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北师大版2025—2026学年七年级下册期中模拟考点集训进阶卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 小颖、小明两人做游戏，掷一枚硬币，双方约定：正面朝上小颖胜，反面朝上小明胜，则这个游戏（　　）
A．公平 B．对小颖有利 C．对小明有利 D．无法确定
2．的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．5
3．在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放（直角边重合），可以画出两条互相平行的直线，．这样操作的依据是（　　）
A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等，两直线平行
4．已知为自然数，则一定能被下列哪个数整除？（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
5．自壬寅除夕以来，虽然深圳饱受疫情的影响，但是2000万深圳人众志成城，正面迎击奥密克戎．奥密克戎是一种新型冠状病毒，它的直径约为60～140纳米（1纳米＝0.000000001米）．其中“140纳米”用科学记数法表示为（　　）
A．1.4×10﹣11米 B．1.4×10﹣7米
C．14×10﹣8米 D．0.14×10﹣10米
6．已知中不含x的一次项，则a的值为（　　）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
7．若等式成立，则a的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
8．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（　　）
A．“20”左边的数是16
B．“20”右边的“□”表示5
C．运算结果小于6000
D．运算结果可以表示为
10．如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=10，其内部有边长为a的正方形AEFG与边长为b的正方形HIJK，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5.若右侧阴影部分的面积S2是左侧阴影部分面积S1的4倍，则正方形AEFG与正方形HIJK的面积之和为（　　）
A．20 B．25 C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．五一假期，甲.乙丙、丁四名同学参加社区防疫志愿者活动，若四名同学被随机分成两组，每组两人，则甲和乙恰好在同一组的概率为　 　.
12．若单项式 与 是同类项，那么这两个单项式的积是　 　.
13．将一副三角尺如图所示放置，其中，则　 　度．
14．引入新数i，新数i满足分配律、结合律、交换律，已知 ，则 　 　.
15．已知 ， ， ， 为正整数，则 　 　．
16．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，，则的度数是　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）
（2）
18．（1）若25＋25＝2a，37＋37＋37＝3b，则a＋b＝　 　；
（2）若2m×3n＝(4×27)7，求正整数m，n；
（3）若2p＝m，mq＝n，nr＝32，求pqr.
19．如图，已知的补角等于它的余角的10倍．
（1）求的度数；
（2）若平分，求的度数．
20．某品种小麦种子在相同条件下的发芽试验的结果如下表：
每批小麦粒数n 100 150 200 500 800 1000
发芽的粒数m 65 108 146 355 560 700
发芽的频率 0.65 a 0.73 0.71 0.70 b
（1）表中a=　 　，b=　 　.
（2）该品种小麦种子发芽的概率约是多少 请说明理由.
21．“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，是我国优秀的企业，其生产的手机一直保持“遥遥领先”；如图是某款手机后置摄像头模组其中大圆的半径为，中间小圆的半径为大圆半径的一半，个半径为大圆半径五分之一的高清圆形镜头分布在两圆之间．
（1）请用含的式子表示图中阴影部分的面积；
（2）当时，求图中阴影部分的面积．
22．从一副普通的扑克牌中取出五张牌，它们的牌面数字分别是4，4，5，5，6.
（1）将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是4的概率是多少？
（2）将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张.请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率.
23．如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．
（1）在图2中的阴影部分的面积可表示为 ；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积可表示为 ；（写成两数平方差的形式）；
（2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是；
A．
B．
C．
（3）请利用所得等式解决下面的问题：
①已知，，则　　；
②计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少．．
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北师大版2025—2026学年七年级下册期中模拟考点集训进阶卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1． 小颖、小明两人做游戏，掷一枚硬币，双方约定：正面朝上小颖胜，反面朝上小明胜，则这个游戏（　　）
A．公平 B．对小颖有利 C．对小明有利 D．无法确定
【答案】A
【解析】【解答】解：依题意，小颖胜的概率为，小明胜的概率为
∴这个游戏公平，
故答案为：A．
【分析】根据题意分别求得小颖、小明获胜的概率，进而即可求解．
2．的值为（　　）
A． B．0 C．1 D．5
【答案】C
【解析】【解答】解：50的值为1.
故答案为：C.
【分析】由任何一个不为0的数的0次幂都等于1可得答案.
