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湘教版2025—2026学年八年级下册期中模拟重点提分卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角为(　　)
A．90° B．60° C．45° D．30°
2．在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A（-2，1）的对应点为A′（1，-2），点B的对应点为B′（2，0）．则B点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．已知点的坐标为， 下列说法正确的是（　　）
A．若点在轴上， 则
B．若点在一三象限角平分线上， 则
C．若点到轴的距离是3 ， 则
D．若点在第四象限， 则的值可以为-2
4．如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
5．如图，菱形ABCD的顶点A；B分别在y轴正半轴，x轴正半轴上，点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，若直线AC平行x轴，则菱形ABCD的边长值为（　　）
A．9 B． C．6 D．3
6．如图，菱形ABCD的周长为24，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
7．如图，直线交正方形ABCD的对边AD、BC于点P、Q，正方形ABCD和正方形EFGH关于直线成轴对称，点在CD边上，点在边FE上，BC、HG交于点M，AB、FG交于点.以下结论错误的是（　　）
A． B．的周长等于线段CH的长
C．的周长等于线段CM的长 D．的周长等于
8．如图所示，在 中， 平分 交 于点 ，若 ， 是 中点， ， ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．1
9．如图，一只蚂蚁在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即第一次从原点运动到H（2，2），第二次从H（2，2）运动到I（4，6），第三次从I（4，6）运动到J（6，0），第四次从J（6，0）运动到K（8，2），第五次从K（8，2）运动到L（10，6）……，按这样的运动规律，经过2022次运动后，蚂蚁所处的坐标是（　　）
A．（4044，6） B．（2022，2） C．（4044，0） D．（2022，0）
10．如图，正方形，边长，对角线、相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．过△ABC的顶点C画线段CD，使得线段CD与AB边平行且相等，则下列说法：
①若∠BAC=90°，则以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形；
②若以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则∠BAC=
90°；
③若AB=AC= BC，则以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形；
④若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则AB=AC。
其中正确的说法有　 　(填序号)
12．如图， ABCD的对角线交于点O，且AB=5， OCD的周长为23，则 ABCD的两条对角线长的和是　 　.
13．如图，已知P是正方形ABCD对角线AC上的一点，且AP＝AD，则∠CDP的大小是　 　度．
14．如图，在 ABCD中，AB＝8，BC＝12，∠B＝120°，点E是BC的中点，点P在 ABCD的边上．若△PBE为等腰三角形，则EP的长为 　 　．
15．在教材第88页，我们遇到过如图的五角星，得出了这个结论．英才班的同学对这个题目产生兴趣，画出了正六边形、正八边形，并延长每条边使其相交，形成如图的“六角星”、“八角星”图，并计算出六角星6个角的和以及八角星8个角的和，请根据以上信息推导延长正n边形每条边相交形成的“n角星”图的n个角的和是　 　．
16．由四个正方形相框拼成的照片墙如图所示，已知正方形 ，正方形 ，正方形 的.面积分别为4平方分米，4平方分米， 平方分米，则正方形 的面积为　 　平方分米.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在四边形 中， ．
（1）试求 的度数．
（2） 试说明 ．
18．在平面直角坐标系xOy中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点．
（1）若点P的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为　 　；
（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标；
（3）若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点．点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标．
19．如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是．
根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系；用坐标表示位置：图书馆 ；
已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置．
20．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.
（1）求证：BE=DF.
（2）设当k为何值时，四边形DEBF是矩形 请说明理由.
21．如图，在 中，点，分别在和上，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，且，，求 的周长．
22．如图①，在中，，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）如图②，连接，若，，求的长．
23．如图1，将矩形ABCD()绕点A逆时针方向旋转得到矩形AFFG，连接BE.
（1） 若，求的度数；
（2） 如图2，当点E落在边CD上时，连接BG与AE交于点P. 求证：P是BG的中点.
