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集合与逻辑
1.集合的概念与表示
(1)集合的概念
一般地，我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合(简称集)。
元素通常用小写拉丁字母,, abc 表示；集合通常用大写拉丁字母,, ABC 表示。
(2)元素与集合的关系
元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，符号分别为 、 。
特殊的有：不含任何元素的集合叫空集，符号为 。
(3)元素的三个特性
确定性、互异性、无序性。
(4)常用数集及表示符号
名称 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N或N＋ Z Q R
(5)常用的集合表示方法
①列举法：把集合中的元素一一列举出来，并用花括号“{
举法。适用于元素较少的集合。
}”括起来表示集合的方法叫做列
②描述法：在花括号内画一竖线，竖线前写元素的一般符号及取值(或变化)范围，竖线后写元素所具有的共同特征。常用以表示无限集或元素个数较多的有限集。
③Venn图法：用平面上封闭曲线内部代表集合，这种图称为Venn图。
2.集合间的基本关系
(1)子集
对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个
集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作A B (或B A )，读作“A包含于
1
B”(或“B包含A”)。
子集的有关性质：
a.任何一个集合是它本身的子集，即A A 。 ，那么A C 。
b.对于集合A，B，C，如果A B ，且B C
c.若A B ，B A ，则A B 。
(2)真子集
如果集合A B ，但存在元素x B ，且x A ，称集合A是集合B的真子集，记作：A B
(或B A )，读作：A真包含于B(或B真包含A)。
(3)空集
规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集。
(4)子集个数
若一个集合有( nn N个元素，则它有2n个子集，2
3.集合间的运算
(1)并集
n－个真子集,2n-2个非空真子集。
一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集。
记作：A B ，读作：“A并B”，即 A B {| xx A 或 x B } 。
并集的性质：
① A BB A ； ； B ，则A B＝B ，即A B A B B 。
②A A ；
③A A B ，B A B
④若A B＝B ，则A B ，反之若A
(2)交集
一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集。
记作：A B ，读作：“A交B”，即 A B {| xx A 且 x B } 。
2
交集的性质：
① A BB A ； B ； A ，则A B B 。即B A A B B 。
② A ；
③A B A ，A B
④若A B B ，则B A ，反之若B
(3)补集
全集：如果一个集合包含我们所要研究的各个集合，这时可以将之看作一个全集。通常记
作U。
补集：对于全集U的一个子集A，由U中不属于A的所有元素组成的集合称为U的子集A
的补集，简称为A的补集。记作： CA。即 U CA U xx Ux A 。
补集的性质：
① CA U A U ； CB U ；
② CA U A ；
③ C U A B CA U
④ C U A B CA U CB U 。
4.逻辑语言
(1)充分必要性
命题：一般把判断某一件事情正误的陈述句叫做命题。
一般地，如果命题 p q (表示的意思是若p则q是真命题)，那么称p是q的充分条件，
同时q是p的必要条件。
设p对应的集合为A，q对应的集合为B，则A B 。
①如果 p q 且 q p ，那么称p是q的充要条件，记作p q 。(此时 A B)
②如果 p q 且q p，那么称p是q的充分不必要条件。(此时A是B的真子集)
③如果p q且q p，那么称p是q的必要不充分条件。(此时B是A的真子集)
3
④如果p q且q p，那么称p是q的既不充分又不必要条件。(此时A不是B的子集
而且B也不是A的子集)
(2)全称命题与存在性命题及其否定
①全称量词————“所有的”，“任意的”，“每一个”等，用“ ”表示。
全称命题 p: x Mpx ,() ；全称命题p的否定 p: M , px () 。
②存在量词————“存在一个”，“至少有一个”等，用“ ”表示。
存在性命题 p : Mpx ,() ；存在性命题的否定 p : M , px ().
4
不等式
1.不等关系与不等式
(1)(平方法则) a b 0 a n b n ( n N ,且 n 1) 1 1
(2)(开方法则) a b 0 n a n bn N , 且 n 1)
(3)(倒数法则) a b 0 1 1 ; a b 0
a b a b
2.一元二次不等式的解法
求一元二次不等式 ax 2 bx c 0(或 0) ( a 0, b 2 4 ac 0) 解集的步骤：
一化：化二次项前的系数为正数.
二判：判断对应方程的根.
三求：求对应方程的根.
四画：画出对应函数的图象.
五解集：根据图象写出不等式的解集.
规律：当二次项系数为正时，小于取中间，大于取两边.
3.高次不等式的解法：穿根法.
分解因式，把根标在数轴上，从右上方依次往下穿(奇穿偶不穿)，结合原式不等号的方向，
写出不等式的解集.
4.分式不等式的解法
先移项通分标准化，则
fx () 0 fx () gx () 0 0 (“ 或 ”时同理)
gx ()
fx () 0
fx () gx () gx ()
gx () 0
5
规律：把分式不等式等价转化为整式不等式求解.
5.无理不等式的解法
转化为有理不等式求解
(1) fx () aa 0)
fx () 0 2 或
fx () 0
fx () a
(2) fx () aa 0)
fx () 0 2
fx () a
gx () fx () 0 2
(3) fx () gx () 0
gx () 0
(4) fx () fx () [()] gx
gx () fx () 0 2
gx () 0
(5) fx () fx () [()]
gx () fx () 0
gx () 0
fx () gx ()
规律：把无理不等式等价转化为有理不等式，诀窍在于从“小”的一边分析求解.
6.含绝对值不等式的解法
(1)定义法： a
a a ( a 0). f 2 () g 2 ().
( a 0)
(2)平方法： fx () gx ()
(3)同解变形法，其同解定理有：
① x a a x aa 0); 0)
② x a x a或 x aa 0);
③ fx () gx () gx () fx () gx ()(() gx 0)
④ fx () gx () fx () gx () 或fx () gx ()(() gx
规律：关键是去掉绝对值的符号.
7.含参数的不等式的解法
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解形如 ax 2 bx c 0 且含参数的不等式时，要对参数进行分类讨论，分类讨论的标准有：
(1)讨论a与0的大小；
(2)讨论 与0的大小；
(3)讨论两根的大小.
8.恒成立问题
(1)不等式 ax 2 bx c 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：
①当 a 0 时 b 0, c 0;
②当 a 0 时 a
0 0.
(2)不等式 ax 2 bx c 0 的解集是全体实数(或恒成立)的条件是：
①当 a 0 时 b 0, c 0;
②当 a 0 时 a
0 0.
9.线性规划问题
(1)二元一次不等式所表示的平面区域的判断：
法一：取点定域法
由于直线 Ax By C 的同一侧的所有点的坐标代入Ax By C 后所得的实数的符号相同.所
以，在实际判断时，往往只需在直线某一侧任取一特殊点 ( xy) 0 0 (建议代入原点)，由
Ax 0 By 0 C 的正负即可判断出 Ax By C 0 (或 0) 表示直线哪一侧的平面区域.
