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山东省菏泽市第一中学2025-2026学年高二下学期4月教学诊断检测数学试题
一、单选题
1．已知函数有极值，则c的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（　　）
A．48种 B．72种 C．96种 D．144种
3．若函数在区间上不单调，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
5．函数的大致图象是（ ）
A． B．
C． D．
6．若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数在闭区间上的图象连续不间断，在开区间内的导数为，那么在区间内至少存在一点c，使得成立，其中c叫做在上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）．
A．3 B．2 C．1 D．0
8．已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列函数的求导运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．对于函数，下列说法正确的是（ ）
A．在处取得极大值；
B．有两个不同的零点；
C．
D．
11．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数存在三个不同的零点
B．函数既存在极大值又存在极小值
C．若时，，则t的最大值为2
D．当时，方程有且只有两个实根
三、填空题
12．A、B、C、D共4名同学参加演讲比赛，决出第一至第四的名次.A和B去询问成绩，回答者对A说：“很遗憾，你和B都没有得到冠军.”对B说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，这4人的名次排列有__________.种（用数字作答）.
13．若函数在区间上有单调递增区间，则实数的取值范围是______．
14．对于函数，若对任意的，存在唯一的使得，则实数的取值范围是__________．
四、解答题
15．已知函数.
(1)求函数的极值；
(2)若函数无零点，用第（1）问结论求的取值范围.
16．已知函数，，若的图象在点处的切线方程为，
(1)求函数的解析式；
(2)若在区间上是减函数，求实数a的取值范围.
17．用具体数字表示下列问题．
(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；
(2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；
(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数．
18．已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，．
19．设函数.
（1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值；
（2）讨论函数零点的个数；
（3）若对任意恒成立，求的取值范围.
参考答案
1．A
解：由题意得，
若函数有极值，则，
解得，
故选：A．
2．B
解：根据题意，如图，假设5个区域依次为，分4步分析：
①，对于 区域，有4种涂法，
②，对于区域，与 相邻，有3种涂法，
③，对于区域，与 相邻，有2种涂法，
④，对于区域，若其与 区域同色，则 有2种涂法，
若 区域与 区域不同色，则 有1种涂法，则 区域有2+1＝3种涂色方法，
则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种；
故选： B．
3．B
【详解】由题设，，又在上不单调，
所以函数在上存在变号零点，
设，，
则，则在上单调递增，
所以，即，解得，
则的取值范围是
故选：B.
4．B
【详解】由题可知，，
由于，故在上恒成立，
故在上单调递增，
因为，
所以，即恒成立，
令，，
则，
由可得，，由可得，，
所以在上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，也是最大值，
即，
故 ，解得
故实数的最小值为.
故选：B
5．D
【详解】函数的定义域为，
当时，，此时函数的图象在轴上方，排除C；
由，得，因此函数只有1个零点，其图象与轴只有1个交点，排除B；
又，当时，，因此，排除A，D符合题意..
6．A
【详解】由函数，可得，，令，解得、或（舍去），
单调递增 单调递减
设，，所以图象向上凹，
如图画出函数的图象，以及直线得到图象，以及平移直线与函数相切的直线，
则，
即平行于直线的直线与曲线相切的切点坐标为，
，所以切点在直线的左侧，
曲线上任意一点到直线距离的最小值为点到直线的距离，
由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为．
故选：A
7．B
【详解】函数，求导得：，令为在上的“拉格朗日中值点”，
则有，即，
整理得，解得，
所以函数在上的“拉格朗日中值点”的个数为2.
故选：B.
8．D
【详解】令，则，
当时，，所以当时，，
即在上是增函数，由题意是定义在上的偶函数，所以，
所以，所以是偶函数，在单调递减，
所以，，
即不等式等价为，
所以，解得或，
所以不等式的解集为．
故选：D
9．BCD
【详解】对于A，，A错误；
对于B，，B正确；
对于C，，C正确；
对于D，，D正确.
故选：BCD
10．AC
【详解】的定义域为，且.令，得在上单调递增，在上单调递减，因此在处取得极大值正确.
令，解得，故函数有且仅有一个零点，错误.