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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湘教版2025—2026学年八年级下册期中模拟重点提分卷
数 学
（时间：90分钟 满分：100分）
一、选择题(本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．若一个正多边形的内角和为720°，则这个正多边形的一个外角为(　　)
A．90° B．60° C．45° D．30°
【答案】B
【解析】【解答】解：设正多边形的边数为，
∴，
解得，
又∵多边形的外角和为，
∴一个外角的度数为．
故选：B．
【分析】根据多边形内角和公式求出边数，再根据外角和定理求出一个外角的度数即可．
2．在平面直角坐标系中，线段A′B′是由线段AB经过平移得到的，已知点A（-2，1）的对应点为A′（1，-2），点B的对应点为B′（2，0）．则B点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：∵点A（-2，1）的对应点为A′（1，-2），
∴-2+3=1，1-3=-2，
∴平移规律是横坐标向右平移3个单位，纵坐标向下平移3个单位，
设点B的坐标为（x，y），
则x+3=2，y-3=0，
解得x=-1，y=3，
所以点B的坐标为（-1，3）．
故答案为：C．
【分析】根据对应点A、A′找出平移规律，然后设点B的坐标为（x，y），根据平移规律列式求解即可．
3．已知点的坐标为， 下列说法正确的是（　　）
A．若点在轴上， 则
B．若点在一三象限角平分线上， 则
C．若点到轴的距离是3 ， 则
D．若点在第四象限， 则的值可以为-2
【答案】B
【解析】【解答】解：A、若点在轴上，则，解得，
故此选项错误，不符合题意；
B、若点在一三象限角平分线上，则，解得，
故此选项正确，符合题意；
C、若点到轴的距离是3，则或，解得或，
故此选项错误，不符合题意；
D、若点在第四象限，则，解得，
故此选项错误，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】y轴上的点，横坐标为0，则a+1=0，求出a的值，进而判断A；一三象限角平分线上的点的坐标特征为横纵坐标相等，则a+1=3-a，求出a的值，进而判断B；点到x轴的距离为纵坐标的绝对值，则3-a=±3，求出a的值，进而判断C；第四象限内的点，横坐标为正，纵坐标为负，据此判断D.
4．如图，矩形ABCD中，∠BOC＝120°，BD＝12，点P是AD边上一动点，则OP的最小值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解析】【解答】解：如图，过点O作OP⊥AD，则此时OP的长度最小.
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC=BD，
∵，
∴AO=DO=
∵∠AOD=∠BOC=120°
∴∠OAD=30°
∵∠OPA=90°
∴OP=
故答案为：A.
【分析】过点O作OP⊥AD，则此时OP的长度最小.由矩形的性质可得AO=DO=，由对顶角相等可得∠AOD=∠BOC=120°，利用等要哦三角形的性质及三角形内角和可求出∠OAD=30°，根据含30°角的直角三角形的性质可得OP=.
5．如图，菱形ABCD的顶点A；B分别在y轴正半轴，x轴正半轴上，点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，若直线AC平行x轴，则菱形ABCD的边长值为（　　）
A．9 B． C．6 D．3
【答案】B
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD，
∴AC、BD互相垂直且平分.
∵点C的横坐标为10，点D的纵坐标为8，直线AC平行x轴，
∴ B（5，0），A（0，4），
∴OA=4，OB=5，
∴AB=.
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质可得对角线互相垂直且平分，结合点C的横坐标、点D的纵坐标可得B（5，0），A（0，4），然后求出OA、OB的值，再利用勾股定理就可求出AB的长.
6．如图，菱形ABCD的周长为24，对角线AC，BD交于点O，E为AD的中点，则OE的长为（　　）
A．6 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，AC⊥BD，
∵菱形ABCD的周长为24，
∴AD=6，
∵AC⊥BD，点E是AD的中点，
∴OE=
AD=3，
故答案为：C．
【分析】先求出菱形的边长AD，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得OE。
7．如图，直线交正方形ABCD的对边AD、BC于点P、Q，正方形ABCD和正方形EFGH关于直线成轴对称，点在CD边上，点在边FE上，BC、HG交于点M，AB、FG交于点.以下结论错误的是（　　）
A． B．的周长等于线段CH的长
C．的周长等于线段CM的长 D．的周长等于
【答案】C
【解析】【解答】解：∵过点A作AK垂直HG于点K，连接AH，AM，HB，KF，如图：
则AK= EH，
∵正方形ABCD和正方形EFGH关于直线l成轴对称，
∴EA=DH，NG=BM，HM=AN，
∴AD=AK，
在Rt△ADH和Rt△AKH中，
∴Rt△ADH≌Rt△AKH（HL）.
