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山东省菏泽市第一中学2025-2026学年高一下学期4月阶段测试数学试题
一、单选题
1．已知复数满足（为虚数单位），则的虚部为（ ）
A．2 B． C． D．
2．如图，长方体中被截去一小部分，其中，，则剩下的几何体是（ ）
A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．六棱柱
3．下列说法正确的是（ ）
A．若方向相反，则与为相反向量
B．模相等的两个平行向量相等
C．有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段
D．共线向量是在同一条直线上的向量
4．已知向量，，若与垂直，则（ ）
A．3 B． C．5 D．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．有一个面为多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体是棱锥
B．用一个平面去截棱锥，棱锥底面与截面之间的部分是棱台
C．棱柱的侧面都是平行四边形，而底面不是平行四边形
D．棱柱的侧棱都相等，侧面都是全等的平行四边形
6．已知平面向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
7．葫芦是中华民俗文化的组成部分，是一种文化载体、文化事象，更是中华吉祥文化的象征．图①为一个清代乾隆釉里红团龙纹葫芦瓶古玩，它近似为两个球融合组成的．现模仿该古玩制作了一模型，其轴截面如图②所示，已知两球的半径分别为3和4，且两球心的距离为，记两球心分别为，为两个球面交线上一点，则（ ）
A．6 B．5 C．7 D．8
8．设是的外心，点满足，则是的（　　）
A．内心 B．任意一点
C．垂心 D．重心
二、多选题
9．在日常生活中，我们会看到如图所示的情境，两个人共提一个行李包，假设行李包所受重力为，作用在行李包上的两个拉力分别为，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（ ）
A．越小越省力，越大越费力 B．的最小值为
C．当时， D．当时，
10．已知复数，则下列结论正确的是（ ）
A．的实部是
B．的虚部为
C．
D．在复平面内所对应的点位于第四象限
11．在中，是的中点，是线段上的点，过作一直线分别与交于点，设，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则是等边三角形
C．若，则
D．若，则的最小值为
三、填空题
12．已知向量，，若与平行，则实数________．
13．中，，，的面积等于，则角平分线的长等于________．
14．折扇又名“撒扇”、“纸扇”，是一种用竹木或象牙做扇骨，韧纸或绫绢做扇面的能折叠的扇子，如图1．其展开几何图是如图2的扇形，其中，，，点在上，则的最小值是__________．