由在上单调递减，得，则正确.
因为，即，所以，则错误.
故选：AC.
11．BCD
【详解】由函数，可得，
令，解得或，
当时，；当时，；当时，，
所以函数在单调递减，在上单调递增，
当，函数取得极小值；
当，函数取得极大值，
当时，，当时，，
作出函数的图象，如图所示，结合图象得：
对于A中，函数存在两个不同的零点，所以A不正确；
对于B中，函数既存在极大值又存在极小值，所以B正确；
对于C中，当时，，可得，所以t的最大值为，所以C正确；
对于D中，若方程有且只有两个实根，
即与的图象有两个不同的交点，可得，所以D正确.
故选：BCD.
12．
【详解】依题意、不在第一名且不在第四名，
若在第四名，先排到第二、三名中的一个位置，另外两个人全排列，
所以有种排列；
若不在第四名，则先排、到第二、三名两个位置，另外两个人全排列，
所以有种排列；
综上可得这4人的名次排列有种.
故答案为：
13．
【详解】，由题意在上有解，
即在上有解，
根据对勾函数的性质可知，在上单调递增，所以在时取最大值，
故，故实数的取值范围是.
故答案为：
14．
【详解】函数，求导，
令，求导，
函数在上单调递增，当时，；当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，
则，因此函数在上单调递增，
当时，，即，
函数，求导得，
当时，，当时，，
函数在上单调递减，此时，即；
在上单调递增，此时，即，
由对任意的，存在唯一的使得，
得是的子集，
即，解得，
所以实数的取值范围是．
故答案为：．
15．(1)极小值为，无极大值.
(2).
【详解】（1）由题意得：定义域为，；
令，解得：，
则当时，；当时，；
∴在上单调递减，在上单调递增，
∴的极小值为，无极大值.
（2）由（1）知：的极小值即为的最小值，即；
若无零点，则，即，∴，解得：，
则的取值范围为.
16．(1)；
(2).
【详解】（1）函数的图象在点处的切线方程为，
又，则，即，
又，即切点为，于是，解得，
所以函数的解析式为．
（2）由（1）知，在上是减函数，
则对恒成立，即对恒成立，
又在上为减函数，则在上为减函数，
当时，取得最小值，因此，解得，
所以实数的取值范围是．
17．(1)9900
(2)6
(3)120
【详解】（1）从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有（个）．
（2）因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，
故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有（个）．
（3）可以理解为从5家单位中选出4家单位，
分别把4名大学生安排到4家单位，共有（个）分配方案．
18．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1）的定义域为，．
若，则，在上单调递减：
若，则由得，当时，；当时，；
故在上单调递减，在上单调递增；
故当时，在上单调递减：
当时，在上单调递减，在上单调递增；
（2）方法1，当时，由（1）知，当时，取得最小值．
所以，从而．
设，则．
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
故当时，，
故当时，，即；
方法2：当时，由（1）知，当时，取得最小值，
所以，
从而，
令，，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
故，当等号成立；
所以，当时，，
即.
19．（1）2；（2）当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点；（3）.
【详解】试题分析：（1）当m=e时，＞0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值；（2）由，得，令，x＞0，m∈R，则h（1）=，
h′（x）=1-x2=（1+x）（1-x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f′（x）-零点的个数；（3）（理）当b＞a＞0时，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范围
试题解析：（1）由题设，当时，
易得函数的定义域为
当时，，此时在上单调递减；
当时，，此时在上单调递增；
当时，取得极小值
的极小值为2
（2）函数
令，得
设
当时，，此时在上单调递增；
当时，，此时在上单调递减；
所以是的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是的最大值点，
的最大值为
又，结合y=的图像（如图），可知
①当时，函数无零点；
②当时，函数有且仅有一个零点；
③当时，函数有两个零点；
④时，函数有且只有一个零点；
综上所述，当时，函数无零点；当或时，函数有且仅有一个零点；当时，函数有两个零点.
（3）对任意恒成立，等价于恒成立
设，在上单调递减
在恒成立
恒成立
（对，仅在时成立），的取值范围是
考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；根的存在性及根的个数判断；利用导数研究函数的极值

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