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北师大版2025—2026学年八年级下册期中模拟考前抢分卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，P是等边的边AC的中点，E为边延长线上一点，，则的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
2． 如图，作∠AOB的角平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，则下列选项中的结论，错误的是(　　)
A．△OCP≌△ODP B．CP＝DP
C．∠COD＝∠CPD D．∠OCP＝∠ODP
3．不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
4．平面直角坐标系中，点平移后对应的点为，则点平移距离为（　　）．
A．个单位长度 B．个单位长度 C．个单位长度 D．个单位长度
5．如图，绕点顺时针旋转得到，若，当点怡好在上时，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
6．如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么这个多边形的一个外角的度数为（　　）
A． B． C． D．
7．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
8．某服装的进价为400元，出售时标价为600元，由于换季，商场准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，那么该服装至多打（　　）折．
A．7 B．.5 C．8 D．8.5
9．如图，在和中，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为64，．则的长是（　　）
A．8 B． C． D．6
10．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形.点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（　　）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．三角板是我们数学课必备工具之一，小明同学某天上数学拓展课的时候，转动其中一个三角板发现了一个很奇妙的结论：如图，小明将含60°角的三角板绕点顺时针转动到的位置（在三角板所在的平面内转动，其中，），当时，延长线段和线段相交于点，发现的长始终保持不变．若，则的长为　 　．
12．如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是　 　．
13．如图所示，在中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点.当点P在运动的过程中，满足的值最小时，则　 　.
14．将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为　 　cm．
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN，与AC，AB分别交于点D，E．连接BD．若∠A＝15°，BD＝2，则△ADB的面积为　 　．
16．一副三角板按如图所示叠放在一起，若固定△AOB，将△ACD绕着公共顶点A，按顺时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），当△ACD的一边与△AOB的某一边平行时，相应的旋转角α的值是　 　.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）解不等式： ≤
（2）解不等式组： 并指出它的所有的非负整数解.
18．如图，在四边形中，，，分别是，的平分线．
（1）若，求的度数：
（2）判断与的位置关系，并说明理由．
19．在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将向右平移个单位长度，同时向下平移个单位长度得到；
（2）将绕点顺时针旋转得到，连接，直接写出的长．
20．如图，为的高，为的角平分线，若，．
（1）求的度数；
（2）若点F为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数．
21．如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯水平方向的跨度为3米，且左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等．
（1）这两个滑梯的倾斜角与的大小关系如何？请说明理由．
（2）求右边滑梯的高度．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，设一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点。
（1）求，的值；
（2）求点，点的坐标；
（3）在轴上是否存在点使为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
23．如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．
（1）当点P移动到AB、CD之间时，如图（1），这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系？证明你的结论．
（2）当点P移动到AB的外侧时，如图（2），是否仍有（1）的结论？如果不是，请写出你的猜想（不要求证明）．
（3）当点P移动到如图（3）的位置时，∠P与∠A、∠C又有怎样的关系？能否利用（1）的结论来证明？还有其他的方法吗？请写出一种．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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北师大版2025—2026学年八年级下册期中模拟考前抢分卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．如图，P是等边的边AC的中点，E为边延长线上一点，，则的度数为（　　）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】C
【解析】【解答】解：∵P是等边的边AC的中点，
∴平分，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】先利用等边三角形的性质及角的运算求出，再根据等边对等角的性质可得，最后利用三角形外角的性质可得。
2． 如图，作∠AOB的角平分线方法如下：以O为圆心，任意长为半径画弧交OA，OB于点C，D，再分别以C，D为圆心，以大于CD长为半径画弧，两弧交于点P，作射线OP，则下列选项中的结论，错误的是(　　)
A．△OCP≌△ODP B．CP＝DP
C．∠COD＝∠CPD D．∠OCP＝∠ODP
【答案】C
【解析】【解答】解：根据作图轨迹知：OC=OD，CP=DP，即A选项正确；
又OP=OP，
∴ △OCP≌△ODP （SSS），即A选项正确；
∴ ∠OCP＝∠ODP ，即D选项正确.
故答案为：C.
【分析】根据作图轨迹知OC=OD，CP=DP，再根据“SSS”证明三角形全等，根据全等三角形对应角相等作答.
3．不等式组的解集表示在数轴上，正确的是（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】【解答】解：解不等式组；
∴不等式组的解集为，
即
表示在数轴上如图所示：
故答案为：A
【分析】根据题意分别解不等式，进而即可得到不等式组的解集，再表示在数轴上即可求解。
4．平面直角坐标系中，点平移后对应的点为，则点平移距离为（　　）．
A．个单位长度 B．个单位长度 C．个单位长度 D．个单位长度
【答案】C
【解析】【解答】解：如图，
根据勾股定理可求得PQ=5，所以点P平移距离为5个单位长度，
故选C.
