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苏科版2025—2026学年八年级下册期中模拟押题上分卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在三角形中，点，，分别在，，上，且，，，则图中一定与（除外）相等的角有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，2），则AC的长是（　　）
A．3 B．2 C． D．
4．为了减轻学生课外作业负担，数学老师准备按照学生每天课外作业完成量(完成题目个数)实行分档布置作业．作业量分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的作业量覆盖全校学生的70%，20%和10%，为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该校500名学生过去一个阶段完成作业量的平均数(单位：个)；绘制了统计图．如图所示，下面四个推断合理的是（　　）
A．每天课外作业完成量不超过15个题的该校学生按第二档布置作业
B．每天课外作业完成量超过21个的该校学生按第三档布置作业
C．该校学生每天课外作业完成量的平均数不超过18
D．该校学生每天课外作业完成量的中位数在15﹣18之间
5．如图，在□ABCD中，下列结论一定成立的是（　　）
A．AD=BD B．OA=OC C．AB⊥BD D．∠BAC=∠DAC
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且AB=3，AC=4，D是斜边 BC上的一个动点，过点D分别作 DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接 MN，则线段 MN 的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．4
7．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，以下四个图形，哪一个是赵爽弦图（　　）
A． B．
C． D．
8．已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于．则下列说法正确的是（　　）
A．当时，平行四边形ABCD为矩形
B．当时，平行四边形ABCD为正方形
C．当时，平行四边形ABCD为菱形
D．当时，平行四边形ABCD为菱形
9．如图，在正方形中，是边上一点，是延长线上一点，连接交对角线于点，连接，若，，则（　　）
A． B． C． D．
10．如图， 方格纸中小正方形的边长为1， ， 两点在格点上，要在图中格点上找到点 ，使得 的面积为2，满足条件的点 有（　　）
A．无数个 B．7个 C．6个 D．5个
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，将两条宽度均为2的纸条相交成角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为　 　．
12．即将举行的杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琼琼”、“莲莲”，将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀，若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，两次抽取的卡片图案相同的概率是　 　．
13．矩形的一个角的平分线把矩形的一边分成1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为　 　.cm2.
14．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，在对角线BD上有一点P，则PC+PE的最小值是　 　.
15．如图，在 中，点 分别在边 上，且 ，连接 ，点 分别是 的中点， ，则 的度数是　 　．
16．如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相较于点O，点E在AC上，若OE=2 ，则CE的长为　 　
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．随着教育部“双减”政策的深入，某校开发了丰富多彩的课后托管课程，并于开学初进行了学生自主选课活动．小明和小王分别打算从以下三个特色课程选择一个参加：A．竞技乒乓；B．围棋博弈；C．街舞少年．
（1）小明选择街舞少年的概率为　 　；
（2）用画树状图或列表的方法求小明和小王选择同一个课程的概率．
18．如图，在平行四边形中，．
.
（1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，在上截取，使保留作图痕迹，不写作法；
（2）在所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形请补全下面的证明过程．
证明：四边形为平行四边形，
且　 　 ，
，，
　 　 ．
四边形是平行四边形，
，
　 　 ．
平分，
　 　 ，
．
　 　 ，
四边形是菱形．
19．如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA=EB=FC=GD，连接EG，FH，交点为O．
（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，则图3中阴影部分的面积为多少？
20．为推进扎实开展学校科学教育，光明学校组织学生开展了“科技创新月”活动，其中，计划进行以下四项活动实验：A．马德堡半球；B．塑料袋火箭；C．色彩爆炸；D．火山爆发．活动小组对该校部分学生进行随机问卷，调查“最期待的实验”，得到下列不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）此次调查的学生人数；
（2）请补全条形统计图；
（3）已知“最期待的实验”中A项的4名学生中801班有1名，802班有1名，803班有2名，现从中抽取2名学生进行演示，请用列表或画树状图的方法，求从中抽到2名学生来自不同班级的概率．
21．近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷．
调查问卷年 月在下面四类文创产品中，你最喜爱的是(　　)(单选)A．玩偶 B．冰箱贴 C．创意摆件 D．手机挂件
【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶
(1)本次抽样调查的样本容量是________；
(2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________；
【做出合理估计】
(3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？
【解决概率问题】
(4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．
22．在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P为平面内一点.
