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沪科版2025—2026学年八年级下册期中模拟综合优选测评卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．关于 的一元二次方程 （ 为实数）根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
2．某种音乐播放器原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，设平均每次降价的百分比为x，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
3．如图，已知中，，，于D，P为上任一点，则等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
4．某商品经过连续两次降价，价格由元降为元已知两次降价的百分率都是，则满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
5．若关于x的一元二次方程 ( k-2)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，且k为非负整数，则符合条件的k的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
6． 将关于x的一元二次方程 变形为 就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 (px-q)=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知 且x>0，则 的值为(　　)
A． B． C． D．
7．某种流感病毒的传染速度很快，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患病，求每轮传染中平均每个人传染了几人，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则由题意可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
8．若，则代数式的值为（　　）
A．5 B．7 C．9 D．
9．有一块直角三角形绿地，量得两直角边长分别为3，4，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长两条直角边中的一条，下列数据中不可能成为扩充后等腰三角形绿地的面积是（　　）
A．8 B．14 C． D．
10．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（　　）．
A．8 B．12 C．16 D．20
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图.在 中， ， 平分 ， 于E，若 ，则 的长为　 　.
12．如图，在港有甲、乙两艘淮船，若甲船沿北偏东的方问以每小时6海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时8海里的速度前进，两小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．求岛与岛之间的距离为　 　海里．
13．如图，在四边形中，，则的长为　 　．
14．已知，是方程的两个根，则　 　．
15．某超市销售一种水果，每月可售出500千克，每千克盈利10元.经市场分析，售价每涨1元，月销售量将减少10千克.如果该超市销售这种水果每月盈利8000元，那么该水果的单价涨了多少元？设水果单价涨了x元，根据题意，可列方程为　 　.
16．如图，在中，，点为的中点，点分别为、上的点，连接，若，则的长度为　 　．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）；
（2）．
18． 已知x ，x 分别是一元二次方程 0的两个实数根.
（1）求k的取值范围.
（2）是否存在实数 k，使得等式 成立 如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由.
19．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径．
（1）判断的形状，并说明理由．
（2）若购物车上篮子的左边缘与点的距离，且和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离．
20． 如图，每个小正方形的边长都为1
（1）求四边形的面积与周长；
（2）是直角吗？
21．如图，正方形ABCD和正方形EFGH分别是边长为() cm和() cm的正方形相框.
（1）求大相框的面积是小相框面积的多少倍
（2）现在小华想用长为25 cm的彩带给这两个相框镶边，请你帮忙计算现有的彩带够吗 如果不够用，大约还需要买多长的彩带 (参考数据：≈3.9)
22． 如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中．由于某些原因，由到的路现在已经不通了，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）问是否为从村庄到河边的最近路，请通过计算加以说明．
（2）求新路比原路少多少千米．
23．我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式.
例如：.
下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的运用.
例如：化简.
解：
.
方法应用1：根据上述方法化简下列各式：
（1）；
（2）.
（3） 方法应用2：
在Rt中，，那么BC边的长为多少 （结果化成最简）
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沪科版2025—2026学年八年级下册期中模拟综合优选测评卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．关于 的一元二次方程 （ 为实数）根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
【答案】A
【解析】【解答】由根的判别式得，△=b2-4ac=k2+8＞0
故有两个不相等的实数根．
故答案为：A．
【分析】利用一元二次方程的根的判别式求出△=b2-4ac=k2+8＞0，即可作答。
2．某种音乐播放器原来每只售价400元，经过连续两次降价后，现在每只售价为256元，设平均每次降价的百分比为x，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：第一次降价后的售价为元，第二次降价后的售价为元，
因此可列方程为：，
故答案为：B．
【分析】根据增长后的量=增长前的量×（1+增长率）增长次数可列方程，结合各选项即可判断求解．
3．如图，已知中，，，于D，P为上任一点，则等于（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
【答案】A
【解析】【解答】解：∵AD⊥BC于D，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
在和中，
，，
在和中，
，，
．
故答案为：A．
【分析】由题意，在及中用勾股定理可分别表示出及，同理，在及中分别表示出BP2和PC2，将及的表示形式代入表示出和，然后求差并去括号、合并同类项即可求解．
4．某商品经过连续两次降价，价格由元降为元已知两次降价的百分率都是，则满足的方程是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解：根据题意，两次降价的百分率都是x，x满足的方程是
故答案为：B
【分析】典型的用一元二次方程解决百分率问题，是百分率问题的通用公式，n为期初到期末连续增长或降低次数，本题中n=2，“-增长率”适用降低的情况。
5．若关于x的一元二次方程 ( k-2)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，且k为非负整数，则符合条件的k的个数为（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程 ( k-2)x2-2x+1=0有两个不相等的实数根，k为非负整数，
∴4-4（k-2）＞0，k-2≠0
解之：k＜3且k≠2，
∵k为非负整数，
∴k=0，1，
∴符合条件的k的个数为2个.