【分析】根据点的平移即可求出答案.
5．如图，绕点顺时针旋转得到，若，当点怡好在上时，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵旋转，
∴∠A=∠OCD，∠AOB=∠COD，OA=OC，
∴∠AOB-∠COB=∠COD-∠COB，
∴∠AOC=∠BOD，
∵，
∴∠AOC+∠BOD=∠AOD-∠BOC=80°，
∴∠AOC=∠BOD=×80°=40°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA==∠OCD，
∴∠BCD=180°-∠OCA-∠OCD=40°.
故答案为：B.
【分析】由旋转的性质可得∠A=∠OCD，∠AOB=∠COD，OA=OC，结合已知条件得∠AOC=∠BOD=40°，由三角形的内角和及平角定义即可得出结论.
6．如果一个多边形的每个内角都相等，且内角和为，那么这个多边形的一个外角的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：∵ 一个多边形的每个内角都相等，且内角和为
∴设多边形为n，可得（n-2）×180°=2340°，解得n=15；
∴360°÷15=24°
故答案为：A.
【分析】根据多边形的内角和公式（n-2）·180°列方程，可得多边形的边数；根据多边形的外角和定理即可求出外角的度数.
7．将一副三角板按图中方式叠放，则角α等于（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，根据两直线平行，内错角相等，
∴∠1=45°，
根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，
∴∠α=∠1+30°=75°．
故答案为：D．
【分析】先利用平行线的性质求出∠1=45°，再利用三角形外角的性质求出∠α的度数即可.
8．某服装的进价为400元，出售时标价为600元，由于换季，商场准备打折销售，但要保证利润率不低于20%，那么该服装至多打（　　）折．
A．7 B．.5 C．8 D．8.5
【答案】C
【解析】【解答】解：设该服装打x折销售，
根据题意得：600×﹣400≥400×20%，
解得：x≥8，
∴x的最小值为8，即该服装至多打8折．
故答案为：C．
【分析】设该服装打x折销售，利用利润＝售价﹣进价，得：600×﹣400≥400×20%，解不等式取x的最小值，即可得到答案．
9．如图，在和中，，过A作，垂足为F，交的延长线于点G，连接．四边形的面积为64，．则的长是（　　）
A．8 B． C． D．6
【答案】A
【解析】【解答】解：延长到点H，使，连接，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：A
【分析】延长到点H，使，连接，先根据三角形全等的判定与性质证明得到，进而证明得到，再根据结合三角形的面积即可求解。
10．如图，A，B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形.点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（　　）
A．7个 B．8个 C．9个 D．10个
【答案】C
【解析】【解答】解：若以AB为底组成等腰三角形，则点C在AB中垂线上且在格点上，满足条件的点C有5个.如图：
若以AB为腰组成等腰三角形，则满足关于格线与AB成轴对称的线段共有4条，即点C共有4个.如图：
故答案为：C.
【分析】根据等腰三角形的两腰相等，分以AB为底组成等腰三角形，则点C在AB中垂线上且在格点上，若以AB为腰组成等腰三角形，则满足关于格线与AB成轴对称的线段，综上所述就可得出答案.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．三角板是我们数学课必备工具之一，小明同学某天上数学拓展课的时候，转动其中一个三角板发现了一个很奇妙的结论：如图，小明将含60°角的三角板绕点顺时针转动到的位置（在三角板所在的平面内转动，其中，），当时，延长线段和线段相交于点，发现的长始终保持不变．若，则的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：连接AD，在Rt△ADE和Rt△ADC中，∠AFD=∠ACD=90°，∵AD=AD，AE=AC，∴Rt△ADE≌Rt△ADC，∴DE=DC，又知BC=EF，∴BD-DF=BC+CD-DF=BC+DE-DF=BC+DF+EF-DF=BC+DE=BC+BC=2BC，∴2BC=4，∴BC=2，在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∴AB=2BC=4，∴。
故第1空答案为：.
【分析】证明Rt△ADE和Rt△ADC全等，得出ED=CD，又EF=BC，通过代换，得出BC的长度，然后根据含30°锐角的直角三角形的性质，求出AC的长度即可。
12．如图，将向右平移得到，如果的周长是，那么四边形的周长是　 　．
【答案】20
【解析】【解答】解：向右平移得到，
AD=BC=EF=2，DF=AE，
四边形的周长=AD+AB+BE+EFF+DF=2+AB+BE+AE+2=4+=4+16=20（cm）.
