．若 ，，，则有唯一解
C．若，则是等腰三角形或直角三角形
D．若 ，则角
二、多选题
9．已知为虚数单位，则以下四个说法中正确的是（ ）
A． B．复数的虚部为
C．若复数为纯虚数，则 D．若为复数，则为实数
10．下列结论正确的是（ ）
A．已知是非零向量，，若，则
B．非零向量和，满足，则与的夹角为
C．点在所在的平面内，满足，则点是的外心
D．以为顶点的四边形是一个矩形
11．已知的三个内角A，B，C的对边分别是a，b，c，面积为，则下列说法正确的是（ ）．
A．的取值范围是
B．若是锐角三角形，则的取值范围是
C．若角B的平分线BE与边AC相交于点E，且，则的最小值为9
D．若，且外接圆半径为2，圆心为O，P为上的一动点，则的取值范围为
三、填空题
12．已知向量，，，且与的夹角为锐角，则t的取值范围是__________.
13．我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
14．如图，在中，已知边上的两条中线相交于点，则的余弦值为__________.
四、解答题
15．已知向量.
(1)求；
(2)设的夹角为，求的值；
(3)若向量与互相垂直，求的值.
16．已知复数（R），为实数.
(1)求；
(2)若复数在复平面内对应的点在第四象限，且为实系数方程的根，求实数的值.
17．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.
(1)求角B的值；
(2)若D为AC的中点，且，，求的面积.
18．在锐角中，已知，，且．
(1)求角B的大小；
(2)若，求面积的最大值．
19．已知某商场门前是一块角形区域，如图所示，其中，且在该区域内点处有一个路灯，经测量点到区域边界、的距离分别为，（为长度单位）.现准备过点修建一条长椅（点分别落在、上，长椅的宽度及路灯的粗细忽略不计），以供购买冷饮的人休息.

(1)求点到点的距离；
(2)为优化商场的经营面积，当等于多少时，该三角形区域面积最小？并求出面积的最小值.
参考答案
1．A
【详解】,所以与同方向的单位向量为，故选A.
2．A
【详解】因复数为纯虚数，
则有且，解得，
所以.
3．D
【详解】因为，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故选：D．
4．A
【详解】由题意，，，
则向量在向量方向上的投影向量为.
5．C
【详解】将，代入，
得：，
在中，点B、C、D三点共线，
根据三点共线的向量性质得：，即：，
所以，
当且仅当，即：，时等号成立，此时最小值为2.
6．B
【详解】已知,由正弦定理得：，
整理可得，所以，
由于，所以；
的面积，所以，
又，所以由余弦定理，
可得，
解得或（舍去），
所以的周长．
故选：B
7．D
【详解】，，
，，，
，
在中，米.
在中，由正弦定理得米.
在中，由余弦定理得：
，
米.
故选：D.
8．D
【详解】对于A，在中，由正弦定理知，，
结合大边对大角可得，故命题正确，A不符合题意；
对于B，因为，，，
由正弦定理，得，
由知，只有一解，所以有一个解，故命题正确，B不符合题意；
对于C，因为，由正弦定理得：，则，
因为，可知或，即或，
所以是等腰三角形或直角三角形，故命题正确，C不符合题意；
对于D，因为，
由余弦定理得：，即，
因为，所以或，故命题错误，D符合题意.
故选：D.
9．AD
【详解】A：，故A正确；
B：对于复数的虚部为，故B错误；
C：由复数z为纯虚数，设()，则，所以，故C错误；
D：设复数()，则，所以，故D正确.
故选：AD.
10．ABD
【详解】对A，是非零向量，，若，即，，
即，故A正确；
对B，由非零向量和，满足，如图所示：
当向量方向如图所示，夹角为120°时，刚好满足题设条件，
则为菱形的斜对角线所示方向，
与的夹角为刚好为菱形锐角夹角的一半，故为，故B正确；
对C，当时，点为的重心，故C错误；
对D，可设，则，
，则四边形为平行四边形，又，
故，根据有一个角为90°的平行四边形为矩形可判断四边形为矩形，
故D正确.
故答案为：ABD.
11．ACD
【详解】由题意，，整理可得，
由余弦定理可知，，，
对A，
，，，，，故A正确；
对B，，因为是锐角三角形，，，，故B错误；
对于C，由，可得，
即，可得，，
当且仅当时等号成立，故C正确；
对D，由正弦定理，则，则，由余弦定理可得，所以，
又，所以，则三角形为等边三角形，取中点，如图所示：
则
，由，可得，则，故D正确.
故选：ACD
12．
【详解】因为与的夹角为锐角，故与数量积为正，且两向量不同向共线，
所以，而，解得.
13．.
【详解】因为，所以．
故答案为：.
14．
【详解】由题可得，，
，
所以
，
，
，
所以，
故答案为: .
15．(1)；
(2)；
(3).
【详解】（1）由，得，
所以.
（2）设的夹角为，则.
（3）由，得，
由向量与互相垂直得，，
所以，
化简得，解得.
16．(1)
(2)
【详解】（1）由，为实数，则为实数，
所以，即，，
所以.
（2）由在复平面内对应的点在第四象限，
所以，
又为实系数方程的根，
则，
所以，，
又，所以.
17．(1)
(2)
【详解】（1）由正弦定理得，，
则由得：，
在中，，
，则，
，，
，
，；
（2）∵D为AC的中点，，，①
由余弦定理得，，②
联立①②，解得，
，
的面积.
18．(1)
(2)
【详解】（1）由于，所以，
即，即，
由于是锐角，所以，所以.
（2）依题意，，由正弦定理得，
，所以
，
由于，所以，
所以，
所以当时，取得最大值为.
19．(1)
(2)当时，三角形面积最小，最小值为
【详解】（1）连接，在中，
因为，
所以，又、，
由余弦定理得，
所以，即点到点的距离为.

（2）由，
，
，
化简得或（舍去），当且仅当，
即、时取等号，
，
故当时，三角形面积最小，最小值为.

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