即：直线定边界，分清虚实；选点定区域，常选原点.
法二：根据Ax By C 0 (或 0)，观察B的符号与不等式开口的符号，若同号，
Ax By C 0 (或 0)表示直线上方的区域；若异号，则表示直线上方的区域.即：同号上方，
异号下方.
7
(2)二元一次不等式组所表示的平面区域：
不等式组表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的公共部分.
(3)常见的目标函数的类型：
①“截距”型：Z Ax By y b 2 y 2 ( x a ) 2 ( y b ) 2
②“斜率”型： Z y x 或 Z
x a
③“距离”型： Z x 2 y 2 或 Z x
Z ( x a ) 2 ( y b ) 2 或 Z
在求该“三型”的目标函数的最值时，可结合线性规划与代数式的几何意义求解，从而使问题
简单化.
10.几个重要不等式
(1)(基本不等式) a b ab a， R ,(当且仅当a b 时取到等号)
2
变形公式： a b 2 ab ab
a b 2
2
用基本不等式求最值时(积定和最小，和定积最大)，要注意满足三个条件“一正、二定、
三相等”.
(2)(三个正数的算术—几何平均不等式) a b c 3 abc ( a、、 R ) (当且仅当a b c 时取到
3
等号)
(3) (4) a 2 b 2 c 2 ab bc caa，b R
(当且仅当a b c 时取到等号)
a 3 b 3 c 3 3 abca 0, b 0, c 0)
8
(5) (当且仅当a b c 时取到等号) 0，m 0，n 0)
若ab 0, 则 b a 2 (当仅当a=b时取等号)
a b
若 ab 0, 则 b a 2 (当仅当a=b时取等号)
(6) a b
a (糖水原理)其中( a b
b b m a n
a a m b n b
规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小.
(7)当 a 0时，x a x 2 a 2 x a或x a ; x a x 2 a 2 x a
(8)绝对值三角不等式a b a b a b
11.几个著名不等式
(1)平均不等式： a 1 2 b 1 ab a b a 2 b 2 a， R ,(当且仅当a b 时取" 号)
2 2
(即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均)
变形公式：
ab a b 2 a 2 b 2 ; a 2 b 2 ( a b ) 2
2 2 2
(2)幂平均不等式：
2 a 1 a 2 2 a n 2 1( a 1 a 2 a n ) 2
n
(3)二维形式的三角不等式：
2 x 1 2 y 1 x 2 2 y 2 2 ( x 1 x 2 ) 2 ( y 1 y 2 ) 2 2 ( xyx 1 1 2 , y 2 R ) R ). 当且仅当ad bc 时，等号
(4)二维形式的柯西不等式： ( a 2 b 2 )( c d 2 ) ( ac bd )(,,, abcd
成立.
(5)三维形式的柯西不等式：
( 2 a 1 a 2 2 a 3 2 2 )( b 1 b 2 2 b 3 2 ) ( ab 11 ab 22 ab 33 ) 2
(6)一般形式的柯西不等式：
( a 1 2 a 2 2 ... a 2 )( b 1 2 b 2 2 ... b 2 ) ( ab 11 ab 22 ... ab n n ) 2
n n
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(7)向量形式的柯西不等式：
设 是两个向量，则 当且仅当 是零向量，或存在实数k，使 k 时，等
号成立.
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函数的基础和基本初等函数
1.常见函数定义域求法
使函数解析式有意义的一般准则：
(1)分式中的分母不为0；
(2)偶次根式的被开方数非负；
(3) y x 0 要求 x 0 ；
(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1；
(5)正切函数 y tan x ， x 2 k Z ；
2.抽象函数的定义域问题
(1)若已知函数 fx的定义域为 ,ab，其复合函数 fgx 的定义域由不等式
a gx b 求出；
(2)若已知函数 fgx 的定义域为 ,ab，则 fx的定义域为 gx在 x ab , 上的值域．
3.分段函数求值
(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；
(2)当出现 f fx 的形式时，应从内到外依次求值；
(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．
4.求函数解析式的方法
(1)待定系数法
先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．
(2)换元法
对于形如 y fgx 的函数解析式，令 t gx ，从中求出 x t ，然后代入表达式求出 fx，
再将t换成x，得到 fx的解析式，要注意新元的取值范围．
(3)配凑法
由已知条件 fgx Fx ，可将 Fx改写成关于 gx的表达式，然后以x替代 gx，便得
fx的解析式．
(4)解方程组法
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已知关于 fx与 f 1 或 f x 的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程
x
组，通过解方程组求出 fx．
5．函数的单调性
定义：设函数 fx的定义域为I： xx，当,2 x 1 x 2 时，都
(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值
有 fx () 1 fx 2 ) ，那么就说函数 fx在区间D上是增函数． xx，当,2 x 1 x 2 时，都
(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值
有 fx () 1 fx 2 ) ，那么就说函数 fx在区间D上是减函数．
常用结论：
(1)函数 fx单调递增，() gx单调递增，则 fx () gx () 是增函数；
(2)函数 fx单调递减，gx()单调递减，则 fx () gx () 是减函数；
(3)函数 fx单调递增，() gx单调递减，则 fx () gx () 是增函数；
(4)函数 fx单调递减，() gx单调递增，则 fx () gx () 是减函数；
(5)若 k 0 ，则 kfx与 fx单调性相同；若 k 0 ，则 kfx与 fx单调性相反；
(6)函数 y fx () ( fx 0 () )在公共定义域内与 y fx () ， y 1 fx () 的单调性相反；
(7)复合函数 y fgx () 的单调性与 y fu () 和 u gx () 的单调性有关．简记：“同增异减”．
6．函数的奇偶性
偶函数 奇函数
定义 如果对于函数fx的定义域内任意一个x
都有f( x) fx ()，那么函数fx ()
是偶函数 都有f( x) fx ()，那么函数fx是奇函数()
图象特征 关于y轴对称 关于原点对称
函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．