故答案为：20.
【分析】根据平移的性质得到AD=BC=EF=2，DF=AE，根据等量代换得到四边形的周长=4+.
13．如图所示，在中，，M为线段上一定点，P为线段上一动点.当点P在运动的过程中，满足的值最小时，则　 　.
【答案】120°
【解析】【解答】解：作，过M作交于一点即为点P，
∵，
∴，
∴PD=AP，
∴当时的值最小，即为DM的长，
∴在中，，
故答案为；
【分析】作，过M作交于一点即为点P，当时的值最小，即为DM的长，求出此时∠APM的长即可.
14．将含角的直角三角板和直尺按如图所示的方式放置，已，点，表示的刻度分别为，则线段的长为　 　cm．
【答案】2
【解析】【解答】解：很具平行线的性质知：∠ACB=∠α=60°，又因为∠A=60°，所以△ABC是等边三角形，所以AB=BC，又BC=3-1=2，∴AB=2。
故第1空答案为：2.
【分析】根据平行线的性质得出∠ACB=∠α=60°，结合∠A=60°，可得△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质得出AB=BC=2即可。
15．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，分别以点A，B为圆心，大于的长为半径作圆弧，两弧相交于点M，N，连接MN，与AC，AB分别交于点D，E．连接BD．若∠A＝15°，BD＝2，则△ADB的面积为　 　．
【答案】1
【解析】【解答】解：由作图知：MN垂直平分AB，
∴AD=BD=2，
∴ ∠A＝ ∠ABD＝15° ，
∴∠BDC=∠A+∠ABD=30° ，
在Rt△ABC中，∠C＝90° ，
∴BC=BD=1，
∴ △ADB的面积为AD·BC=×2×1=1.
故答案为：1.
【分析】利用线段垂直平分线的性质可得AD=BD=2，根据等边对等角可得∠A＝ ∠ABD＝15° ，利用三角形外角的性质可求∠BDC=30° ，根据含30°角的直角三角形的性质可得BC=BD=1，根据 △ADB的面积为AD·BC计算即可.
16．一副三角板按如图所示叠放在一起，若固定△AOB，将△ACD绕着公共顶点A，按顺时针方向旋转α度（0°＜α＜180°），当△ACD的一边与△AOB的某一边平行时，相应的旋转角α的值是　 　.
【答案】15°，30°，45°，75°，105°，135°，150°，165°
【解析】【解答】解：（1）如图所示，当 时， ；
（2）如图所示，当 时， ；
（3）如图所示，当 时， ；
（4）如图所示，当 时， ；
（5）如图所示，当 时， ；
（6）如图所示，当 时， .
（7）DC边与AB边平行时α=60°+90°=150°
（8）DC边与AB边平行时α=180°-60°-90°=30°，
（9）DC边与AO边平行时α=180°-60°-90°+45°=75°.
（10）DC边与AO边平行时α=90°+15°=105°
故答案为：15°，30°，45°，75°，105°，135°，150°，165°.
【分析】由题意分以下几种情况：①当CD∥OB时；②当AD∥BO时；③当AC∥BO时；④当CD∥BO时；⑤当AD∥BO时；⑥当AC∥BO时；⑦当DC∥AB时；⑧当DC∥AB时；⑨当DC∥AO时；⑩当DC∥AO时（相同的线方向不同），结合图形和角的构成、三角形的外角及平行线的性质可求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．
（1）解不等式： ≤
（2）解不等式组： 并指出它的所有的非负整数解.
【答案】（1）解： ≤ ，
4（2x-1）≤3(3x+2)-12，
8x-4≤9x+6-12，
8x-9x≤6-12+4，
-x≤-2，
x≥2；
（2）解： ，
解不等式①，得
x>-2，
解不等式②，得
，
∴不等式组的解集为 ，
∴它的所有的非负整数解有： 0，1，2.
【解析】【分析】（1）解一元一次不等式的一般步骤：去分母，去括号，移项合并，系数化为1，据此解答即可（注意：系数化为1时，当两边同乘以或除以一个负数时，不等号改变方向.）
（2）先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，然后再求出非负整数集即可.
18．如图，在四边形中，，，分别是，的平分线．
（1）若，求的度数：
（2）判断与的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）解：∵，分别是，的平分线
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：在中，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）由于BE和DF是角平分线，根据角平分线的定义可得：，。在四边形ABCD中，内角和为360°，而，因此。由此可得，进而根据∠1=33°，即可得出∠2的度数；
（2）由（1）可知，再根据直角三角形两锐角互余，可得出，进而根据同角的余角相等，即可得出。进而根据同位角相等两直线平行，即可得出。
（1）解：∵，分别是，的平分线
∴，，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
在中，∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）将向右平移个单位长度，同时向下平移个单位长度得到；
（2）将绕点顺时针旋转得到，连接，直接写出的长．
【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：如图所示；．
【解析】【分析】（1）根据平移性质作图即可.