四、解答题
15．在中，内角所对的边长分别是，且．
(1)求角；
(2)若，求的面积的最大值．
16．已知平面向量，.
(1)若，且，求的坐标；
(2)若与的夹角为锐角.求实数的取值范围.
17．欧拉(1707-1783)，他是数学史上最多产的数学家之一，他发现并证明了欧拉公式，从而建立了三角函数和指数函数的关系，若将其中的取作就得到了欧拉恒等式，它是令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个量联系起来，两个超越数——自然对数的底数e，圆周率，两个单位——虚数单位i和自然数单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0，数学家评价它是“上帝创造的公式”，请你根据欧拉公式：，解决以下问题：
(1)将复数表示成(，i为虚数单位)的形式；
(2)求的最大值.
18．如图，在中，点、满足，，点满足，为的中点，且、、三点共线.
(1)用、表示；
(2)求的值.
19．法国数学家费马在给意大利数学家托里拆利的一封信中提到“费马点”，即平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点.托里拆利确定费马点的方法如下：
①当三个内角均小于时，满足的点为费马点；
②当有一个内角大于或等于时，最大内角的顶点为费马点.
请用以上知识解决下面的问题：已知的内角，，所对的边分别为，，，点为的费马点，.
(1)求角；
(2)若，求；
(3)在（2）的条件下，若，且点为平面上任意一点，求的最小值.
参考答案
1．A
【详解】因为，所以，
所以，所以的虚部为2.
2．C
【详解】依题意，，且，
又平面平面，
所以由棱柱的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱．
3．C
【详解】选项A：若方向相反，但模长不同时，两个向量不是相反向量，故A错误；
选项B：若模长相等的两个平行向量，方向相反，则为相反向量，不是相等向量，故B错误；
选项C：向量没有固定的起点，但有向线段有起点，有向线段是向量的表示工具，
所以有向线段可以表示向量但不是向量，且向量也不是有向线段，故C正确；
选项D：共线向量方向相同或相反，可位于平行直线上，不一定在同一条直线上，故D错误.
故选：C
4．C
【详解】因为向量，，所以，
因为与垂直，所以，解得，
所以，所以.
故选：C.
5．A
【详解】对于A选项，由棱锥的定义判断A正确；
对于B选项，只有当平面与底面平行时，所截部分才是棱台，所以B错误；
对于C选项，棱柱的底面可为任意平面多边形，所以C错误；
对于D选项，斜棱柱的侧面不是全等的平行四边形，所以D错误.
故选：A.
6．A
【详解】∵，∴，
所以在上的投影向量为：.
故选：A.
7．A
【详解】因为两球的半径分别为3和4，所以，又，
在中，由余弦定理可得，
所以.
故选：A.
8．C
【详解】由题可得，
由于是的外心，设为线段的中点，
故且，即，
所以，同理，，故是的垂心．
故选：C.
9．AC
【详解】对于A，依题意，，又，
则，
解得，而时，单调递减，
因此越小越省力，越大越费力，A正确；
对于B，，则，即，B错误；
对于C，当时,由，得，因此，C正确；
对于D，当时，由，得，因此，D错误.
故选：AC
10．BD
【详解】由题意可得，
A、B：的实部为7，虚部为，故A错误、B正确；
C：，故C错误；
D：在复平面内所对应的点的坐标为，位于第四象限，故D正确.
故选：BD.
11．AD
【详解】因为，
则，即，
则，
所以，A正确；
因为，所以，
所以，同理，点是的垂心，
又是边的中点，，易知是等腰三角形，无法确定是等边三角形，B错误；
由题意知，，所以，
又三点共线，则，
所以，即，解得，C错误；
，又三点共线，则，
因此，
当且仅当时取等号，所以的最小值为，D正确.
故选：AD.
12．
【详解】由向量和，
所以，
，
由与平行，所以．
解得．
13．/
【详解】设中角所对的边分别为，
依题知，则有，
由余弦定理， ，
即解得．
设，则由可得 ，
化简得，解得.
即角平分线的长为．
故答案为：.
14．
【详解】如下图，，
若为中点，且，则，
则，
要使其最小，只需共线，

此时，由图知此时.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【详解】（1）由
，
由于，所以，
又因为，所以，即，
因为，所以，即,
故；
（2）因为，，所以由余弦定理可得：
，
由基本不等式可得：，所以，
当且仅当取等号，
则的面积，
故的面积的最大值为.
16．(1)或
(2)
【详解】（1）设，，
因为，所以6x＝－y，因为，所以，
解得或，所以或；
（2），，
因为与的夹角为锐角，所以，，
解得且，即.
17．(1)
(2)2
【详解】（1）因为，
所以.
（2）由题意可得：，
所以，
因为，所以，因此，
所以的最大值为2.
18．(1)
(2)
【详解】（1）因为，则，所以，
因为为的中点，故.
（2）因为、、三点共线，则，，，
所以存在，使得，即，
所以，
又因为，且、不共线，
所以，则，
所以，故.
19．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为，
所以，
所以，所以，
所以.
（2）由费马点定义知，，
设，，，，，，
由，得，
整理得，
则.
（3）在中，，，
以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立平面直角坐标系，
则、、，设，则，
，.
所以，
则的几何意义是点到点，，的距离之和，
因为，，则为等腰直角三角形，故，
易知，故，
所以的“费马点”为点，
故的最小值为.

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