∴DH=HK，
同理可证：Rt△AKM≌Rt△ABM，
∴KM= BM，
∴EA+NG= DH+BM=HK+ KM=HM=AN，选项A正确，故不符合题意；
∵正方形ABCD和正方形 EFGH关于直线l成轴对称，
∴QG=QB，
∴C△GQM=MQ+QG +MG=MQ+QB+MG=BM+ GM=KM+MG= KG，
∵KG=HG－HK=DC- DH=CH，
∴C△GQM=CH，选项B正确，故不符合题意；
∵正方形ABCD和正方形EFGH关于直线l成轴对称，
∴Rt△GQM≌Rt△BQN，
∴C△BQN=C△GQM=CH≠CM，故C选项错误，符合题意；
∵正方形ABCD和正方形EFGH关于直线l成轴对称，
∴Rt△HCM≌Rt△AFN，
∵BM=KM，BC=HG，
∴CM=CB－BM=HG－KM=HK+MG，
∴C△AFN=C△HCM
= CM+ CH+ HM
=HK+MG+CH+HG- MG
=HK+CH+HG
=DH+CH+DC
=2 ( DH+CH )， 故D选项正确，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】过点A作AK垂直HG于点K，连接AH，AM，HB，KF，根据两正方形关于直线l对称，可得Rt△ADH≌Rt△AKH，Rt△AKM≌Rt△ABM，再根据边的转化即可证明A选项不符合题意；根据对称可得QG=QB，将△GQM的周长表示出来，再通过边的转化即可证明B选项不符合题意；根据对称可得Rt△GQM≌Rt△BQN，即可证明C选项符合题意；根据对称，可得Rt△HCM≌Rt△AFN，将△HCM周长表示出来，再根据边的转化即可证明D选项不符合题意.
8．如图所示，在 中， 平分 交 于点 ，若 ， 是 中点， ， ，则 的长为（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】【解答】解：延长AC、BD交于点F，过点D作DG∥AF交BC于G，如图所示：
则∠DGE=∠ACE，
∵E是AD中点，
∴DE=AE=2，
∴AD=4，
∵BD=3，
∴AB= =5，
在△DGE和△ACE中，
，
∴△DGE≌△ACE（AAS），
∴DG=AC，
∵AD平分∠CAB，
∴∠BAD=∠FAD，
∵∠BDA=90°，
∴AD⊥BF，∠FDA=90°，
∴∠F=∠ABD，
∴AF=AB=5，
∴BD=FD，
∵DG∥AF，
∴DG是△BCF的中位线，
∴CF=2DG，
∴AF=AC+CF=3DG=3AC，
∴AC=DG= AF= ，
故答案为：A.
【分析】延长AC、BD交于点F，过点D作DG∥AF交BC于G，如图，由勾股定理求出AB=5，证明△DGE≌△ACE（AAS），可得DG=AC，证出∠F=∠ABD，可得AF=AB=5，BD=FD，可证出DG是△BCF的中位线，可得CF=2DG，从而得出AF=AC+CF=3DG=3AC，继而得出AC=DG= AF，即可求出结论.
9．如图，一只蚂蚁在平面直角坐标系中按箭头所示方向作折线运动，即第一次从原点运动到H（2，2），第二次从H（2，2）运动到I（4，6），第三次从I（4，6）运动到J（6，0），第四次从J（6，0）运动到K（8，2），第五次从K（8，2）运动到L（10，6）……，按这样的运动规律，经过2022次运动后，蚂蚁所处的坐标是（　　）
A．（4044，6） B．（2022，2） C．（4044，0） D．（2022，0）
【答案】C
【解析】【解答】解：∵第一次从原点运动到（2，2），第二次从（2，2）运动到（4，6），第三次从（4，6）运动到（6，0），
第四次从（6，0）运动到（8，2），第五次从（8，2）运动到（10，6），…，
∴按这样的运动规律，第几次横坐标即为2n，纵坐标为：2，6，0，2，6，0，2，6…3个一循环，
∵2022÷3＝674，
∴经过第2022次运动后，蚂蚁所处的坐标是：（4044，0）．
故答案为：C．
【分析】根据已知可得运动规律，第n次横坐标即为2n，纵坐标为2，6，0，····，3数字个一循环，继而求解即可.