（1）如图1，α=90°，P在BC上，CD⊥AP，若CP=AC，且AP=4，则AD= 　 　； S△ABP= 　 　；
（2）如图2，P为BC中点，连接AP，过B点的直线分别交AP，AC于E，F两点，若AE=AF，求证：CF=2PE.
（3）如图3，α=60°，P为△ABC外一点，且满足∠APB=150°，求证：CP=AB.
23．如图在△ABC中，∠CAB=，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线，交BE的延长线于点F，连接CF，
（1）试判断四边形ADCF的形状，并说明理由．
（2）若四边形ADCF是正方形，BF与AE有什么数量关系？说明理由．
（3）若AC=6，AB=8，求BF的长．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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苏科版2025—2026学年八年级下册期中模拟押题上分卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：这五种图形中，平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形，
所以这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率= ．
故选C．
【分析】根据中心对称图形的定义得到平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形，于是利用概率公式可计算出抽到的图形属于中心对称图形的概率．
2．如图，在三角形中，点，，分别在，，上，且，，，则图中一定与（除外）相等的角有（　　）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】D
【解析】【解答】解：，
∠B=∠1，
，，
∠C=∠2=∠1，∠ADE=∠B=∠1，
，，
四边形BDEF是平行四边形，
∠DEF=∠B=∠1，
与∠1相等的角有∠2，∠B，∠C，∠ADE，∠DEF，共5个.
故答案为：D.
【分析】根据平行线的性质找出等于∠1的角即可.
3．如图，在矩形OABC中，点B的坐标是（1，2），则AC的长是（　　）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：连接OB，过B作BM⊥x轴于M，
∵点B的坐标是（1，2），
∴OM=1，BM=2，由勾股定理得：
∵四边形OABC是矩形，
∴AC=OB，
∴AC=
故答案为：C.
【分析】连接OB，过B作BM⊥x轴于M，根据点B的坐标可得OM=1，BM=2，由勾股定理可得OB，根据矩形的性质可得AC=OB，据此解答.
4．为了减轻学生课外作业负担，数学老师准备按照学生每天课外作业完成量(完成题目个数)实行分档布置作业．作业量分档递增，计划使第一档、第二档和第三档的作业量覆盖全校学生的70%，20%和10%，为合理确定各档之间的界限，随机抽查了该校500名学生过去一个阶段完成作业量的平均数(单位：个)；绘制了统计图．如图所示，下面四个推断合理的是（　　）
A．每天课外作业完成量不超过15个题的该校学生按第二档布置作业
B．每天课外作业完成量超过21个的该校学生按第三档布置作业
C．该校学生每天课外作业完成量的平均数不超过18
D．该校学生每天课外作业完成量的中位数在15﹣18之间
【答案】C
【解析】【解答】解：A．由条形统计图可得：每天课外作业完成量不超过15个题的学生一共有(25+75+150+100)＝350(名)，
，故每天课外作业完成量不超过15个题的该校学生按第一档布置作业，不符合题意；
B．∵每天课外作业完成量超过21个的学生有(25+15+15+5)＝60(名)，
，不符合题意；
C．由A得，该校学生每天课外作业完成量的平均数不超过18，符合题意；
D．∵500个数数据的中间是第250和251的平均数，
∴该校学生每天课外作业完成量的中位数在12﹣15之间，不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用条形统计图结合中位数的定义分别分析求解即可。
5．如图，在□ABCD中，下列结论一定成立的是（　　）
A．AD=BD B．OA=OC C．AB⊥BD D．∠BAC=∠DAC
【答案】B
【解析】【解答】解：A、平行四边形中，AD是边，BD是对角线，边长与对角线长度无必然相等关系，则本项不符合题意；
B、平行四边形的对角线互相平分，即AC和BD的交点O满足AO=OC且BO=OD，则本项符合题意；
C、只有当平行四边形为菱形时，对角线才与边垂直，则本项不符合题意；
D、只有当对角线AC平分∠BAD时才成立，则本项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】 根据平行四边形的性质，对角线互相平分，对边相等，对角相等，但邻边不一定相等，对角线也不一定垂直或相等，据此逐项分析即可.
6．如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，且AB=3，AC=4，D是斜边 BC上的一个动点，过点D分别作 DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，连接 MN，则线段 MN 的最小值为（　　）
A． B． C．3 D．4
【答案】A
【解析】【解答】∵∠BAC=90°，且BA=3，AC=4，
∴ ，
∵DM⊥AB，DN⊥AC，
∴∠DMA=∠DNA=∠BAC=90°，
∴四边形DMAN是矩形.