3．在同一平面内，将两个完全相同的三角板按如图摆放（直角边重合），可以画出两条互相平行的直线，．这样操作的依据是（　　）
A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行
C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等，两直线平行
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，
由题意得，
根据内错角相等，两直线平行可得．
故答案为：D．
【分析】根据平行线的判定方法逐项判断即可。
4．已知为自然数，则一定能被下列哪个数整除？（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】D
【解析】【解答】解：，
当为自然数时，一定能被8整除，
故答案为：D
【分析】利用平方差公式将代数式变形为，再求解即可。
5．自壬寅除夕以来，虽然深圳饱受疫情的影响，但是2000万深圳人众志成城，正面迎击奥密克戎．奥密克戎是一种新型冠状病毒，它的直径约为60～140纳米（1纳米＝0.000000001米）．其中“140纳米”用科学记数法表示为（　　）
A．1.4×10﹣11米 B．1.4×10﹣7米
C．14×10﹣8米 D．0.14×10﹣10米
【答案】B
【解析】【解答】解：140×0.000000001＝0.00000014（米），
则“140纳米”用科学记数法表示为1.4×10 7米；
故答案为：B．
【分析】利用科学记数法的定义及书写要求求解即可。
6．已知中不含x的一次项，则a的值为（　　）
A．2 B．-2 C．4 D．-4
【答案】D
【解析】【解答】解：，
不含x的一次项，
，
解得，
故答案为：D.
【分析】根据多项式与多项式的乘法法则可得(x+a)(x+4)=x2+(a+4)x+4a，由多项式中不含x的一次项可得a+4=0，求解可得a的值.
7．若等式成立，则a的值为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：，
，
，
故答案为：C.
【分析】根据完全平方公式可得(x+2)2-1=x2+4x+3，据此可得a的值.
8．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：A、a3与a4不是同类项，无法合并，故不符合题意；
B、 ，正确，故符合题意；
C、 ， 故不符合题意；
D、 ， 故不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的除法、单项式乘单项式、积的乘方分别计算，再判断即可.
9．“铺地锦”是我国古代一种乘法运算方法，可将多位数乘法运算转化为一位数乘法和简单的加法运算．淇淇受其启发，设计了如图1所示的“表格算法”，图1表示，运算结果为3036．图2表示一个三位数与一个两位数相乘，表格中部分数据被墨迹覆盖，根据图2中现有数据进行推断，正确的是（　　）
A．“20”左边的数是16
B．“20”右边的“□”表示5
C．运算结果小于6000
D．运算结果可以表示为
【答案】D
【解析】【解答】解：设一个三位数与一个两位数分别为和
如图：
则由题意得：
，∴，即，
所以，当时，不是正整数，不符合题意，故舍；
当时，则，如图：
，
A中，由“20”左边的数是，故A不符合题意；
B中，由“20”右边的“□”表示4，故B不符合题意，
所以上面的数应为，如图所示：
所以运算结果可以表示为：，所以D符合题意，
当时，计算的结果大于6000，故C不符合题意，
故选：D．
【分析】设一个三位数与一个两位数分别为和，求得，得到，可判断A、B选项，根据题意，得到由运算结果得表达式，可判断C、D选项，得到答案.
10．如图，在长方形ABCD中，AB=6，BC=10，其内部有边长为a的正方形AEFG与边长为b的正方形HIJK，两个正方形的重合部分也为正方形，且面积为5.若右侧阴影部分的面积S2是左侧阴影部分面积S1的4倍，则正方形AEFG与正方形HIJK的面积之和为（　　）
A．20 B．25 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： ∵重合部分小正方形的面积为5，
∴重合部分小正方形的边长为，
∴BE=AB-AE=6-a=b-，BI=AG-=a-.
∴a+b=6+，
∴S1=（a-）（b-）
=ab-6，
∵S2=4S1，
∴S2=4ab-24，
∴a2+b2-5+S1+S2=6×10，
∴a2+b2+5ab=65+30，
∴（a+b）2+3ab=65+30
　 　
，
∴（6+）2+3ab=65+30
　 　
∴3ab=24+18
∴ab=8+6，
∴a2+b2=（a+b）2-2ab
=（6+）2-2（8+6）
=36+12+5-16-12
=25．
故答案为：B.