常用结论：
(1)如果函数 fx是奇函数且在() x 0 处有定义，则一定有 f (0) ；如果函数 fx是偶函数，()
那么 fx () f ( x ) ．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的
单调性．
(3)设 f x， gx的定义域分别为 D,D,在它们的公共定义域D上，有下列结论：
f 偶 偶 奇 奇
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gx 偶 奇 偶 奇
fx gx 偶 不能确定 不能确定 奇
fx () gx () 偶 奇 奇 偶
fx gx 偶 奇 奇 偶
f
偶 偶 偶 奇
7.函数的周期性
函数周期性的定义：设fx的定义域为D，若对 D，存在一个非零常数T，有
fx T fx ，则称函数fx是一个周期函数，称T为 fx的一个周期。
函数周期性的判定：
(1) fx a fx ：可得 fx为周期函数，其周期T a b a
(2) fx a fx b ：可得 fx为周期函数，其周期T
(3) fx a fx b C fx 的周期 T 2 a b
(4) fx a fx b ) C fx 的周期 T 2 a b
(5) fx a 1 fx fx 的周期 T 4 a
1 fx
(6) fx fx a fx 2 a fx 的周期 T=6 a
8.函数的对称性
轴对称的等价描述：
(1) fa x fa x fx关于x a 轴对称(当 a 0 时，恰好就是偶函数) 轴对称。
(2) fa x fb x fx 关于 x a b 轴对称
2
(3) fx a 是偶函数，则 fx a f a ，进而可得到： fx关于x a
中心对称的等价描述：
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(1) fa x fa x fx关于 a,0 中心对称(当 a 0 时，恰好就是奇函数)
(2) fa x fb x fx 关于 a b ,0 中心对称
2
(3) fa x + fb x =2 c fx 关于 a b ,c 中心对称
2
(4) fx a 是奇函数，则 fx a f a ，进而可得到： fx关于 a,0 中心对称。
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基本初等函数
1.指数与指数函数
指数的运算性质(下列各式在有意义的前提下)
(1) a m a n a mn m (2) a m n a mn
(3) ab m a m b (4) a m a mn
a n
(5) a 1 m n a m
(6) an
a p
指数函数的图像与性质
函数名称 指数函数
图象 a 1 0 a 1
定义域 R
值域 0+
过定点 图象过定点 0,1
单调性 在R上是增函数 在R上是减函数
注意：在第一象限内，a越大图象越高；在第二象限内，a越大图象越低．
2.对数与对数函数
对数基础
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(1)定义： ax Na 0, 且a 1 ，则x叫做以a为底N的对数，记作 x loga N ，其中a
叫做底数，N叫做真数．
(2)几个重要的对数恒等式：log1 a 0 ，log aa ，log aa b ．
(3)常用对数与自然对数：常用对数lgN，即底数为10,
中e 2.71828 )．
对数的运算性质
logN；自然对数底数为e，即lnN(其
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如果 a 0, 且a 1, M 0, N 0，那么：
(1) log a MN log a M log a N；
(2)log a log a M log a N；
(3)log a m b n ＝ n log a b
m
(4) log b N log a N (换底公式)
log a b
由换底公式推出一些常用的结论：
(1)log a b log b a ，即 log a b 1 a loga x ） y 0 a 1 loga x
log b
(2)log a b log b c log c d loga
d
对数恒等式： a log aN Na 0且a 1, N 0)．
对数函数 y log a xa 0 且 1) 的图象与性质
底数 a 1
y x 1 y x 1 y
图象 O (1,0) 1 0 x O (1,0) 1 0 x
定义域：0 （，
性质
值域：R
图象过定点 0,1，即恒有log1 a 0
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在 0 上是增函数
在 0 上是减函数
注意 当对数函数的底数a的大小不确定时，需分a 1和0 a 1两种情况进行讨论.
3.幂函数图像
当 时，幂函数y x 在 0, 上是增函数，当 时，函数图像是向下凸的；当0 1
时，图像是向上凸的，恒过点 0,0 和1,1 ； x 的图像恒过点 1,1.
当 时，幂函数y x 在 0, 上是减函数，幂函数y
4.函数图像变换
(1)平移变换
①函数 y fx a a 0 的图像是把函数 y fx 的图像沿x轴向左平移a个单位得到的；
②函数 y fx a a 0 的图像是把函数 y fx 的图像沿x轴向右平移a个单位得到的；
③函数 y fx aa 0 的图像是把函数 y fx 的图像沿y轴向上平移a个单位得到的；
④函数 y fx aa 0 的图像是把函数 y fx 的图像沿y轴向下平移a个单位得到的；
左加右减，上加下减
(2)对称变换
①i:函数 y fx 与函数 y f x 的图像关于y轴对称；
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ii:函数 y fx 与函数 y fx 的图像关于x轴对称；
iii:函数 y fx 与函数 y f x 的图像关于坐标原点 0,0对称；
② y fx 的图像是将函数 fx的图像保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分关于x
轴对称翻折
③ y f x 的图像是将函数 fx的图像只保留y轴右边的部分不变，并将右边的图像关于y
轴对称得到函数 y f x 左边的图像即函数 y f x 是一个偶函数
5.函数与方程
零点定义及零点存在定理：
(1)对于函数 y fx ，我们把使 fx 0 的实数x叫做函数 y fx 的零点.
强调：零点不是点，而是对应方程的根，是函数图像与x轴交点的横坐标。
(2)零点存在定理：如果函数 y fx 在区间 ,ab上的图像是连续不断的一条曲线，并且有
fa fb 0 ，那么函数 y fx 在区间 ,ab内有零点，即存在 c ab , ，使得 fc 0 ，c也
就是方程 fx 0 的根；
(3)零点存在定理(唯一性定理)：如果函数 y fx 在区间 ,ab上的图像是连续不断且单调的
一条曲线，并且有 fa fb 0 ，那么函数 y fx 在区间 ,ab内有零点，即存在 c ab , ，
使得 fc 0 ,c也就是方程 fx 0 的根.
方程的根与函数零点的关系：
(1)方程 fx 0 有实数根 函数 y fx 的图像与x轴有公共点 函数 y fx 有零点.
(2)方程 fx gx 0 有实数根 函数 y fx 的图像与 y fx 的图像有公共点 函数
y fx gx 有零点.