如图，连接AD，则MN=AD，
∴当AD⊥BC时，AD的值最小，此时，ΔABC的面积= AB×AC= BC×AD，
∴ ，
∴MN的最小值为 ；
故答案为：A．
【分析】先求出BC=5，再求出∠DMA=∠DNA=∠BAC=90°，最后利用三角形的面积公式计算求解即可。
7．勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青朱出入图》证明了勾股定理，以下四个图形，哪一个是赵爽弦图（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】【解答】解：由题意得为赵爽构图，
故答案为：A
【分析】根据题意即可直接求解。
8．已知平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于．则下列说法正确的是（　　）
A．当时，平行四边形ABCD为矩形
B．当时，平行四边形ABCD为正方形
C．当时，平行四边形ABCD为菱形
D．当时，平行四边形ABCD为菱形
【答案】D
【解析】【解答】A、∵当时，不能判定平行四边形ABCD为矩形，∴A不符合题意；
B、∵当时，则平行四边形ABCD是菱形，但不能直接证出平行四边形ABCD是正方形，∴B不符合题意；
C、∵当时，则平行四边形ABCD是矩形，但不能直接证出平行四边形ABCD是菱形，∴C不符合题意；
D、∵当时，则平行四边形ABCD是菱形，∴D符合题意；
故答案为：D.
【分析】利用菱形的判定方法、矩形的判定和正方形的判定方法逐项分析判断即可.
9．如图，在正方形中，是边上一点，是延长线上一点，连接交对角线于点，连接，若，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】【解答】解：如图，连接，
∵四边形为正方形，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∴是等腰直角三角形，
过作，交于，
∴，，
∵四边形为正方形，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为：．
【分析】 连接， 先利用“SAS”证出，再证出是等腰直角三角形， 过作，交于，再证出是等腰直角三角形， 可得，再利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再利用角的运算求出，结合，求出即可.
10．如图， 方格纸中小正方形的边长为1， ， 两点在格点上，要在图中格点上找到点 ，使得 的面积为2，满足条件的点 有（　　）
A．无数个 B．7个 C．6个 D．5个
【答案】C
【解析】【解答】解：设如下图所示中的两个格点为C1、D，连接C1D
根据勾股定理可得C1D=AD=BD= ，AB=
∵C1A= C1B，点D为AB的中点
∴C1D⊥AB
∴S△C1AB= AB·C1D=2
∴此时点C1即为所求
过点C1作AB的平行线，交如图所示的格点于C2 、C3，根据平行线之间的距离处处相等，此时C2 、C3也符合题意；
同理可得：S△C4AB=2，
∴点C4即为所求，过点C4作AB的平行线，交如图所示的格点于C5 、C6，根据平行线之间的距离处处相等，此时C4 、C5也符合题意.
满足条件的点C共有6个
故答案为：C.
【分析】如解图中的C1、D，连接C1D，根据勾股定理即可求出C1D和AB，然后根据三线合一即可求出S△C1AB=2，然后根据平行线之间的距离处处相等即可求出另外两个点C2 、C3，然后同理可找出C4、C5 、C6，从而得出结论.
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．如图，将两条宽度均为2的纸条相交成角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为　 　．
【答案】8
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC=30°，
又∵两条纸条的宽度均为2，
∴AB=4，
同理可得AD=4，
又∵AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB=AD=4，
∴四边形ABCD是菱形，
∴S菱形ABCD=4×2=8.
故答案为：8.
【分析】根据平行线的性质可得∠ABC=30°，由题意结合含30°角的直角三角形的性质可得AB=4，同理可得AD=4，推出四边形ABCD是菱形，据此不难求出四边形ABCD的面积.
12．即将举行的杭州亚运会吉祥物“宸宸”、“琼琼”、“莲莲”，将三张正面分别印有以上3个吉祥物图案的卡片（卡片的形状、大小、质地都相同）背面朝上、洗匀，若先从中任意抽取1张，记录后放回，洗匀，再从中任意抽取1张，两次抽取的卡片图案相同的概率是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：设“宸宸”、“琼琼”、“莲莲”分别为A、B、C，
列树状图如下
一共有9种结果， 两次抽取的卡片图案相同的有3种情况，
∴P（ 两次抽取的卡片图案相同的 ）=.