【分析】先根据重合部分小正方形的面积，求得重合部分小正方形的边长，再用a，b表示BE，从中找出a，b之间的关系，然后后a，b表示出S1，进而分别求得a+b与ab，最后求得a2+b2即可.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．五一假期，甲.乙丙、丁四名同学参加社区防疫志愿者活动，若四名同学被随机分成两组，每组两人，则甲和乙恰好在同一组的概率为　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：根据题意画树状图如解图所示：
由解图可知，共有12种等可能的结果，其中甲、乙恰好在同一组的结果数为2，
所以 （甲、乙恰好在同一组） .
故答案为： .
【分析】画出树状图，找出总情况数以及甲、乙恰好在同一组的情况数，然后结合概率公式进行计算.
12．若单项式 与 是同类项，那么这两个单项式的积是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：∵单项式 与 是同类项，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ；
故答案为： .
【分析】根据同类项的定义，先求出m、n的值，然后计算单项式乘以单项式即可.
13．将一副三角尺如图所示放置，其中，则　 　度．
【答案】105
【解析】【解答】解：∵AB∥DE，
∴∠BDE=∠B=30°，
∴∠CDF=180°-∠BDE-∠FDE=180°-30°-45°=105°.
故答案为：105.
【分析】由平行线的性质可得∠BDE=∠B=30°，然后根据平角的概念进行计算.
14．引入新数i，新数i满足分配律、结合律、交换律，已知 ，则 　 　.
【答案】2
【解析】【解答】解： .
故答案为：2.
【分析】首先利用平方差公式将待求式子展开，再将i2=-1代入计算，可求出结果.
15．已知 ， ， ， 为正整数，则 　 　．
【答案】
【解析】【解答】解： ， ， ， 为正整数，
，
．
故答案为： ．
【分析】逆用幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法运算法则将原式变形得出答案．
16．健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图，其中．若，，则的度数是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，
∴，，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】本题考查的是平行线的性质，根据和、的度数，分别求出和的度数，再根据，求出，结合，即可求解．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
（2）解：
【解析】【分析】（1）先根据负整数指数幂法则“”、零指数幂法则“a0=1(a≠0)”分别计算，再根据有理数加法法则计算可得答案；
（2）利用多项式除以单项式法则“多项式除以单项式，就是用多项式的每一项分别去除以单项式，再把所得的商相加”运算即可．
（1）解：
；
（2）解：
．
18．（1）若25＋25＝2a，37＋37＋37＝3b，则a＋b＝　 　；
（2）若2m×3n＝(4×27)7，求正整数m，n；
（3）若2p＝m，mq＝n，nr＝32，求pqr.
【答案】（1）14
（2）解：因为2m×3n＝(4×27)7＝(22×33)7＝22×7×33×7＝214×321，
所以m＝14，n＝21.
（3）解：因为2p＝m，mq＝n，nr＝32，
所以(2p)q＝n，所以[(2p)q]r＝32，
所以2pqr＝25，所以pqr＝5.
【解析】【解答】解：(1)∵25＋25＝25×2＝26＝2a，37＋37＋37＝37×3＝38＝3b，
∴a＝6，b＝8，
∴a＋b＝6＋8＝14.
故答案为：14.
【分析】(1)先根据乘法的意义将等式左边的式子转化为乘法形式，再根据同底数幂的乘法法则进行计算，进而求出a、b的值，最后代入a+b计算；
(2)先将等式右边的式子根据积的乘方法则进行变形，再根据幂的乘方法则进一步变形，然后根据等式两边相同底数的幂的指数相等求出m、n的值；
(3)先根据幂的乘方法则将nr=32进行变形，再将2p=m，mq=n代入变形后的式子，最后根据幂的乘方法则求出pqr的值.
19．如图，已知的补角等于它的余角的10倍．
（1）求的度数；
（2）若平分，求的度数．
【答案】（1）解：设，由题意得：
解得．
的度数为；

（2）解：设，则，
平分，
，
由题意，，
解得，
，
故的度数为．
【解析】【分析】 （1）设，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
（2） 设，则，根据角平分线定义可得， 再根据题意建立方程，解方程可得y值，再根据角之间的关系即可求出答案.