所以，若需要找超越函数零点，最简洁的方式就是将函数拆分成两个简单函数，寻找两个函
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数图像交点即可。
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导数
1.导数的定义
函数的平均变化率、瞬时变化率、函数的导数：
设函数 y fx 在 0x附近有定义，当自变量在 x x 0 附近改变量为 时，函数值相应的改变
fx 0 x fx 0 ．如果当 趋近于0时，平均变化率 y fx 0 x fx 0 趋近于一个
x
常数k(也就是说平均变化率与某个常数k的差的绝对值越来越小，可以小于任意小的正数)，
那么常数k称为函数 fx在点 x的瞬时变化率． 0
“当 趋近于零时， fx 0 x fx 0 趋近于常数k”可以用符号“ ”记作：
x
“当 0 时， fx 0 x fx 0 k ”，或记作“ lim 0 fx 0 x fx 0 k ”，符号“ ”读作“趋
x x
近于”．
函数在 x的瞬时变化率，通常称为 fx在 x x 0 处的导数，并记作 f x 0 ．
这时又称 fx在 x x 0 处是可导的．于是上述变化过程，可以记作 x 0 ”．
“当 0 时， fx 0 x fx 0 f x 0 ”或“ lim 0 fx 0 x fx 0 f
x x
2.导数的计算
基本初等函数导数公式：
(1) C 0 (C为常数)； (2) x x 1 ； ，且 a )．
(3) sin cos x ； (4) cos sin x ；
x (5) ； (6) a x a x ln a ；
(7) ln x 1 x 0 ； (8) log ax x 1 a ( a 0
x ln
导数的四则运算：
法则1 ux vx ux vx ． 0 ．
法则2 uxvx uxvx uxvx ．
法则3
ux uxvx uxvx
vx v 2
复合函数的导数(链式法则)
复合函数 y fux 的求导法则： fux fu u ux ．
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3.导数的几何意义
f 0 k tan y 1 y 2
x 1 x 2
求切线方程
(1)点斜式： y y 0 kx x 0
(2)切点可以满足的三个关系式：切点在原函数上；切点在切线上；切点横坐标代入导函数
得斜率。
(3)不知切点必设切点
4.导数研究函数的单调性
函数单调性与导函数符号的关系
在某个区间(,) ab内，如果 f x () 0 ，那么函数 y fx () 在该区间内单调递增；
如果 f x () ，那么函数 y fx () 在该区间内单调递减.
求可导函数单调区间的一般步骤
(1)确定函数 fx的定义域； f() x 的图像一般有三种类型：
(2)求 f() x ，做出 f() x 的简图，
①“一次型”(一个零点)
②“二次型”(两个零点)
③三角函数型(用得不多)
(3)在根据导数的正负判断原函数的单调性
f x () 0 fx单调递增；
fx单调递增 f x () 0 ；
f x () 0 fx单调递减；()
fx单调递减 f x () 0 .
(4)对于含参问题的讨论，也可以从导函数图像的类型出发
导函数图像与原函数图像的关系
f'() 正 负 单增 单减
fx () 单增 单减 越陡(凹) 越缓(凸)
5.导数研究函数的极值与最值
函数的极值
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(1)函数的极小值：
函数y fx ()在点x a的函数值fa比它在点x a附近其它点的函数值都小，f a () 0 ,而且
在点x a附近的左侧f x () ，右侧f x () 0，则点a叫做函数y fx ()的极小值点，fa叫做函数y fx ()的极小值.
(2)函数的极大值：
函数y fx ()在点x b的函数值fb比它在点x b附近的其他点的函数值都大，fb () ，而且在点x b附近的左侧f x () 0，右侧f x () ，则点b叫做函数y fx ()的极大值点，fb ()
叫做函数y fx ()的极大值．
极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
函数的最值
(1)在闭区间[,] ab上连续的函数 fx在[,] () ab上必有最大值与最小值．
(2)若函数 fx在[,] () ab上单调递增，则 fa为函数的最小值， fb为函数的最大值；若函数
fx在[,] () ab上单调递减，则 fa为函数的最大值，() fb为函数的最小值．
注：极值点的导数不一定为0.
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三角函数
1.角度的基础
(1)任意角：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形；
(2)象限角：在平面直角坐标系内，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重
合，那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角;
(3)轴线角：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限，称这样的角为
轴线角；
(4)弧度制：长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角；
2.任意角三角函数定义：
如图，
在平面直角坐标系中, 是任意角,终边上任意一点P(除原点)的坐标为
离为 rr x 2 y 2 0) ，那么 ； ； ；
y y r叫做 的正弦，记做sin ，即sin r x x r叫做 的余弦，记做cos ，即cos r y y x叫做 的正切，记做tan ，即tan x
,xy，它与原点的距
特别地，角 终边上与单位圆的交点坐标为 ,xy，则sin y ,cos x ,tan y
x
23
3.同角三角函数的基本关系
平方关系： sin 2 cos 2 , sin cos 2 2sin cos 商数关系： tan sin
cos
常见变形形式： sin 2 cos 2 1 cos 1 cos ， 1 sin 1 cos
cos sin
sin 2 1 tan 2 ,cos tan 2 2 1 1 2
tan
4.诱导公式
诱导公式(一)
sin2 k sin cos2 k cos tan2 k tan
诱导公式(三)
sin sin cos cos tan tan
诱导公式(二)
sin sin cos cos tan tan
诱导公式(四)
sin sin cos cos tan tan
诱导公式(五)
sin
cos cos
sin
2 2
诱导公式(六)
sin
cos cos
sin
2 2
最后总结为一句话：奇变偶不变，符号看象限
5.三角函数图像
(1)“五点法”作图原理
24
在确定正弦函数 y sin xx 0,2 的图像时，起关键作用的5个点 的图像时，起关键作用的5个点
0,0,
,1,
2 ,0, 3 ,1,2,0 2 .
在确定余弦函数 y cos xx 0,2
0,1,
,0,
2 ,1, 3
,0,2,1 2 .
(2)三角函数图像性质
i)正弦余弦函数的图象与性质
正弦函数y sinx
正弦函数ycosx
在 0,2 上 的图像 y 1 2 xO 1
y 1 2 xO 1
定义域

值域 1,1 1,1
周期性 2 2
奇偶性 奇函数 偶函数
单调增区间 2 k 2,2 k
2 k Z
2k ,2k k Z
单调减区间 2 k 2,2 k 3 2 k Z
2k ,2k k Z
对称轴 x k k Z 2
x k k Z
对称中心 k ,0 k Z

k 2,0 k Z
ii)正切函数的图象与性质
函数 正切函数y tan, x k 2
25
图像
定义域 xx k 2,k Z
值域 ( )
周期性 T
奇偶性 奇函数，图像关于原点对称
单调性 在( k 2 k ),(k Z)上是单调增函数2
对称轴 无
对称中心
,0 (
2 k Z)
(3)图像变换
平移与伸缩变换：
一般的，由函数 y sin x 的图象得到函数 y A sin x (其中 A 0, )的图象，可以有下面
两种方法：
路径一(先平移后伸缩)：
先将函数 y sin x 的图象向左 0 或向右 0 平移 个单位长度，得到函数 y sin x 的
图象；然后使曲线上各点的横坐标变为原来的1 倍，得到函数 y sin x + 的图象；最后把
曲线上各点的纵坐标变为原来的A倍，就得到了函数 y A sin x 的图象.
路径二(先伸缩后平移)：
先将函数 y sin x 的图象上各点的横坐标变为原来的1 倍，得到函数 y sin x 的图象；然后
向左 0 或向右 0 平移 个单位长度，得到函数 y sin x + 的图象；最后把曲线上
各点的纵坐标变为原来的A倍，就得到了函数 y A sin x 的图象.