故答案为：
【分析】根据题意可知此事件是抽取放回，列出树状图，利用树状图可得到所有等可能的结果数和两次抽取的卡片图案相同的情况数，然后利用概率公式进行计算.
13．矩形的一个角的平分线把矩形的一边分成1cm和3cm两部分，则这个矩形的面积为　 　.cm2.
【答案】4 或12
【解析】【解答】解：矩形如下图：
当AE=3，DE=1时；
∵四边形ABCD是矩形
∴AD∥BC
∴∠AEB=∠EBC
∵BE平分∠ABC
∴∠ABE=∠EBC
∴∠ABE=∠AEB
∴AE=AB=3
∴矩形的面积为（3+1）×4=12
当AE=1，DE=3时；
同理，可得AE=AB=1；
∴矩形的面积为1×（3+1）=4
综上所述，矩形的面积为4或12.
故答案为：4或12.
【分析】根据矩形的对边平行得AD∥BC，由二直线平行，内错角相等得，∠AEB=∠EBC；根据角平分线的性质和等量代换原则，可得∠ABE=∠AEB，由等角对等边AE=AB=3或AE=AB=1；根据矩形的面积公式，即可求出其面积.
14．如图，正方形ABCD的边长为4，E是BC的中点，在对角线BD上有一点P，则PC+PE的最小值是　 　.
【答案】
【解析】【解答】解：如图，连接AE，PA，
∵四边形ABCD是正方形，BD为对角线，
∴点C关于BD的对称点为点A，
∴PE+PC=PE+AP，
根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，
∵正方形ABCD的边长为4，E是BC边的中点，
∴BE=2，
∴AE= .
故答案为： .
【分析】连接AE，PA，根据正方形的性质可得点C关于BD的对称点为点A，则PE+PC=PE+AP，根据两点之间线段最短可得AE就是AP+PE的最小值，据此计算.
15．如图，在 中，点 分别在边 上，且 ，连接 ，点 分别是 的中点， ，则 的度数是　 　．
【答案】112°
【解析】【解答】解：如图
∵点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点
∴MP是ΔDEC的中位线，
∴MP= EC，
NP是ΔDBC的中位线
∴NP= BD，
又∵BD=CE
∴MP=NP
∴∠PMN=∠PNM=34
∴∠MPN=180 -∠PMN-∠PNM=180 -34 -34 =112
故答案位：112°
【分析】根据点 M，N，P 分别是 DE，BC，CD 的中点，可以证明MP是ΔDEC的中位线，NP是ΔDBC的中位线，根据中位线的定理可得MP=NP，再根据等腰三角形的性质得到∠PMN=∠PNM，最后根据三角形的内角和定理求出∠MPN。
16．如图，四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，AB=6，对角线AC与BD相较于点O，点E在AC上，若OE=2 ，则CE的长为　 　
【答案】5 或
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD=6，AC⊥BD，OB=OD，OA=OC，
∵
∴△ABD是等边三角形，
∴BD=AB=6，
∴
∴
∴
∵点E在AC上，
∴当E在点O左边时
当点E在点O右边时
∴ 或 ；
故答案为： 或 .
【分析】根据菱形的性质和已知条件易证△ABD是等边三角形、△ABO是直角三角形，用勾股定理易求AO的长，则AC=2AO，当E在点O左边时CE=OC+OE可求解；当点E在点O右边时CE=OC OE可求解。
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．随着教育部“双减”政策的深入，某校开发了丰富多彩的课后托管课程，并于开学初进行了学生自主选课活动．小明和小王分别打算从以下三个特色课程选择一个参加：A．竞技乒乓；B．围棋博弈；C．街舞少年．
（1）小明选择街舞少年的概率为　 　；
（2）用画树状图或列表的方法求小明和小王选择同一个课程的概率．
【答案】（1）
（2）解：列表格如下：
小王小明 A B C
A （A，A） （A，B） （A，C）
B （B，A） （B，B） （B，C）
C （C，A） （C，B） （C，C）
共有9种等可能的结果，其中小明和小王选择有3种，
∴小明和小王选择同一个课程的概率为．
【解析】【解答】解：(1)∵ 小明从三个特色课程选择一个，∴ 小明选择街舞少年的概率为.
