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山东滨州滨城区2025--2026学年第二学期第一次模拟测试九年级数学试题
一、单选题
1．已知数a，b在数轴上表示的点的位置如图所示，则下列结论正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①②③ B．①②③ C．①③④ D．①②③④
2．2025年11月14 日，中国团队在国际顶级期刊《科学》发表论文，通过电化学沉积结合非晶晶化的创新方法，让镍钼原子以面心立方和密排六方两种结构交替堆叠，形成仅纳米的超精细界面，一款具备“负能界面”的新型 Ni（Mo）合金正式亮相．纳米米，这个数据用科学计数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
4．如图所示的几何体，其俯视图是（ ）
A． B． C． D．
5．计算的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．“泰山”“曲阜三孔”“崂山”和“趵突泉”是山东省四个有代表性的旅游景点．若小辉从这四个景点中随机选择1个景点游览，则青岛市景点被选中的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡为一群、七鸭为另一群，两群共重24千克，鸡重鸭轻，若从两群中各取一只互换，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，．与矩形的一边都在直线l上，其中，，，且点B与点E重合．将沿直线l向右平移，直到点A与点E重合为止．记点B平移的距离为x，与矩形重叠区域面积为y，则y关于x的函数图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，已知函数与y轴交于A，与交于B，C两点，若一次函数与有交点，则k的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
10．如图，在中，，点分别是边上靠近点的三等分点，以点为圆心，以为半径画弧与交于点，以点为圆心，以为半径画弧与交于点，若，则阴影部分的周长为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
11．已知，直线平行于轴，，那么点的坐标为________．
12．方程的解是________．
13．如图，正五边形内接于，P为上的一点（点P不与点C、D重合），则的度数为______．
14．课本第78页阅读材料《从勾股定理到图形面积关系的拓展》中有如下问题：如图①分别以直角三角形的三条边为边，向形外分别作正三角形，则图中的，，满足的数量关系是_____. 现将△ABF向上翻折，如图②，已知，，，则△ABC的面积是_____.
15．如图，线段，C是线段上的动点，以，为边在上方作等边和等边，的周长的最小值为______．
三、解答题
16．计算：
17．设，先化简A，再从0，1，2三个数中选择一个合适的数代入a，并求出A的值．
18．已知：如图，延长圆内接四边形的边、，相交于点E．，，，求的长．
19．黄河楼是滨州的文化地标之一．综合实践课上老师提出问题：“请你设计一个方案，测量黄河楼的高度”．某小组设计的方案是利用激光投线角度仪和皮尺等工具对塔的高度进行测量．具体操作过程是：在黄河楼底部正前方的平地上选取相距34米的A、B两个观测点．在A点测得黄河楼顶部D的仰角为，在B点测得黄河楼顶部D的仰角为．根据情境抽象出几何图形并求黄河楼的高度（结果精确到1米，）．
20．统计主要通过收集与整理数据，借助统计图表和统计量进行描述与分析，进而推断结论与趋势，以培养用数据说话的理性思维和解决实际问题的能力．现有三个小组，每组20人．一道满分为4分的题目，三个小组得分情况如下：
(1)根据以上信息，得到统计数据如下：
平均数 众数 中位数 方差（保留两位小数）
第一组 a 4 3 1.99
第二组 2 b 2 c
第三组 2.85 4 d 1.61
求a，b，c，d的值；
(2)观察三个小组得分情况，发现条形图中各“柱子”的高度总是1，2，3，6，8．因“柱子”排列顺序不同，导致平均数、众数、中位数和方差发生了变化．重新排列这些“柱子”，在图中画出使得平均数最大的“柱子”排列方式