10．如图，正方形，边长，对角线、相交于点O，将直角三角板的直角顶点放在点O处，三角板两边足够长，与、交于、两点，当三角板绕点O旋转时，线段的最小值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C
【解析】【解答】解：正方形，
，
，
，
，
，
，
故要使有最小值，即求的最小值，
当时，有最小值，
，
，
线段的最小值为．
故答案为：C．
【分析】先利用“ASA”证出，可得，证出，从而可得要使有最小值，即求的最小值，当时，有最小值，再求出，即可得到线段的最小值为．
二、填空题(本大题有6个小题，每小题3分，共18分)
11．过△ABC的顶点C画线段CD，使得线段CD与AB边平行且相等，则下列说法：
①若∠BAC=90°，则以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形；
②若以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形，则∠BAC=
90°；
③若AB=AC= BC，则以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形；
④若以A，B，C，D为顶点的四边形是菱形，则AB=AC。
其中正确的说法有　 　(填序号)
【答案】③
【解析】【解答】解：∵CD∥AB，CD=AB
∴四边形ABCD为平行四边形
①若∠BAC=90°，则以A，B，C，D为顶点的四边形不是矩形，说法错误；
②若以A，B，C，D为顶点的四边形为矩形，则∠ABC=90°，说法错误；
③若AB=AC=BC，则以A，B，C，D为顶点的四边形为菱形，说法正确；
④若以A，B，C，D为顶点的四边形为菱形，则AB=BC，说法错误。
【分析】根据矩形的判定以及菱形的判定，证明得到答案即可。
12．如图， ABCD的对角线交于点O，且AB=5， OCD的周长为23，则 ABCD的两条对角线长的和是　 　.
【答案】36
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB=5，
∴OB=OD=BD，OA=OC=AC，CD=AB=5，
∵△ OCD的周长 =OD+OC+CD=23，
∴OC+OD=18，
即BD+AC=18，
∴BD+AC=36.
故答案为：36.
【分析】根据平行四边形的性质可得OB=OD=BD，OA=OC=AC，CD=AB=5，由△ OCD的周长 =OD+OC+CD=23，可得BD+AC=36，据此求出结论.
13．如图，已知P是正方形ABCD对角线AC上的一点，且AP＝AD，则∠CDP的大小是　 　度．
【答案】22.5
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CAD=45°，∠ADC=90°，
∵AP=AD，
∴∠ADP=∠APD=67.5°，
∴∠PDC=∠ADC-∠ADP=22.5°．
故答案为：22.5°．
【分析】由正方的性质可得∠CAD=45°，∠ADC=90°，由AP=AD可得∠ADP=∠APD=67.5°，利用∠PDC=∠ADC-∠ADP即可求解.
14．如图，在 ABCD中，AB＝8，BC＝12，∠B＝120°，点E是BC的中点，点P在 ABCD的边上．若△PBE为等腰三角形，则EP的长为 　 　．
【答案】6或或
【解析】【解答】解：当P点在BA上，BP=BE=6，
作BH⊥PE于H，如图1，
则PH=EH，
∵∠B=120°，
∴∠BPE=∠BEP=30°，
在Rt△BEH中，BH=BE=3，EH=BH=3，
∴PE=2EH=6；
当P点在AD上，BP=PE，
作BG⊥AD于G，PF⊥BE于F，如图2，
则BF=EF=3，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴ADBC，
∵∠ABC=120°，
∴∠A=60°，
在Rt△ABG中，AG=AB=4，BG=AG=4，
∴PF=4，
在Rt△PEF中，PE=；
当点P在CD上，如图3，
EB=EP=6，
综上所述，PE的长为6或6或．
故答案为6或6或．
【分析】当P点在BA上，BP=BE=6，当P点在AD上，BP=PE，分两种情况讨论即可。
15．在教材第88页，我们遇到过如图的五角星，得出了这个结论．英才班的同学对这个题目产生兴趣，画出了正六边形、正八边形，并延长每条边使其相交，形成如图的“六角星”、“八角星”图，并计算出六角星6个角的和以及八角星8个角的和，请根据以上信息推导延长正n边形每条边相交形成的“n角星”图的n个角的和是　 　．
【答案】
【解析】【解答】解：如图所示，
，
∴，
∴；
正六边形，如图所示，
，
∴，
∴；
正八边形，如图所示，
，
∴，
∴；
；
∴正n边形的n个角的和是．
故答案为：．
【分析】先根据正五多边形的外角和与三角形的内角和定理求出∠A，进而得到五个顶角的和，同理，求出正六边形和正八边形的的顶角和，找出规律，写出“n角星”图的n个角的和即可．
16．由四个正方形相框拼成的照片墙如图所示，已知正方形 ，正方形 ，正方形 的.面积分别为4平方分米，4平方分米， 平方分米，则正方形 的面积为　 　平方分米.