故答案为：.
【分析】(1)根据概率的公式直接计算即可.
(2)先将小明和小王选择课程的所有结果列表格表示出来，再找出同一个课程的结果种数，利用概率的公式求解即可.
18．如图，在平行四边形中，．
.
（1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交于点，在上截取，使保留作图痕迹，不写作法；
（2）在所作的图形中，连接，求证：四边形是菱形请补全下面的证明过程．
证明：四边形为平行四边形，
且　 　 ，
，，
　 　 ．
四边形是平行四边形，
，
　 　 ．
平分，
　 　 ，
．
　 　 ，
四边形是菱形．
【答案】（1）解：如图所示：
（2）BC；BE=AF；∠AEB=∠EAD；∠EAB=∠EAD；BA=BE
【解析】【分析】本题考查角平分线的作图和菱形的判定。熟悉角平分线的作图过程，注意痕迹保留，根据 四边形为平行四边形得出，，结合得，则四边形是平行四边形得∠AEB=∠EAD，根据平分得∠EAB=∠EAD，可知得BA=BE，则四边形是菱形．
19．如图1，在正方形ABCD中，E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，DA上的点，HA=EB=FC=GD，连接EG，FH，交点为O．
（1）如图2，连接EF，FG，GH，HE，试判断四边形EFGH的形状，并证明你的结论；
（2）将正方形ABCD沿线段EG，HF剪开，再把得到的四个四边形按图3的方式拼接成一个四边形．若正方形ABCD的边长为3cm，HA=EB=FC=GD=1cm，则图3中阴影部分的面积为多少？
【答案】解：（1）四边形EFGH是正方形．证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，∵HA=EB=FC=GD，∴AE=BF=CG=DH，∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，∴EF=FG=GH=HE，∴四边形EFGH是菱形，∵△DHG≌△AEH，∴∠DHG=∠AEH，∵∠AEH+∠AHE=90°，∴∠DHG+∠AHE=90°，∴∠GHE=90°，∴四边形EFGH是正方形．（2）∵HA=EB=FC=GD=1，AB=BC=CD=AD=3，∴GF=EF=EH=GH= =，∵由（1）知，四边形EFGH是正方形，∴GO=OF，∠GOF=90°，由勾股定理得：GO=OF=，∵S四边形FCGO=×1×2+××=，∴S阴影= (+)2﹣S四边形FCGO×4=10﹣9=1．
【解析】【分析】（1）先证明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，可得出四边形GHEF是菱形，再根据全等三角形角之间的关系，又可得出菱形的一个角是直角，那么就可得出四边形GHEF是正方形．
（2）根据已知条件，可以知道重新拼成的四边形是正方形（因为正方形GHEF的对角线翻到了外边，做了新拼成的正方形的边长），利用勾股定理求出GF和GO、FO的长，所的面积是10减去4个四边形GOFC的面积就是阴影部分的面积．
20．为推进扎实开展学校科学教育，光明学校组织学生开展了“科技创新月”活动，其中，计划进行以下四项活动实验：A．马德堡半球；B．塑料袋火箭；C．色彩爆炸；D．火山爆发．活动小组对该校部分学生进行随机问卷，调查“最期待的实验”，得到下列不完整的统计图．
请结合统计图，回答下列问题：
（1）此次调查的学生人数；
（2）请补全条形统计图；
（3）已知“最期待的实验”中A项的4名学生中801班有1名，802班有1名，803班有2名，现从中抽取2名学生进行演示，请用列表或画树状图的方法，求从中抽到2名学生来自不同班级的概率．
【答案】（1）解：∵（人），
∴此次调查中接受调查的人数为人；
（2）解：最期待项实验的人数为：（人），
补全条形统计图如图所示．
（3）解：将来自801班的名学生记为甲，来自802班的名学生记为乙，来自803班的名学生记为丙，丁，画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中抽到的名学生来自不同班级的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丁，甲），（丁，乙），共种，
∴抽到的名学生来自不同班级的概率为．
【解析】【分析】（1）用的人数除以的百分比解题即可；
（2）运用总人数减去其它组的人数求出最期待项实验的人数，然后补全条形统计图解题可；
（3）画树状图得出所有等可能的结果，找出符合条件的结果数，根据概率公式计算解题．
（1）解：∵（人），
∴此次调查中接受调查的人数为人；
（2）解：最期待项实验的人数为：（人），
补全条形统计图如图所示．