（2）根据旋转性质作图，再根据勾股定理即可求出答案.
（1）如图所示；
（2）如图所示；．
20．如图，为的高，为的角平分线，若，．
（1）求的度数；
（2）若点F为线段上任意一点，当为直角三角形时，求的度数．
【答案】（1）解：为的角平分线，
，
，
，
为的高，
，
；
（2）解：当时，，
当时
，．
【解析】【分析】（1）根据角平分线定义可得，根据三角形外角性质可得∠C，再根据直角三角形两锐角互余即可求出答案.
（2）分情况讨论：当时，当时，根据三角形内角和定理即可求出答案.
（1）解：为的角平分线，
，
，
，
为的高，
，
；
（2）解：当时，，
当时，．
21．如图，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯水平方向的跨度为3米，且左边滑梯的高度与右边滑梯水平方向的跨度相等．
（1）这两个滑梯的倾斜角与的大小关系如何？请说明理由．
（2）求右边滑梯的高度．
【答案】（1）解：与互余；理由如下：
在和中，
，
∴，
，
又，
，
即两滑梯的倾斜角与互余。
（2）解：∵，
∴米，
即右边滑梯的高度为3米．
【解析】【分析】（1）结合条件和图中信息，首先利用可判断DEF，此时即可得出，然后根据直角三角形中两个锐角互余得出，替换后即可得出与的关系；
（2）结合（1）的DEF，从而得出=3米。
（1）解：与互余；
理由：在和中，
，
∴，
，
又，
，
即两滑梯的倾斜角与互余；
（2）解：∵，
∴米，
答：右边滑梯的高度为3米．
22．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与正比例函数的图象交于点，设一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点。
（1）求，的值；
（2）求点，点的坐标；
（3）在轴上是否存在点使为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。
【答案】（1）解：正比例函数的图象过点
所以，所以。
又因为一次函数的图象过点。
所以，所以。
（2）解：一次函数的图象与轴交于点，
所以令，则
所以，所以点坐标为，
令，则，所以点坐标为。
（3）解：存在，因为点，
所以，
当时，则点或；
当时，如图，过点作于，则点，
因为，，
所以，
所以点；
当点与点重合时，，此时为等腰三角形，
所以点，
综上所述：点坐标为或或或
【解析】【分析】（1）将点代入，即可求出m的值，将点代入，即可求出n的值；
（2）一次函数，令，可得，令，可得，即可求解；
（3）由勾股定理得，然后分类讨论：时，时，时，根据等腰三角形的性质分别求出P点坐标，即可得解．
23．如图，已知平面内有两条直线AB、CD，且AB∥CD，P为一动点．
（1）当点P移动到AB、CD之间时，如图（1），这时∠P与∠A、∠C有怎样的关系？证明你的结论．
（2）当点P移动到AB的外侧时，如图（2），是否仍有（1）的结论？如果不是，请写出你的猜想（不要求证明）．
（3）当点P移动到如图（3）的位置时，∠P与∠A、∠C又有怎样的关系？能否利用（1）的结论来证明？还有其他的方法吗？请写出一种．
【答案】（1）解：∠P=∠A+∠C，
延长AP交CD与点E．
∵AB∥CD，∴∠A=∠AEC．
又∵∠APC是△PCE的外角，
∴∠APC=∠C+∠AEC．
∴∠APC=∠A+∠C.
（2）解：否；∠P=∠C﹣∠A
（3）解：∠P=360°﹣（∠A+∠C）．
①延长BA到E，延长DC到F，
由（1）得∠P=∠PAE+∠PCF．
∵∠PAE=180°﹣∠PAB，∠PCF=180°﹣∠PCD，
∴∠P=360°﹣（∠PAB+∠PCD）．
②连接AC．
∵AB∥CD，∴∠CAB+∠ACD=180°．
∵∠PAC+∠PCA=180°﹣∠P，
∴∠CAB+∠ACD+∠PAC+∠PCA=360°﹣∠P，
即∠P=360°﹣（∠PAB+∠PCD）．
【解析】【分析】（1）根据三角形的外角的性质得出∠APC=∠A+∠C。
（2）当点P移动到AB的外侧时，可得知（1）的结论不能成立，根据题意写出猜想。
（3）观察图像，可根据角的运算得出∠P=360°﹣（∠PAB+∠PCD）。
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