故答案为：C
【分析】利用一元二次方程的定义可知k-2≠0，一元二次方程有两个不相等的实数根，可知b2-4ac＞0，可得到关于k的不等式组，求出不等式组的解集，再根据k为非负整数，可确定出k的值.
6． 将关于x的一元二次方程 变形为 就可以将x2表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如 (px-q)=…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式.根据“降次法”，已知 且x>0，则 的值为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：由得，代入得
对于解方程得或(舍去)，代入上式得
原式=.
故答案为：C.
【分析】由方程得x2=x+1代入原式可化简为2x，求解方程后代入可得结果.
7．某种流感病毒的传染速度很快，若一人携带病毒未进行有效隔离，经过两轮传染后共有256人患病，求每轮传染中平均每个人传染了几人，设每轮传染中平均每个人传染了x人，则由题意可列出方程（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解： 每轮传染中平均每个人传染了x人，则由题意可列方程：
故答案为：D.
【分析】设一个人可传染给个人，则第一轮共感染个人；第二轮每人再感染人，则本轮共感染人，则两轮后共感染人，则方程可得.
8．若，则代数式的值为（　　）
A．5 B．7 C．9 D．
【答案】B
【解析】【解答】解：∵，
∴
，
故答案为：B．
【分析】将直接代入计算即可.
9．有一块直角三角形绿地，量得两直角边长分别为3，4，现在要将绿地扩充成等腰三角形，且扩充时只能延长两条直角边中的一条，下列数据中不可能成为扩充后等腰三角形绿地的面积是（　　）
A．8 B．14 C． D．
【答案】B
【解析】【解答】解： ①如图1，
当BC=CD=3时；
由于AC⊥BD，则AB=AD=5；
此时等腰三角形绿地的面积：×6×4=12；
②如图2，
当AC=CD=4时；
∵AC⊥CB，
此时等腰三角形绿地的面积：×4×4=8；
③如图3，
当AD=BD时，设AD=BD=x；
Rt△ACD中，BD=x，CD=x-3；
由勾股定理，得AD2=DC2+CA2，即（x-3）2+42=x2，
解得x=，
此时等腰三角形绿地的面积：
×BD×AC=
××4= ；
④如图4，
延长BC到D使BD等于5，
此时AB=BD=5，
故CD=2，
BD AC=×5×4=10；
⑤如图5，
延长AC到D使AD等于5，
此时AB=AD=5，
故BC=3，
BC AD=×5×3=．
综上所述，扩充后等腰三角形绿地的面积是8或10或12或或，不可能为14．
故答案为：B.
【分析】 由于扩充所得的等腰三角形腰和底不确定，若设扩充所得的三角形是△ABD，则应分为①BC=CD，②AC=CD，③AD=BD，④AB=BD，⑤AD=AB，5种情况进行讨论．
10．如图，是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形拼接而成的．已知，正方形的面积为80．连接，交于点，交于点，连接．则图中阴影部分的面积之和为（　　）．
A．8 B．12 C．16 D．20
【答案】C
【解析】【解答】解：由题意：，
∴
∴，
∴
∴，
∵
∴设，
∴
∴FG∶CG=2∶1
∴
∵正方形的面积为
∴
∴，解得
∴阴影部分的面积之和=梯形GQPF的面积
∴阴影部分的面积之和为
=2×8
=16
∴阴影部分的面积之和为16．
故答案为：C．
【分析】先证明，得到，，再设
，，根据正方形的面积和勾股定理可，列出方程：，解得，再根据割补法可得：阴影部分的面积之和为梯形的面积，再利用梯形的面积公式和等量代换即可得出阴影部分的面积.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图.在 中， ， 平分 ， 于E，若 ，则 的长为　 　.