；
（3）解：将来自801班的名学生记为甲，来自802班的名学生记为乙，来自803班的名学生记为丙，丁，
画树状图如下：
共有种等可能的结果，其中抽到的名学生来自不同班级的结果有：（甲，乙），（甲，丙），（甲，丁），（乙，甲），（乙，丙），（乙，丁），（丙，甲），（丙，乙），（丁，甲），（丁，乙），共种，
∴抽到的名学生来自不同班级的概率为．
21．近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷．
调查问卷年 月在下面四类文创产品中，你最喜爱的是(　　)(单选)A．玩偶 B．冰箱贴 C．创意摆件 D．手机挂件
【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶
(1)本次抽样调查的样本容量是________；
(2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________；
【做出合理估计】
(3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？
【解决概率问题】
(4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．
【答案】解：(1)120；(2)；
(3)(人)
答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有600人．
(4)根据题意，可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果共有4种，即．
所以，P(甲，乙两人恰好获得同一类文创产品)．
【解析】【解答】解：(1)；
故答案为：120；
(2)喜爱玩偶的人数为，
；
故答案为：；
【分析】
（1）用喜爱冰箱贴的人数36除以所占的比例30%，求出样本容量即可解答；
（2）用360度乘以喜爱玩偶的人数所占的比例求出圆心角的度数即可解答；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可解答；
（4）画出树状图得到所有可能出现的结果共有16种，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果共有4种，再利用概率公式进行计算即可解答．
22．在等腰三角形ABC中，AB=AC，∠BAC=α，点P为平面内一点.
（1）如图1，α=90°，P在BC上，CD⊥AP，若CP=AC，且AP=4，则AD= 　 　； S△ABP= 　 　；
（2）如图2，P为BC中点，连接AP，过B点的直线分别交AP，AC于E，F两点，若AE=AF，求证：CF=2PE.
（3）如图3，α=60°，P为△ABC外一点，且满足∠APB=150°，求证：CP=AB.
【答案】（1）2；4
（2）证明：取CF的中点N，连接PN，则CF=2FN，如图2所示：
∵点P为BC中点，
∴PN是△BCF的中位线，
∴PN∥BF，
∵AE=AF，
∴∠AEF=∠AFE，
∵PN∥BF，
∴∠APN=∠AEF，∠ANP=∠AFE，
∴∠APN=∠ANP，
∴AP=AN，
∴AP-AE=AN-AF，
∴PE=FN，
∴CF=2PE；
（3）证明：将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AM，连接CM，PM，如图3所示：
则∠PAM=60°，AP=AM，
∴△APM是等边三角形，
∴AP=MP，∠AMP=60°，
∵∠BAC=α=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠PAM=∠BAC=60°，
∴∠PAB+∠BAM=∠BAM+∠MAC，
∴∠PAB=∠MAC，
在△PAB和△MAC中，
，
∴△PAB≌△MAC（SAS），
∴PB=CM，∠APB=∠AMC=150°，
∴∠PMC=360°-（∠AMP+∠AMC）=360°-（60°+150°）=150°，
∴∠APB=∠PMC=150°，
在△APB和△PMC中，
∴△APB≌△PMC（SAS），
∴AB=CP，
即CP=AB
【解析】【解答】解：（1）过点B作BH⊥AP交AP的延长线于点H，如图1所示：
∵CD⊥AP，CP=AC，AP=4，
∴AD=PDAP=2，
∵CD⊥AP，BH⊥AP，
∴∠H=∠ADC=90°，
∴∠ACD+∠DAC=90°，
又∵∠BAH+∠DAC=∠BAC=α=90°，
∴∠BAH=∠ACD，
在△BAH和△ACD中，
，
∴△BAH≌△ACD（AAS），
∴BH=AD=2，
∴S△ABPAP BH4×2=4，
故答案为：2；4；