【答案】6
【解析】【解答】解：如图：作AM⊥BI于M，延长MA交DG于N，分别过D、G作MN的垂线垂足分别为R、S，
∴∠RDN=∠SGN，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=AD，∠BAD=90 ，
∴∠MBA+∠MAB=90 ，∠RAD+∠MAB=90 ，
∴∠MBA=∠RAD，
在Rt△MBA和Rt△RAD中，
，
∴Rt△MBA Rt△RAD，
∴AM=DR，
同理可证得，Rt△MIA Rt△SAG，
∴AM=GS，
∴DR=GS，
在Rt△RDN和Rt△SGN中，
，
∴Rt△RDN Rt△SGN，
∴ ；
作DP⊥AG于P，作BQ⊥IA交IA延长线于Q，如图：
∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
在Rt△ABQ和Rt△ADP中，
，AB=AD，
∴Rt△ABQ Rt△ADP(HL)，
∴AQ =AP，
设正方形AGHI的边长为 ，
由题意， ，DA=DG= ， ，AP=PG= ，AQ =AP ，
在Rt△IBQ和Rt△ABQ中，
∵ ， ，
∴ ， ，
∴ ，
解得： ，
∴正方形AGHI的面积为： .
故答案为：6.
【分析】作出如图的辅助线，证得 ，继而推出 ，在Rt△IBQ和Rt△ABQ中，设参数利用勾股定理即可求解.
三、解答题（17、18、19题每题6分，20、21题每题8分，22、23每题9分，共计52分，要求写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17．如图，在四边形 中， ．
（1）试求 的度数．
（2） 试说明 ．
【答案】（1）解：设的度数为3x
则的度数分别为2x，7x，6x
.
（2）证明：
.
【解析】【分析】（1）按照比设出相对应的份数，列方程求即为即可得出答案；
（2）根据（1）中的条件，利用同旁内角互补，两直线平行证明即可得出结论.
18．在平面直角坐标系xOy中，对于点，若点Q的坐标为，则称点Q是点P的“a阶派生点”（其中a为常数，且）．例如：点的“2阶派生点”为点，即点．
（1）若点P的坐标为，则它的“3阶派生点”的坐标为　 　；
（2）若点P的“5阶派生点”的坐标为，求点P的坐标；
（3）若点先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后得到了点．点的“阶派生点”位于坐标轴上，求点的坐标．
【答案】（1）
（2）解：设点P的坐标为（a，b），
由题意得：，解得，
∴ 点P的坐标为（-2，1）.
（3）解：由题意，P1（c-1，2c），
∴P1的“-4阶派生点”P2为（-4（c-1）+2c，c-1-8c），即（-2c+4，-7c-1），
∵P2在坐标轴上，
∴-2c+4=0或-7c-1=0，
∴c=2或c=，
∴P2（0，-15）或（，0）.
【解析】【解答】解：（1）3×（-1）+5=2；-1=3×5=14.
∴点P的坐标为（-1，5），则它的“三阶派生点”的坐标为（2，14）；
故答案为：（2，14）；
【分析】（1）根据“派生点”的定义并结合点的坐标可求解；
（2）根据“派生点”的定义并结合点的坐标可求解；
（3）根据“派生点”的定义并结合点P2的坐标所在的位置可得关于c的方程，解方程即可求解.