【答案】4
【解析】【解答】解：由题意： 平分 ， 于 ，
， ，
又 为公共边，
，
，
在 中， ，由勾股定理得：
，
故答案是：4.
【分析】利用角平分线的定义及垂直的定义可证得∠CAD=∠EAD，∠AED=∠C=90°，利用AAS证明△ACD≌△AED，利用全等三角形的性质可求出DE的长；再利用勾股定理求出BE的长.
12．如图，在港有甲、乙两艘淮船，若甲船沿北偏东的方问以每小时6海里的速度前进，乙船沿南偏东的方向以每小时8海里的速度前进，两小时后，甲船到达岛，乙船到达岛．求岛与岛之间的距离为　 　海里．
【答案】20
【解析】【解答】解：由题意得，（海里），（海里），
∴是直角三角形，
由勾股定理得（海里）
∴M岛与N岛之间的距离为20海里．
故答案为：
【分析】由题意得，（海里），（海里），进而根据勾股定理求出MN，从而即可求解.
13．如图，在四边形中，，则的长为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：作的延长线，垂足为M，如图所示：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，，
∵，
∴，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴
故答案为：．
【分析】作，先根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方求出AC=13，根据如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么该三角形是直角三角形，最长边所对的角为直角。得出是等腰直角三角形，根据两角及其一角的对边对应相等的两个三角形全等得出，根据全等三角形的性质得出，根据直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方即可求解.
14．已知，是方程的两个根，则　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：∵，是方程的两个根，
∴，，
∴
故答案为：.
【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系， 一元二次方程里，根与系数的关系称为韦达定理，在条件为a≠0，且a，b，c皆为常数的一元二次方程ax +bx+c中，两根为x1、x2，那么两根的关系是：x1+x2=-b/a，x1x2=c/a，本题掌握韦达定理是关键.
15．某超市销售一种水果，每月可售出500千克，每千克盈利10元.经市场分析，售价每涨1元，月销售量将减少10千克.如果该超市销售这种水果每月盈利8000元，那么该水果的单价涨了多少元？设水果单价涨了x元，根据题意，可列方程为　 　.
【答案】（10+x）（500-10x）＝8000
【解析】【解答】解：设水果单价涨了x元，则每千克水产品获利（10+x）元，月销售量减少10x千克；
由题意可列方程（10+x）（500-10x）=8000.
故答案为：（10+x）（500-10x）=8000.
【分析】设水果单价涨了x元，则每千克水产品获利（10+x）元，月销售量减少10x千克，则月实际销售量为（500-10x）千克，进而根据每千克水果的利润×月销售数量=月总利润建立方程即可.
16．如图，在中，，点为的中点，点分别为、上的点，连接，若，则的长度为　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：延长至，使，连接 、，过作于，
在和中，
，
，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
为GD的垂直平分线
设
在中，
由勾股定理得：
即：
解得 （舍 ）
故答案为： ．
【分析】延长至，使，连接 、，过作于，先证明，由全等的性质得 ，，得为等腰直角三角形，则，由题意为的垂直平分线，所以设 ，在中，利用勾股定理得：，计算求解即可．
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．解方程：
（1）；
（2）．
【答案】（1）解：，
∴，
∴，
解得：.
（2）解：，
，
，
∴x+1=0，x-1=0，
解得：，．
【解析】【分析】（1）根据因式分解法（完全平方公式）计算即可求解；
（2）利用因式分解法（提公因式）计算即可求解．
18． 已知x ，x 分别是一元二次方程 0的两个实数根.
（1）求k的取值范围.
（2）是否存在实数 k，使得等式 成立 如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由.
【答案】（1）解：∵ x ，x 分别是一元二次方程0的两个实数根，
∴b2-4ac≥0，即(-2)2-4(k+2)≥0，
解得k≤-1；
∴k的取值范围为k≤-1；
（2）解：存在，理由如下：
∵ x ，x 分别是一元二次方程0的两个实数根，
∴，，
∴，
∴，
解得，，
经检验，都是该分式方程的根，
又∵k≤-1，
∴k的值为-，
即当k的值为-时， 等式 成立.
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此列出关于字母k的不等式，求解即可得出k的取值范围；
（2）设x1与x2是一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”的两个实数根，利用一元二次方程根与系数，求出x1x2及x1+x2的值，然后通分计算已知方程的左边后整体代入可得关于字母k的方程，解方程、检验并结合k的取值范围可得答案.