【分析】（1）过点B作BH⊥AP交AP的延长线于点H，根据等腰直角三角形的性质，利用AAS得到△BAH≌△ACD，即可得到BH=AD=2，然后根据三角形的面积公式解答即可；
（2） 取CF的中点N，连接PN， ，则PN是△BCF的中位线，则CF=2FN，然后根据平行线的性质和等角对等边得到AP=AN，则PE=FN，证明结论即可；
（3）将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到AM，连接CM，PM，则△APM是等边三角形，然后根据SAS推理得到△PAB≌△MAC得PB=CM，∠APB=∠AMC=150°，即可得到∠APB=∠PMC=150°，然后可以得到△APB≌△PMC，然后根据全等三角形的对应边相等证明结论．
23．如图在△ABC中，∠CAB=，AD是BC边上的中线，E是AD的中点，过点A作BC的平行线，交BE的延长线于点F，连接CF，
（1）试判断四边形ADCF的形状，并说明理由．
（2）若四边形ADCF是正方形，BF与AE有什么数量关系？说明理由．
（3）若AC=6，AB=8，求BF的长．
【答案】（1）解：∵△ABC中，∠CAB=90°，AD是BC边中线，∴AD=CD=DB．
∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵AFBC，
∴ ∠EFA=∠EBD．
又∵∠FEA=∠BED，
∴△AEF≌△DEB(AAS)，
∴AF=DB，
∴AF=CD．
∵AFCD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
又∵AD=CD，
∴四边形ADCF是菱形．
（2）解：BF=，
理由如下：∵四边形ADCF是正方形，
∴FC=CD=AD，∠FCD=90°．
又∵AD=DB，
∴FC=CD=DB，
∴BC=2CF，
∴BF===，
，
∵AD=2AE，
∴BF==，
（3）解：如图，连接FD交AC于O点，延长BA，过F点作FG垂直于BA的延长线于G点，
∵四边形ADCF是菱形，
∴∠AOF=90°．
∵∠CAB=90°，
∴∠CAG=90°．
又∵FG丄AG，
∴∠G=90°，
∴四边形OFGA是矩形，
∴FG=OA，GA=FO．
∵AC=6，O是AC的中点，
∴AO=3，
∴FG=3．
∵O点、D点是AC、BC的中点，
∴OD==4，
∴GA=OF=OD=4，
∴GB=4+8=12，
∴BF=．
【解析】【分析】本题综合考查四边形相关知识，涉及直角三角形斜边中线性质、菱形判定、正方形性质、矩形判定与性质、三角形中位线定理以及全等三角形的证明。(1) 根据直角三角形斜边中线定理可得AD=CD=BD。通过证明△AEF≌△DEB（AAS），得到对应边AF=BD，从而AF=CD。又因为AF∥CD，所以四边形ADCF是平行四边形。再结合AD=CD这个邻边相等的条件，最终判定四边形ADCF为菱形。
(2) 由正方形性质可知FC=CD=AD。根据第(1)问结论AD=DB，因此FC=CD=DB，可得CB=2FC。运用勾股定理计算：BF==FC。由于CF=AD=2AE（E为中点），代入得BF= AE。
(3) 解题步骤： 连接FD交AC于点O；作FG⊥BA延长线于G点；证明四边形OFGA是矩形 → FG=OA==3；根据中位线性质得OD=AB/2=4 → GA=OF=OD=4； 计算GB=GA+AB=4+8=12；在Rt△FGB中运用勾股定理：BF====。
（1）∵△ABC中，∠CAB=90°，AD是BC边中线，
∴AD=CD=DB．
∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵AFBC，
∴ ∠EFA=∠EBD．
又∵∠FEA=∠BED，
∴△AEF≌△DEB(AAS)，
∴AF=DB，
∴AF=CD．
∵AFCD，
∴四边形ADCF是平行四边形．
又∵AD=CD，
∴四边形ADCF是菱形．
（2）BF=，理由如下：
∵四边形ADCF是正方形，
∴FC=CD=AD，∠FCD=90°．
又∵AD=DB，
∴FC=CD=DB，
∴BC=2CF，
∴BF===，
，
∵AD=2AE，
∴BF==，
（3）如图，连接FD交AC于O点，延长BA，过F点作FG垂直于BA的延长线于G点，
∵四边形ADCF是菱形，
∴∠AOF=90°．
∵∠CAB=90°，
∴∠CAG=90°．
又∵FG丄AG，
∴∠G=90°，
∴四边形OFGA是矩形，
∴FG=OA，GA=FO．
∵AC=6，O是AC的中点，
∴AO=3，
∴FG=3．
∵O点、D点是AC、BC的中点，
∴OD==4，
∴GA=OF=OD=4，
∴GB=4+8=12，
∴BF=．
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