26
6.和差角公式
和角公式
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan tan tan 1 tan tan
差角公式
sin sin cos cos sin
cos cos cos sin sin
tan tan tan 1 tan tan
7.二倍角公式
sin2 2sin cos 2cos 2 11 2sin 2
cos2 cos 2 sin 2
tan2 2tan
1 tan 2
降幂扩角公式
sin cos 1 2sin2
sin 2 1 cos2
2
cos 2 1 cos2
2
半角公式
sin2 1 cos cos (万能公式)
2
cos2 1 cos
2
tan2 1 sin 1
cos sin
27
8.辅助角公式
a sin b cos a 2 b 2 sin ,tan b aab 0, 角 的终边过点 ,ab,特殊地,若
a sin b cos a 2 b 2 或 a 2 b 2 ，则tan b. a
常用的几个公式
sin cos 2sin

4 ；
sin 3cos 2sin
3;
3sin cos 2sin
6;
28
解三角形
1.正弦定理：
a A b B c C 2 R (其中R为三角形外接圆半径)
sin sin sin
十.余弦定理：
cos A b 2 c 2 a 2
a 2 2 bc b 2
cos B c 2
a 2 2 ac c 2
cos C b 2
2 ab
2.正余弦定理的变形
①面积公式： S ABC 1 ab sin C 1 2 ac sin B 1 bc sin A b c sin C
2 2
②和比： a A b B c C sin a b B a
sin sin sin A sin sin A sin B
③余弦定理变形：
a 2 b 2 c 2 2 bc cos A
b 2 a 2 c 2 2 ac cos B
c 2 a 2 b 2 2 ab cos C
3.三角形内角和定理
①内角和定理： A B C π ； ， cos A cos B C
②和差角变形： sin A sin B C
29
平面向量
1.平面向量的概念
(1)向量的概念：我们把具有大小和方向的量称为向量．
有些向量不仅有大小和方向，而且还有作用点．例如，力就是既有大小和方向，又有作用点
的向量．有些量只有大小和方向，而无特定的位置．例如，位移、速度等，通常把后一类向

量叫做自由向量．高中阶段学习的主要是自由向量，以后我们说到向量，如无特别说明，指
的都是自由向量．是可以任意平行移动的．向量不同于数量，数量之间可以进行各种代数运
算，可以比较大小，两个向量不能比较大小．
(2)向量的表示：
①几何表示法：用有向线段表示向量，有向线段的方向表示向量的方向，线段的长度表示向
量的长度．
②字母表示法：AB ，注意起点在前，终点在后． B
(3)相等向量：同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等向量．
(4)向量共线或平行：通过有向线段AB 的直线，叫做向量AB 的基线．
A
如果向量的基线互相平行或重合，则称这些向量共线或平行．向量a 平行于向量b ，记
作a ∥b ．
说明：共线向量的方向相同或相反，
注意：这里说向量平行，包含向量基线重合的情形，与两条直线平行的概念有点不同．
．
(5)零向量：长度等于零的向量，叫做零向量．记作：0
零向量的方向不确定，零向量与任意向量平行．
(6)单位向量：给定一个非零向量a ，与a 同方向且长度等于1的向量，叫做向量a 的单位向
量．
的单位向量记作 如果a 0a ，由数乘向量的定义可知 a aa 0 或 a 0 a ． a
(7)用向量表示点的位置：任给一定点O和向量a ，过点O作有向线段OA a ，则点A相对于 点O位置被向量a 所唯一确定，这时向量OA 又常叫做点A相对于点O的位置向量．
30

2.向量的线性运算
1)向量的加法：
b a+b a b b A b D a+b a B b C
a a a
C
a+b+c a+b b+c c B
O A b
a
2)向量加法的三角形法则：
已知向量,ab ，在平面上任取一点A，作 AB a ，BC
a 和b 的和(或和向量)，记作a b ，即a b AB BC
3)向量求和的平行四边形法则：
b ，再作向量AC ，则向量AC 叫做
． AC
①已知两个不共线的向量a ，b ，作AB a ，AD b ，则A，B，D三点不共线，以AB ， 为邻边作平行四边形ABCD，则对角线上的向量AC AD a b ，这个法则叫做向量求和
的平行四边形法则．
②向量的运算性质：
向量加法的交换律：a b b a a ( b c )
向量加法的结合律：( a b ) c

： 关于0 a 0 0 a a
4)向量求和的多边形法则：
已知n个向量，依次把这n个向量首尾相连，以第一个向量的始点为始点，第n个向量的终点为终点的向量叫做这n个向量的和向量．这个法则叫做向量求和的多边形法则．
(2)向量的减法：
a b d c d c b
a+b+c+d
a
31
B a-b
b
O a A 的相反向量，记作a ．
1)相反向量：与向量a 方向相反且等长的向量叫做a
零向量的相反向量仍是零向量．
2)差向量定义：如果把两个向量的始点放在一起，则这两个向量的差是以减向量的终点为始
点，被减向量的终点为终点的向量．
推论：一个向量BA 等于它的终点相对于点O的位置向量OA 减去它的始点相对于点O的位
置向量OB ，或简记“终点向量减始点向量”．
3)一个向量减去另一个向量等于加上这个向量的相反向量
向量的数乘
数乘向量：实数 和向量a 的乘积是一个向量，记作 a ，且 a 的长 a a
向量共线的条件：
如果a b ，则a ∥b ；反之，如果a ∥b ，且 b 0 ，则一定存在唯一的一个实数 ，使a b ．
3.向量的坐标运算
(1)平面向量的基本定理：如果 、 1e 是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内 2e
的任一向量a ，有且只有一对实数 1 、 ，使 a 11 2 e ，其中 、 1e 2e 是一组基底.
(2)平面向量的坐标运算
1)若 a xy ,1 ， b xy ,2 ，则 a b x 1 xy 1 y 2 ；
2)若 Axy，,1 Bx,2 ，则 AB x 2 xy 2 y 1 ；
3)若 a xy , ， R ，则 a x , y .
(3)向量平行的坐标表示
32
1)如果 a xy ,1 ， b xy ,2 b 0 ，则 a// b 的充要条件为 xy 2 xy 1 ； x 1 y 2 y 1 0 .
2)三点 Axy，,1 Bx,2 ， Cxy ,3 共线的充要条件为 x 2 x 1 y 3 y 1 x 3
(4)几个重要结论：
1)若a 、b 为不共线向量，则 a b 、 a b 为以a 、b 为邻边的平行四边形的对角线向量；
2) a b 2 a b 2 2 a 2 b 2 ； GC 0
(5)G为 ABC 的重心 GA GB
G x A x B x C , y A y B y C
3 3
(6)向量中的重要不等式
a xy ,1 , b xy ,2 , 2 x 1 2 y 1 x 2 2 y 2 2 xx 1 2 yy 1 2 2 x 1 2 y 1 x 2 2 y 2 2 .