（1）解：设，由题意得：
解得．
的度数为；
（2）解：设，则，
平分，
，
由题意，，
解得，
，
故的度数为．
20．某品种小麦种子在相同条件下的发芽试验的结果如下表：
每批小麦粒数n 100 150 200 500 800 1000
发芽的粒数m 65 108 146 355 560 700
发芽的频率 0.65 a 0.73 0.71 0.70 b
（1）表中a=　 　，b=　 　.
（2）该品种小麦种子发芽的概率约是多少 请说明理由.
【答案】（1）0.72；0.7
（2）该品种小麦种子发芽的概率估计值是0.70，
理由：在相同条件下，当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近
【解析】【解答】 解：（1）表中a的数值为108÷150=0.72，b的数值为700÷1000=0.70；
故答案为：0.72、0.70；
【分析】(1)根据“频率=频数÷总数”求解；
（2）根据“当重复试验的次数大量增加时，事件发生的频率就稳定在相应的概率附近”，可以分别计算所有小麦粒数与发芽粒数，求出频率；也可以将所有频率相加求平均值.
21．“华为”公司是世界通讯领域的龙头企业，是我国优秀的企业，其生产的手机一直保持“遥遥领先”；如图是某款手机后置摄像头模组其中大圆的半径为，中间小圆的半径为大圆半径的一半，个半径为大圆半径五分之一的高清圆形镜头分布在两圆之间．
（1）请用含的式子表示图中阴影部分的面积；
（2）当时，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）解：根据题意得阴影面积为：
∴图中阴影部分的面积为.
（2）解：由（1）得：图中阴影部分的面积为.
当时，图中阴影部分的面积为.
∴当时，求图中阴影部分的面积.
【解析】【分析】（1）根据阴影部分的面积等于大圆减去五个小圆的面积即可列式计算.
（2）由（1）得：图中阴影部分的面积为，代入即可得图中阴影部分的面积.
（1）解：阴影面积：
；
（2）解：当时，
阴影面积：．
22．从一副普通的扑克牌中取出五张牌，它们的牌面数字分别是4，4，5，5，6.
（1）将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张，则抽取的这张牌的牌面数字是4的概率是多少？
（2）将这五张扑克牌背面朝上，洗匀后从中随机抽取一张（不放回），再从中随机抽取第二张.请用列表或画树状图的方法，求抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率.
【答案】（1）解：将这五张扑克牌背面朝上，洗匀，从中随机抽取一张，抽取牌面数字是4的概率为：；
（2）画树状图，如下，
共有20种等可能事件，其中抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数有12种，
所以抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的概率为.
【解析】【分析】（1）由题意可知一共有5种结果数，出现4的有2种情况，再利用概率公式进行计算.
（2）此事件是抽取不放回，据此列出树状图，可得到所有等可能的结果数及抽取的这两张牌的牌面数字之和为奇数的情况数，然后利用概率公式进行计算.
23．如图1的两个长方形可以按不同的形式拼成图2和图3两个图形．
（1）在图2中的阴影部分的面积可表示为 ；（写成多项式乘法的形式）；在图3中的阴影部分的面积可表示为 ；（写成两数平方差的形式）；
（2）比较图2与图3的阴影部分面积，可以得到的等式是；
A．
B．
C．
（3）请利用所得等式解决下面的问题：
①已知，，则　　；
②计算的值，并直接写出该值的个位数字是多少．．
【答案】（1），
（2）B
（3）解：①3，
②原式
，
而，，，，，，，，
所以的个位数字为6．
【解析】【解答】（1）解：图2的阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，
图3中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，
故答案为：，；
（2）由图2、图3面积相等得，，
故选：B；
（3）①，即，而，
，
故答案为：3.
【分析】（1）利用长方形的面积公式列出算式即可得到答案；
（2）利用不同的表达式表示同一个图形的面积即可得到答案；
（3）①利用平方差公式的定义及计算方法分析求解即可；
②先将原式变为，再利用平方差公式计算即可.
（1）解：图2的阴影部分是长为，宽为的长方形，因此面积为，
图3中阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，
故答案为：，；
（2）由图2、图3面积相等得，，
故选：B；
（3）①，即，而，
，
故答案为：3；
②原式
，
而，，，，，，，，
所以的个位数字为6．
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