21．阅读与思考
请仔细阅读下面的材料并完成相应的任务．
三角形的内邻正方形 概念理解：四个顶点均在三角形三条边上的正方形叫做该三角形的内邻正方形． 如图，中，点，分别在，边上，点，在边上，且四边形是正方形，则称正方形是中边上的内邻正方形． 特例研究：下面研究直角三角形的内邻正方形． 情形：如图，已知中，．，．正方形在下方．利用正方形可以画出的一个内邻正方形． 画法：①连接交边于点． ②过点作交边于点，过点作于点．则四边形为的一个内邻正方形． 理由：由作法可知，点，，，均在直角三角形的边上． ，，，， ，四边形为矩形． 由条件易得：，． ，，．…… 分析：这一方法实质上是先特殊条件，构造正方形，然后将正方形缩小得到所求作的图形．进一步分析图，可得正方形与正方形是以点为中心的位似图形，其相似比为______，正方形的边长为______；
任务：
(1)请补全“理由”部分的推理过程；
(2)直接写出“分析”中所缺的内容：______，______；
22．图1是一张三角形纸片，，，，沿垂直于斜边的方向裁剪一刀（裁剪线为），会分得两个图形．
(1)【操作发现】
当裁剪线恰好经过顶点时，如图2，求的长；
(2)【思考操作】
要使经过沿裁剪的三角形纸片，分得的其中一个图形为轴对称图形．
①小星想出了一个作法：先作出的平分线交于点，如图3，再过点沿垂直于的方向裁剪，得到的四边形一定是轴对称图形．在图3中，请用无刻度的直尺和圆规过点作出的垂线，垂足为点（保留作图痕迹，不写作法）；
②试对与相等进行说理，并求出裁剪线的长．
(3)【拓展延伸】
在（2）的情形中，小红说：“裁剪线还应有另一个不同的值．”请画出图形并求出的长．
23．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线函数解析式分别交x轴于A，B两点（A在B的左侧），交y轴于点C，连接，，其中，．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线上方抛物线上的一动点，过点P作交直线于点D，轴交直线于点E．点M、点N是直线上的动点，满足点M在点N的右侧且，当周长最大时，求P的坐标及的最大值；
(3)如图2，在第（2）问的条件下，将抛物线关于原点O对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线，将点C向下平移一个单位长度得到点F，点Q为抛物线上且在抛物线对称轴左侧的一动点．若，直接写出所有符合条件的点Q的横坐标．
参考答案
1．D
解：由数轴可得，，
∴，
∴，，，
故①②③④都正确．
2．D
解：∵
∴故选：D．
3．D
解：A、该图形是中心对称图形，不是轴对称图形；
B、该图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形；
C、该图形是轴对称图形，不是中心对称图形；
D、该图形既是轴对称图形又是中心对称图形．
4．A
【分析】根据俯视图的定义即可求解．
【详解】由图形可知，这个几何体的俯视图为
故选A．
5．A
解：．
6．C
解：∵从四个景点中随机选择1个，所有等可能的结果共种，其中属于青岛市的景点只有个，即符合条件的结果共种，
∴所求概率 ．
7．A
解：∵设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，六鸡、七鸭共重24千克，
∴可得第一个方程，可排除B、C选项；
互换其中一只后，一侧为5只鸡加1只鸭，另一侧为6只鸭加1只鸡，二者重量相等，
∴可得第二个方程；
联立得方程组．
8．D
解：当经过点时，如图1所示：
为等腰直角三角形，
，
，，
；
当经过点时，如图2所示：
，，
，
；
①当时，如图3所示：
此时，，
；
②当时，如图4所示：
过作于，此时，，，
，
,
，
∵四边形是矩形，
，
∴；
③当时，如图5所示：
过作于，
此时，
，
,
，
，
，
，
，
，
，
，
∴顶点坐标为．
综上所述，关于的函数图象大致为D．
9．B
解：由题知，当时，，
所以一次函数的图象过定点．
由得，，
所以点B坐标为．
将代入得，，
所以点A坐标为．
当一次函数图象经过点A时，
，
解得．
当一次函数图象经过点B时，
，
解得，
所以当一次函数的图象与有交点时，k的取值范围是：．