则 a b ab a b
4.向量数量积
(1)向量的数量积的定义
1)向量a 与b 的夹角 a ，OB b ，则 AOB 0 180 叫做向量a 与b
已知两个非零向量a 和b ，过O点作OA
的夹角.
当 90 时，a 与b 垂直，记作 a b ；当 时，a 与b 同向；当 180 时，a 与b 反向.
2)a 与b 的数量积
已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为 ，则把 a b cos 叫做a 和b 的数量积(或内积)，
记作 ab a b cos .
3)规定：0 a 0 .
4)ab 的几何意义
33
a.一个向量在另一个向量方向上的投影
设 是非零向量a 与b 的夹角，则 acos 叫做a 在b 的方向上的投影， bcos 叫做b 在a 的方
向上的投影.b 在a 的方向上的投影是一个实数，而不是向量.当0 90 时，它是正值，
当90 180 时，它是负值，当 90 时，它是0.
b.ab 等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影 bcos 的乘积.
(2)向量的数量积的性质
设a 、b 都是非零向量，e 是与b 方向相同的单位向量， 是a 与e 的夹角，则
1) ea ae a cos ；
2) a b ab 0 ；
3)当a 与b 同向时，ab a b ，
当a 与b 反向时，ab a b ，
特别地， aa a ；
4) 亦为a 、b 的夹角，且cos ab ； a b
5)ab a b .
(3)向量的数量积的运算律
1)ab ba . a b R .
2) a b ab
3) a b c ac bc .
(4)平面向量的数量积的坐标表示
1)若 a xy ,1 ， b xy ,2 ，则 ab xx 2 yy 2 . 2 x 2 y 2 .
2)若 a xy , ，则 aa 2 a 2 x 2 y 2 ， | a|
3)若 Axy，,1 Bx,2 ，则 AB x 2 x 1 2 y y 1 2 ，这就是平面内两点间的距离公式.
34
4)若 a xy ,1 ， b xy ,2 ，则 a b xx 2 yy 2 0 .
35
数列
1.数列中 a与 S之间的关系
a n
S 1 S n 1 ( n 1) (注意通项能否合并)
S n ( n 2)
2.等差数列
(1)通项公式： a n a 1 ( n 1) d a m ( n md 或 an pn q ( p 、为常数)
(2)前n项和公式：
S n na 1 nn 1 d na 1 a n A a b
2 2
(3)等差中项：若三数a、、成等差数列
2
(4)常用性质：
①若 m n p qmnpq ,,, N ，则 a m a n a p a q (,kp是非零常数)、 { apnq }(, pq N * ) 也成等
②数列 na b (,b 为常数)仍为等差数列
③若{ an} 、{ bn} 是等差数列，则{ kan} 、{ ka n pb n }
差数列
④下标为等差数列的项 aa k km , a k 2 m , 仍组成等差数列,公差为md md
⑤若等差数列{ an} 的前n项和 S，则 S 、 m S 2 m S 、 m S 3 m S 2 、也是等差数列，公差为 m
⑥数列 S 1 S 2 S 3 S n d
1
⑦若{ an} 、{ bn} 是等差数列，且前n项和分别为 S和 n T，则 n a m S 2 m 1
b m T 2 m 1
3.等比数列
(1)通项公式： a n aq 1 n 1 aq m nm a 1 aq n
(2)前n项和公式： S n a 1 1 q n
1 q 1 q
36
(3)等比中项：若三数aGb、、成等比数列 G2 ab (ab同号)，反之不一定成立
(4)常用性质
①若 m n p qmnpq ,,, N ，则 a m a n a p a q r
②数列 na ( 为不等于零的常数)仍是公比为q的等比数列；正项等比数列 na ；
则 lg na 是公差为lgq的等差数列
③若 na 是等比数列，则 ca n ，a n 2 ， 1
， na r ( r Z ) 是等比数列，公比依次是 21
q，，，q q
a n
④既是等差数列又是等比数列的数列是常数列
⑤ a k , a k m , a k 2 m , 为等比数列，公比为 q(下标成等差数列,则对应的项成等比数列) n q 型
⑥若等比数列 na 的前n项和 S，则 n S 、 m S 2 m S 、 m S 3 m S 2 、是等比数列，公比为 m q m
4.常见{ na} 递推类型及方法
(1)累加法： a n a n fn ()
(2)累乘法： a n a n fn ()
(3)构造数列法： a n1 pa n q (构造数列 a n p q )
a n pa n q n 化为 a n pa q q n 1 转化为上面一种
q n n q
(4)倒数变换法： a n 1 a n pa n a 1 n 构造等差数列 1 1 p
a n a 1
(5)对数变换法： a n pa q ( p 0, a n 0) 两边取对数得 lg a n q lg a n lg p ,化归为 a n1 pa
5.常见的求和方法
(1)倒序相加法：① 1 2 3 ... n nn 1) 1)(2 n 1)
2
② 1 3 5 ... (2 n 1) n 2
③ 2 1 2 2 2 3 ... n 2 1 nn
6
(2)分组求和法：等差+等比
37
(3)裂项相消法：① 1 1) 1 n 1 1
nn n
② 1 2) 11 ( 2 n n 1 2 ) (注意相消的时候为跳项相消)
nn
③ (2 n 1 n 1) 1 (
22 1 1 2 1 1 )
1)(2 n n
④ a 1 b a 1 b ( a b )

(4)错位相减法：等差 等比
38
立体几何知识点
1.立体几何基础
(1)棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫做棱柱。
棱柱的性质：(1)侧棱都相等，侧面是平行四边形(2)两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形(3)过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形
(2)棱锥的定义：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫做棱锥
棱锥的性质：(1)侧棱交于一点。侧面都是三角形(2)平行于底面的截面与底面是相似的多边形。且其面积比等于截得的棱锥的高与远棱锥高的比的平方
(3)正棱锥的定义：如果一个棱锥底面是正多边形，并且顶点在底面内的射影是底面的中心，这样的棱锥叫做正棱锥。
正棱锥的性质：
(1)各侧棱交于一点且相等，各侧面都是全等的等腰三角形。各等腰三角形底边上的高相等
(3)相邻两侧棱互相垂直的正三棱锥，由三垂线定理可得顶点在底面的射影为底面三角形的垂心。
四面体中有三对异面直线，若有两对互相垂直，则可得第三对也互相垂直。且顶点在底面的射影为底面三角形的垂心
(4)几大公理
公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有的点都在这个平面内。
公理2：如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线。公理3：过不在同一条直线上的三个点，有且只有一个平面。
推论1：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面。
推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面。
推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面。
公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。
(4)等角定理：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。
2.异面直线的定义
异面直线：不同在任何一个平面内的两条直线或既不平行也不相交。
39
异面直线判定定理：用平面内一点与平面外一点的直线，与平面内不经过该点的直线是异面直线。
两异面直线所成的角：范围为(0°，90°)esp.空间向量法
两异面直线间距离:公垂线段(有且只有一条)esp.空间向量法
3.直线与平面所成的角
(1)直线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在这个平面内的射影所成的锐角。
esp.空间向量法(找平面的法向量)
(规定：a、直线与平面垂直时，所成的角为直角，b、直线与平面平行或在平面内，所成的角为0°角
由此得直线和平面所成角的取值范围为[0°，90°])