19．图1是某超市的购物车，图2为其侧面简化示意图，测得支架，，两轮中心的距离，滚轮半径．
（1）判断的形状，并说明理由．
（2）若购物车上篮子的左边缘与点的距离，且和都与地面平行，求购物车上篮子的左边缘到地面的距离．
【答案】（1）解：是直角三角形，理由如下，
∵AC=8cm，AB=6Cm，BC=10cm，
又∵，即，
∴是直角三角形；
（2）解：∵AE⊥DE，
∴∠E=90°，
∴，
如图所示，过点作于点，
由（1）得，是直角三角形，
∴，
∴，
∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为．
【解析】【分析】（1）运用勾股定理逆定理判定即可；
（2）在Rt△ABC中，利用勾股定理算出DE=12dm，过点A作AG⊥BC于点G，利用等面积法建立方程求出AG的长，由平行线间的距离相等可得点D到地面的距离等于DE+AG+r，从而代值计算可得答案.
（1）解：是直角三角形，理由如下，
已知，，，
∵，即，
∴是直角三角形；
（2）解：，
∴，
如图所示，过点作于点，
由（1）得，是直角三角形，
∴，
∴，
∴物车上篮子的左边缘到地面的距离为．
20． 如图，每个小正方形的边长都为1
（1）求四边形的面积与周长；
（2）是直角吗？
【答案】（1）解：四边形的面积为：，
根据勾股定理可得：，
，
，
，
四边形的周长为：；
（2）解：是直角，理由如下：
连接如图所示：
由（1）可得，
，
根据勾股定理得，
可以得到，
故是直角．
【解析】【分析】（1）先根据割补法求出四边形的面积，进而根据勾股定理求出各个边长，从而即可得到周长；
（2）连接，根据勾股定理求出CD、BC和BD，进而根据勾股定理的逆定理即可求解.
21．如图，正方形ABCD和正方形EFGH分别是边长为() cm和() cm的正方形相框.
（1）求大相框的面积是小相框面积的多少倍
（2）现在小华想用长为25 cm的彩带给这两个相框镶边，请你帮忙计算现有的彩带够吗 如果不够用，大约还需要买多长的彩带 (参考数据：≈3.9)
【答案】（1）解：∵大相框的面积为()2 cm2，小相框的面积为()2 cm2，
∴
=(2+)2
=7+4.
答：大相框的面积是小相框面积的(7+4)倍.
（2）解：不够用.
镶边所需要的彩带长为：
4×()+4×()=8≈31.2 cm>25 cm，
∴现有的彩带不够用.
∵31.2-25=6.2，
∴还需要购买约6.2 cm长的彩带.
【解析】【分析】（1）根据正方形面积公式分别表示出正方形ABCD和正方形EFGH的面积，然后求比值，在求比值的过程中先利用分数乘方运算法则逆用变形，再进而分母有理化化简，最后根据完全平方公式及二次根式性质计算可得答案；
（2）根据正方形周长计算公式求出两个正方形周长，再求和可得需要彩带的总长度，再与已知彩带长度比较可解决此题.
22． 如图，在一条东西走向的河的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，其中．由于某些原因，由到的路现在已经不通了，该村为方便村民取水，决定在河边新建一个取水点（在一条直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．
（1）问是否为从村庄到河边的最近路，请通过计算加以说明．
（2）求新路比原路少多少千米．
【答案】（1）解：是，理由：
在中，
∴是从村庄到河边的最近路．
（2）解：设千米，则千米，
由（1）及勾股定理得
解得：，
，
∴ 新路比原路少千米．
【解析】【分析】（1）根据勾股定理的逆定理及垂线段最短解答即可；
（2）根据勾股定理解答即可.
23．我们已经知道，形如的无理数的化简要借助平方差公式.
例如：.
下面我们来看看完全平方公式在无理数化简中的运用.
例如：化简.
解：
.
方法应用1：根据上述方法化简下列各式：
（1）；
（2）.
（3） 方法应用2：
在Rt中，，那么BC边的长为多少 （结果化成最简）
【答案】（1）解：∵=，
∴，
∵，
∴
.
（2）解：.
（3）解：在Rt中，利用勾股定理得，，
∴
∴.
【解析】【分析】（1）先将原式变形为=，再参照题干中的定义及计算方法可得；
（2）参照题干中的定义及计算方法可得；
（3）利用勾股定理可得，再求出即可.
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