10．B
解：，
，
，
点分别是边上靠近点的三等分点，
，
以点为圆心，以为半径画弧与交于点，以点为圆心，以为半径画弧与交于点，
，
， ，
阴影部分的周长．
11．或
【详解】∵，直线平行于轴，，
∴分类：①点在点的上方，则，即；
②点在点的下方，则，即．
综上，点的坐标或．
12．
解：
原方程改写为：
方程两边同乘最简公分母，得，
去括号，得，
移项、合并同类项，得，
系数化为，得，
经检验：当时，，
所以是原分式方程的解．
13．或
解：如图，连接，
∵正五边形内接于，
∴
∵P为上的一点（点P不与点C、D重合），
如图，当点P在优弧上时，
∴；
如图，当点P在劣弧上时，
∴
∴；
综上所述，的度数为或．
14． 7
解：（1）根据勾股定理可知，
由图①可知， ，，，
∴，，满足的数量关系是：．
（2）由图②可得出，
整理可得：
代入数据得出：．
故答案为：；7．
15．30
解：过点作的垂线，设垂足为，过点作于点
则四边形为矩形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴
∴
∴，
，
当点与的中点重合时取等，
即周长最小值为．
16．
解：原式
．
17．，，原式．
解：
，
根据题意，可知a的值不可以为和，
将代入，原式．
18．
【详解】证明：∵四边形为的内接四边形，
，，
，，
，，
．
∴，
∵，，，
∴，
解得
19．83米
解：如图，
由题意得，，，，米，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴（米），
∴，
∴，
解得．
∴黄河楼的高度为83米．
20．(1)；；；
(2)见解析
（1）解：；
第二组中分的人数最多，有8人，故；
；
根据第三组数据，中位数在第和人处，故；
（2）解：要使平均数最大，需将人数最多的“柱子”对应最高的得分，即将人对应分，人对应分，人对应分，人对应分，人对应分；
21．(1)见解析；
(2)，．
（1）证明：四边形是正方形，
，
，
，
矩形为正方形；
（2）四边形是正方形，
，
，
，
，
，
即正方形与正方形是以点为中心的位似图形，其相似比为，正方形的边长为．
22．(1)4.8
(2)①见解析；②见解析，的长为
(3)图见解析，
（1），，，
，
，
，
，
；
（2）①尺规作图如图所示．
②平分，，，
，
又，
，
，
设，则，，
，
在中，由勾股定理，得，
解得，
则裁剪线的长为；
（3）如图，四边形是轴对称图形，
与关于成轴对称，
，，，
，
设，则，
在中，由勾股定理，得，
解得，
．
23．(1)
(2)，
(3)
（1）解：在中，当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∵，
∴，
将，代入二次函数的解析式可得，
，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式可得
，
解得：，
∴直线的解析式为，
设直线的解析式为，
将，代入直线的解析式可得，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵，，
∴，，
∴，
∴，，
∵点是直线上方抛物线上的一动点，
∴设，
∵轴交直线于点，
∴，，
∴，
∵点作交直线于点，
∴，，
∴周长
，
∵，
∴当时，周长最大为，此时，
∴；
如图，将点沿直线方向平移个单位长度得到点，连接、、，
∵直线的解析式为，
∴点向右平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点，即，
由平移的性质可得：，，
∴四边形为平行四边形，
∴，
∵，
∴的最大值为；
（3）解：∵将点向下平移一个单位长度得到点，
∴，
抛物线关于原点对称的解析式为，
∵将抛物线关于原点对称后沿着射线方向平移个单位长度得到抛物线，
∴将抛物线关于原点对称后向左平移个单位长度，向上平移个单位长度得到，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴如图，当点在直线的左边时，作轴于，此时，
∴，
设，则，，
∵，
∴，
解得：或（不符合题意，舍去）；
∴点的横坐标为．

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