(2)最小角定理:斜线与平面所成的角是斜线与该平面内任一条直线所成角中的最小角(3)三垂线定理及逆定理:如果平面内的一条直线,与这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也与这条斜线垂直。
(4)直线和平面垂直的定义：如果一条直线a和一个平面内的任意一条直线都垂直，就说直线a和平面互相垂直.直线a叫平面的垂线，平面叫做直线a的垂面。
直线与平面垂直的判定定理：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面。
直线与平面垂直的性质定理：如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。(5)直线和平面平行的定义：如果一条直线和一个平面没有公共点，那么我们就说这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
直线和平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
4.平面位置关系
(1)平面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行。
两个平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，则交线平行。
(2)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。二面角的取值范围为[0°，180°]
二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角。
(3)直二面角：平面角是直角的二面角叫做直二面角。
40
(4)两平面垂直的定义：两平面相交，如果所成的角是直二面角，就说这两个平面互相垂直。记为⊥.两平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。两个平面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
(5)二面角求法：直接法(作出平面角)、三垂线定理及逆定理、面积射影定理、空间向量之法向量法(注意求出的角与所需要求的角之间的等补关系)
5.数学简单记法
线线垂直证角是90°，或向量相乘等于0
线面垂直证一条线与面上的两条相交直线垂直
线面平行一条线与面上的一条直线平行
a面b面垂直(先证一条线与A面上的两条相交直线垂直，再证这条线属于B面)面面平行(一个面中的两条相交直线‖另一个面中的两条相交直线)
41
空间向量与立体几何
1.空间直角坐标系的建立及点的坐标表示
空间直角坐标系中的坐标：如图给定空间直角坐标系和向量a ，设,, (单位正交基底) A(x,y,z)
为坐标向量，则存在唯一的有序实数组 ( aaa) 1 2 3 ，使 a ai 1 aj 2 ak 3 ，有序实数组
( aaa) 1 2 3 叫作向量a 在空间直角坐标系O xyz 中的坐标，记作 a ( aaa 1 2 3 ) ．在空间
直角坐标系O xyz 中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(,,) xyz ，使
OA xi yj zk ，有序实数组(,,) xyz叫作向量A在空间直角坐标系O xyz 中 z
的坐标，记作 Axyz，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标．
k
2.空间向量的直角坐标运算律 ， ) ． x i O j y
(1)若 a ( aaa 1 2 3 ) ， b (, bbb 1 2 3 ) ，
则 a b ( a 1 ba 1 2 ba 2 3
b 3 ) ，
a b ( a 1 ba 1 2 ba 2 3 b 3 ) ， a ( a 1 , a 2 , a 3 )( R )
a // b a 1 ba 1 2 ba 2 3 b 3 ( R ) ， z 1
(2)若 Axyz) (, 1 1 1 ， Bx 2 , y 2 , z 2 ) ，则 AB ( x 2 xy 1 2 yz 1 2
一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点
的坐标。
(3) a// b b a b 1 b 2 b 3 a 1 ( R )
a 2
a 3
3.空间向量直角坐标的数量积
(1)设 a,b 是空间两个非零向量，我们把数量 | ab |||cos ab 叫作向量 a,b 的数量积，记作
42
a b ，即 a b ＝ | ab |||cos ab 规定：零向量与任一向量的数量积为0。
(2)模长公式
| a| aa 2 x 1 x 2 2 x 3 2 0(, ab 是两个非零向量)；
(3)两点间的距离公式：若 Axyz) (, 1 1 1 ， Bx 2 , y 2 , z 2 ) ，
则 | AB | AB 2 ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2 ，
或 dAB ( x 2 x 1 ) 2 ( y 2 y 1 ) 2 ( z 2 z 1 ) 2 ．
(4)夹角：cos ab | ab
．注：① a || b | a b ab
② | a| 2 aa a 2 。
(5)空间向量数量积的性质：
① ae | a |cos ae ．② a b ab 0 ．③ | a| 2 aa ．
(6)运算律
① ab ba ； ② ( a ) b ( ba ) ； ③ a ( b c ) ab ac
4.直线的方向向量及平面的法向量
(1)直线的方向向量：我们把直线l上的向量e以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量
(2)平面的法向量：如果表示向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于
平面α，记作 n ，如果 n ，那么向量n叫做平面α的法向量。
注：①若l ，则称直线l为平面 的法线；
②平面的法向量就是法线的方向向量。
③给定平面的法向量及平面上一点的坐标，可以确定一个平面。
(3)在空间求平面的法向量的方法：
1)直接法：找一条与平面垂直的直线，求该直线的方向向量。
43
2)待定系数法：建立空间直接坐标系
①设平面的法向量为 n (,,) xyz (, xyz 1 1 1 ) 和 b ( x 2 , yz 2 2 )
②在平面内找两个不共线的向量 a
③建立方程组： na nb 0
0
④解方程组，取其中的一组解即可。
5.平行垂直证明
(1)证明两直线平行
uuur AB 已知两直线a和b, AB aCD b ,则 a//b 存在唯一的实数 使
uuur CD
(2)证明直线和平面平行
(1)已知直线 a , AB aCDE ,, 且三点不共线，则a∥ 存在有序实数对
, 使AB CD CE
(2)已知直线 a , AB a , 和平面 的法向量n,则a∥ AB n
(3)证明两个平面平行
已知两个不重合平面 , ,法向量分别为 m,n ,则 ∥ m//n
(4)证明两直线垂直
已知直线a，b， AB aCD b ，则 a b uuuruuur ABCD 0
(5)证明直线和平面垂直
已知直线a和平面 ，且A、B a ,面 的法向量为m ,则 a AB // m
(6)证明两个平面垂直
已知两个平面 , ,两个平面的法向量分别为 mn ,则 m n
44
6.计算角与距离
(1)求两异面直线所成的角
已知两异面直线 a,b ， AB aCD b ，则异面直线所成的角 为：cos uuuruuur
ABCD uuuruuur
ABCD
(2)线面角的求法：设n是平面 的一个法向量，AB是平面 的斜线l的一个方向向量，
则直线l与平面 所成角为 则 sin AB n
AB n
(3)二面角的求法：①AB，CD分别是二面角
则二面角的大小为 uuuruuur ABCD 。
的两个面内与棱l垂直的异面直线，
②设 ur 1n ， uur 2n 分别是二面角 的两个平面 ， 的法向量，则 cos uruur nn 2 uruur nn 1 ur uur n n 1 2
就是二面角的平面角或其补角。
45
直线和圆
1.倾斜角与斜率
k tan y 2 y 1
x
x 1
2
2.直线方程
(1)点斜式： (2)斜截式： (3)两点式： (4)截距式： (5)一般式： y y 0 kx x 0
y kx b
y y 1 y 2 y 1
x x 1 x 2 x 1
x y b 1
a
Ax By C 0
3.直线平行与垂直
(1) l 1 : y kx 1 bl 1 2 : y kx 2 b 2 有：
1) l 1//2 k 1
b 1 k 2 ；
b 2
2)1l和2l相交 k 1 k 2 ；
3)1l和2l重合 k 1
b 1 k 2 ；
b 2
4) l 1 l 2 kk 1 2 1 .