19．如图是某学校的平面示意图，已知旗杆的位置是，实验室的位置是．
根据所给条件在图中建立适当的平面直角坐标系；用坐标表示位置：图书馆 ；
已知办公楼的位置是，教学楼的位置是，在图中标出办公楼和教学楼的位置．
【答案】解：如图所示：图书馆的位置；
如图所示：办公楼和教学楼的位置即为所求．
【解析】【分析】（1）根据旗杆和实验室的坐标建立平面直角坐标系，再求出图书馆的坐标即可；
（2）根据办公室和教学楼的坐标直接在数轴上表示出来即可.
20．如图，在 ABCD中，AC，BD相交于点O，E，F分别是OA，OC的中点.
（1）求证：BE=DF.
（2）设当k为何值时，四边形DEBF是矩形 请说明理由.
【答案】（1）证明：连接DE、BF，如图：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，
∵E、F分别是AO、CO的中点，
∴，，
∴EO=FO，
∵BO=OD，EO=FO，
∴四边形BFDE是平行四边形，
∴BE=DF.
（2）解：当k=2时，四边形DEBF是矩形；理由如下：
当BD=EF时，四边形DEBF是矩形，
即OD=OE时，四边形DEBF是矩形，
∵E、F分别是AO、CO的中点，OA=OC，
∴AC=2EF=2BD，
∴当k=2时，四边形DEBF是矩形.
【解析】【分析】（1）根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，OB=OD；结合题意可得EO=FO，根据两对角线互相平分的四边形是平行四边形得四边形BFDE是平行四边形，最后根据平行四边形的对边相等即可证明；
（2）根据矩形的对角线相等可得OD=OE时，四边形DEBF是矩形；结合题意即可求解.
21．如图，在 中，点，分别在和上，．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若平分，且，，求 的周长．
【答案】（1）证明：四边形是平行四边形，
，，
，
，
即，
四边形是平行四边形；
（2）解：四边形是平行四边形，
，，，
，
平分，
，
，
，
，
，
的周长．
【解析】【分析】（1）由平行四边形的性质可得AB∥CD，AB=CD，结合AE=CF可推出BE=DF，根据平行四边形的判定即证；
（2）由平行四边形的性质可得，，，利用角平分线的定义及平行线的性质可推出，可得FC=BC=5，从而求出AB的长，根据平行四边形ABCD的周长=2（AB+BC）即可求解.
22．如图①，在中，，是边上的中线，是的中点，过点作的平行线交的延长线于点，连接．
（1）求证：四边形是菱形．
（2）如图②，连接，若，，求的长．
【答案】（1）证明：为中点，∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直角三角形斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵且四边形是菱形，
∴四边形是正方形，
∴，
由（1）可得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴．
【解析】【分析】（1）先证出四边形是平行四边形，再结合AD=DC，证出四边形是菱形即可；
（2）设，则，利用勾股定理可得，求出x的值，最后利用勾股定理求出AB的长即可.
（1）证明：为中点，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是直角三角形斜边上的中线，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：∵且四边形是菱形，
∴四边形是正方形，
∴，
由（1）可得，
设，则，
在中，由勾股定理得，
∴，
∴或（舍去），
∴，
∴．
23．如图1，将矩形ABCD()绕点A逆时针方向旋转得到矩形AFFG，连接BE.
（1） 若，求的度数；
（2） 如图2，当点E落在边CD上时，连接BG与AE交于点P. 求证：P是BG的中点.
【答案】（1）解：∵矩形ABCD旋转得到矩形AEFG，
∴，，
∴，
∵在矩形ABCD中，，
∴
（2）证明：如图，过点B作，垂足为点H，同（1）得，.
.
，
.
，
.
.
矩形 ABCD (AB > AD) 绕点 A 逆时针方向旋转得到矩形 AEFG，
，
，
，
，
P 是 BG 的中点.
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得到，，根据等边对等角和三角形的内角和定理得到，然后根据角的和差解答；
（2）过点作，垂足为点，得到，即可得到，然后推理得到，即可得到，进而证明结论．
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