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2025-2026学年第二学期4月月考高一数学试题
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1. 已知角 ，则角 为（ ）
A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角
2 已知集合 ，则 （ ）
A B. C. D.
3. 如图，已知 为平行四边形 内一点， ，则 等于（ ）
A. B. C. D.
4. 已知实数 满足 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知幂函数 在 上单调递减，则 （ ）
A. 4 B. C. D.
三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分.
12. 若 ， ，则 ______________．
13. 如图，圆 与 轴的正半轴的交点为 ，点 在圆 上，且点 位于第一象限，点 的坐标为 ，
若 ，则 的值为__________．
14. 已知定义在 上的函数 是偶函数，当 时， ，若关于 的方程
，有且仅有 6个不同实数根，则实数 的取值范围是________.
四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15. （1）计算： ；
（2）已知 ， ，求 的值；
（3）若 ， ， 为锐角， 为钝角，求 的值.
16. 已知函数 ．
（1）求 的定义域；
（2）若 ．
（ⅰ）求 在区间 上的最小值；
（ⅱ）求 在区间 单调递减区间．
17. 为践行“科技强国”战略，某社区计划建设一座融合智慧节能技术的八边形休闲广场，其中两个相同的矩形
和 构成的十字形区域总面积为 .中心正方形 区域将安装国产太阳能光伏板（兼具休憩遮
阳功能），造价为 2100元 ；周围四个矩形区域（图中阴影部分）铺设透水地砖，造价为 105元 ；再在四个三
角形区域种植耐旱固碳植物，助力碳中和，造价为 40元 .设总造价为 （单位：元）， （单位：m）.
（1）设 长为 （单位：m），用 表示 ，并求出 的取值范围；
（2） 取何值时可使总造价最低，并求出最低造价.
18. 已知函数 的部分图象如图．
（1）求函数 的解析式；
（2）若将函数 的图象先向右平移 个单位长度，再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），
得到函数 的图象，求函数 的单调递增区间；
（3）函数 在区间 上有且仅有两个零点，求实数 的取值范围．
19. 意大利著名天文学家伽利略曾错误的猜测链条在自然下垂时的形状是抛物线．直到 1690年雅各布 伯努利正式提出
该问题为“悬链线”，并向数学界征求答案．1961年他的弟弟约翰 伯努利和莱布尼茨、惠更斯三人各自得到了正确答
案．至今这类函数在物理及生活中有广泛的应用，人们称这类函数为双曲函数，是一类与三角函数类似的函数，最基
本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数．记双曲正弦函数为 ，双曲余弦函数为 ，已知这两个最基本
的双曲函数为 ，
（1）对任意实数 ， 是否为定值，若是定值，请求出定值；
（2）证明：两角和的双曲余弦公式 ；
（3）证明： 有唯一 正零点 ，并比较 和 的大小．
BCAAD CBB 9ACD 10ABD 11BCD
120
或 13 ##0.6 14
15 （1）原式 ；
（2）因为 ，
所以 .
（3）若 ， ，又 ，所以 ，则 ，
又 ，则 ，所以 ，
又 ，所以 ，
所以
，
又 ，所以 .
16 【小问 1 详解】
由题意得 ，则 ，
则 的定义域为 .
【小问 2 详解】
（ⅰ）
，
因为 ，即 ，解得 ，
则 ，
因为 ，则 ，则 .
（ⅱ）令 ，解得 ，
令 ，则 ，又因为 ，
则 在区间 的单调递减区间为 .
17 【小问 1 详解】
因为十字形区域总面积为 ，所以 ，解得 .
因为 ， ，所以 ，解得 .
所以 ， .
【小问 2 详解】
中心正方形 面积为 ，造价为 ；
四个矩形的总面积为 ，
造价为 ；
四个三角形的总面积为 ，
造价为 ；
总造价为
，
又 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，当 时取等号.
故当 的长为 时，总造价最低，为 59000元.
18【小问 1 详解】
设函数 的最小正周期为 ，
由函数 的图像，可得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以函数 ，
又因为 ，所以 ，解得 ，
因为 ，所以令 ，可得 ，
所以函数 的解析式为 ．
【小问 2 详解】
解：函数 的图象先向右平移 个单位长度，
得到 的图象，
再将图象上所有点的横坐标缩短为原来的 （纵坐标不变），
得到函数 的图象，所以 ，
令 ，解得 ，
所以函数 的单调递增区间 ．
【小问 3 详解】
令 ，则 ，
因为函数 在区间 上有且仅有两个零点，
所以方程 在 有且仅有两个实根，
令 ，得 或 ，
所以方程 的较小的三个正根从小到大排列分别是 ，
所以 ，解得 ，
所以实数 的取值范围为 ．
19【小问 1 详解】
∵ ， ，
∴ ，
∴对任意实数 ， 为定值，定值为 .
【小问 2 详解】
，
，得证.
【小问 3 详解】
依题意可得 ，
因为 在 上均单调递增，
易知 在 上单调递增，
且 ，即 ，
由零点存在定理可得 在 上存在唯一实数 ，使得 ，
可得 有唯一的正零点 ，且 ， ，
可得 ，两边同时取对数可得 ，
所以 ，
因为 在 上单调递增，
所以 ，
因此 ，
可得 ．

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