(2) l 1 : Ax 1 By 1 C 1 ,0 有：
l 2 : Ax 2 By 2 C 2 0
1) l 1//2 AB 1 2 AB 2 1 ；(两直线平行，系数交叉相乘差为零)
B 1 C 2 BC 2 1
46
2)1l和2l相交 AB 12 AB 1 ；
3)1l和2l重合 A 1 B 2 AB 2 1 ；
C
B 1 BC 2 1
2
4) l 1 l 2 AA 1 2 BB 1 2 0 .(两直线垂直，对应相乘和相等)
4.距离问题
(1)两点距离： PP 12 x 2 x 1 2 y 2 y 1 2
(2)点到直线距离：
d Ax 0 By 0 C
A 2 B 2
(3)两平行线间的距离
1l： Ax By C 1 0 与2l： Ax By C 2 0 平行，则 d C 1 C 2 2
A 2 B
5.圆的方程
(1)标准方程： x a 2 y b 2 r 2 0 . E 2 4 F .
其中圆心为(,) ab，半径为r.
(2)一般方程： x 2 y 2 Dx Ey F
其中圆心为( D , E ) ，半径为 r 1 D 2
2 2 2
6.直线与圆的位置关系
直线 Ax By C 0 与圆 ( x a ) 2 ( y b ) 2 r 2 的位置关系有三种:
d r 相离 0 ;
d r 相切 0 ;
d r 相交 0 .
47
弦长公式：(重点) l 2 r 2 d 2 2 ) 1 k 2 | x 1 x 2 |
( x 1 x 2 2 ) ( y 1 y 2
48
圆锥曲线
1.椭圆
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 x 2 y b 2 1 a b 0 y 2 x b 2 1 a b 0
a 2 2 a 2 2
到 两 定 点 1F 、F 2 的 距 离 之 和 等 于 常 数 2 a ， 即
第一定义
第二定义 范围 | MF 1 | | MF 2 |2 a ( 2 a FF 12 | )
与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即 MF e (0 e 1)
d
x a 且b y b x b 且a y a
1 a,0 、 2 a,0 10,a 、 20,a
顶点
轴长 对称性 焦点 焦距 离心率 准线方程 焦半径 10,b 、 20,b 1 b,0 、 2 b,0
长轴的长 2a 短轴的长 2b
关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
F 1 c ,0 、 F 2 c ,0 F10, c 、 F20,
FF 1 2 2 c ( c 2 a 2 b 2 )
e c c 2 a 2 b 2 1 b 2 (0 e 1)
a a 2 a 2 a 2
x a2 y a2
c c
左焦半径： MF 1 a ex 0 下焦半径： MF 1 a ey 0
Mxy 0, 0 ) 右焦半径： MF 2 a ex 0 上焦半径： MF 2 a ey 0
49
焦点三角形面积 Axy 1, 1 SMFF 12 b 2 tan ( FMF 2 ) b2 x 2 ) 2 4 xx 1 2
2
通径 过焦点且垂直于长轴的弦叫通径： HH
a
(焦点)弦长公式 ),( Bxy 2, 2 ) ， AB 1 k 2 x 1 x 2 1 k 2 ( x 1
50
2.双曲线
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 x2y b2 1 a 0,b 0 a22
y2x b2 1 a 0,b 0 a22
第一定义 到两定点1F、的距离之差的绝对值等于常数2a，即|MF 1| |MF 2| 2a(0 2a |FF 12|)
第二定义 与一定点的距离和到一定直线的距离之比为常数e，即MF e( e 1)d
范围 x a或x a，y R
y a或y a，x R
顶点 1 a,0 、 2 a,0
10,a 、 20,a
轴长 实轴的长 2a虚轴的长 2b
对称性 关于x轴、y轴对称，关于原点中心对称
焦点 F 1 c,0 、F 2 c,0
F10, c 、F20,
焦距 FF 1 2 2c(c2 a2 b2)
离心率 e c c2 a2 b2 1 b2( e 1)aa2a2a2
准线方程 x a2c
y a2c
渐近线方程 yb ax
y a bx
焦半径 Mxy 0,0)
M在右支 左焦：MF 1 ex 0 a 右焦：MF 2 ex 0 aM在左支 左焦：MF 1 ex 0 a 右焦：MF 2 ex 0 a
M在上支 左焦：MF 1 ey0 a 右焦：MF 2 ey0 aM在下支 左焦：MF 1 ey0 a 右焦：MF 2 ey0 a
51
3.抛物线
设AB为过抛物线 y 2 2 pxp 0) 焦点的弦， Axy (, 1 1 ) 、Bx 2 , y 2 ) ，直线AB的
倾斜角为 ，则
⑴ xx 1 2 p 2 , yy 1 2 p 2 ; ⑵ AB 2 p ; 2 ⑶以AB为直径的圆与准线相切；⑷焦点
4 sin
F对AB、在准线上射影的张角为2 ；⑸ | FA | | FB | 2.
P
52
图形
方程 y2 2px p 0
y2 2px p 0
x2 2py p 0
x2 2py p 0
定义 与一定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线(定点F不在定直线l 上)
顶点 0,0
离心率 e 1
对称轴 x轴 y轴
范围 x 0 x 0 y 0 y 0
焦点 F p 2,0
F 2,0
F p 0,2
F 0, p 2
准线方程 x p 2 x p 2 y p 2 y p 2
焦半径 Mxy) 0, 0 MF x 0 p2
MF x0 p2
MF y0 p2
MF y 0 p2
通径 过抛物线的焦点且垂直于对称轴的弦称为通径：HH 2p
焦点弦长 公式 AB x 1 x 2 p
参数p的几何 意义 参数p表示焦点到准线的距离，p越大，开口越阔 53

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