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2025——2026 学年度高一第二学期中考数学预测卷（一）
一、单选题（共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的）
1．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．设 ， ， ，则（ ）
A． B． C． D．
4.已知 a，b 表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，下列说法错误的是( )
A．若 a⊥α，b⊥β，α∥β，则 a∥b B．若 a⊥α，b⊥β，a⊥b，则α⊥β
C．若α∩β＝a，a∥b，则 b∥α或 b∥β D．若 a⊥α，a⊥b，α∥β，则 b∥β
5．函数 在 上的图像大致为（ ）
A． B． C． D．
6．点 是 所在平面内的一点，当 且 时， 的形状
为（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形
7．已知 为第一象限角 ，则 （ ）
A． B． C． D．
8．已知 A，B，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点 P 满足→＝13[(1－λ)→＋(1－λ)→＋(1＋2λ)·
→]，λ∈R，则点 P 的轨迹一定经过( )
A.△ABC 的内心 B.△ABC 的垂心 C.△ABC 的重心 D.AB 边的三等分点
二、多选题(共 3 小题，每小题 5 分，满分 15 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分．)
9．下列说法正确的有（ ）
A．已知 ， ，若 与 共线，则
B．若 ， ，则 C．若 ，则 一定不与 共线
D．若 ， ， 为锐角，则实数 的范围是
10．已知 ，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
11.已知ω>0，函数 f(x)＝sin ωxcos ωx＋3cos2ωx－3)2 的最小正周期为π，则下列结论不正确的是( ) A．函数 f(x)的图象关于直线 x＝π3 对称 B．函数 f(x)在区间\f(π7π12)上单调递增
C．将函数 f(x)的图象向右平移π6 个单位长度可得函数 g(x)＝cos 2x 的图象 D．当 x∈0，\f(π2))时，函数 f(x)的最大值为 1，最小值为－3)2
三．填空题：
12．已知 在复平面内对应的点在第三象限，则实数 m 的取值范围是_________．
13.已知在△ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 a2＝b2＋c2－bc，a＝3，则△ABC 的周长
的最大值为________.
14．已知 ， （ 且 ），若对任意的 ，都存在 ，使
得 成立，则实数 a 的取值范围是_____________．
四、解答题：
15.（13 分）如图，在四边形 ABCD 中，∠B＝60°，AB＝3，BC＝6，且→＝λ→，
→·→＝－32
（1）求实数λ的值；
（2）若 M，N 是线段 BC 上的动点，且|→|＝1，求→·→的最小值。
16.（15 分）如图，在凸四边形 中， 、 为定点， ， ， 为动点，满
足 .
（1）若 ，求 的值；
（2）设 和 的面积分别为 和 ，求 的最大值.
17（15 分）在 中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c， .
(1)求角 A 的大小；
(2)若 为 边上的中线，且 ，求 b+2c 的最大值.
18（17 分）设函数 ．
(1)当 时，根据定义证明函数 在区间 上单调递减；
(2)设 ，若 在 上存在两个零点，求实数 a 的取值范围．
19（17 分）已知二次函数 满足：对任意实数 x，都有 ， 且
当 时，有 成立.
(1)证明： ；
(2)设 ， ，若 图象上的点都位于直线 的上方，
求实数 m 的取值范围.
1.C 2. A 3.B 4D 5.B 6.A 7.D 8.C 9.AD 10.ACD 11.ABC
7.【详解】因为 为第一象限角， ，则 ， ，
，即 ，解得 ， ，所以
.
8 解：取 AB 的中点 D，则 2→＝→＋→，∵→＝13[(1－λ)→＋(1－λ)→＋(1＋2λ)→]，
∴→＝13[2(1－λ)→＋(1＋2λ)→]＝2（1－λ）3→＋1＋2λ3→，
而 2（1－λ）3＋1＋2λ3＝1，∴P，C，D 三点共线∴点 P 的轨迹一定经过△ABC 的重心.
9. D 选项：若 为锐角，则 ，解得 ，D 选项正确；
12． 13．9
14． 【详解】当 时， ，则 ，因为对任意的 ，
都存在 ，使得 成立，因此函数 在 上的最大值小于函数 在 上的
最大值，而当 时， ， ，不符合题意，于是 ，函数 在 上单
调递增，则 ，即 ，解得 ，所以实数 a 的取值范围是 . 【 】结论：一般地，已知函数 ，
（1）若 ， ，总有 成立，故 ；
（2）若 ， ，有 成立，故 ；
（3）若 ， ，有 成立，故 .
15.解（1）因为→＝λ→，所以 AD∥BC，则∠BAD＝120°
所以→·→＝|→|·|→|·cos 120°＝－32，解得|→|＝1. 3 分
因为→，→同向，且 BC＝6，所以→＝16→，即λ＝16. 5 分
（2）四边形 ABCD 中，作 AO⊥BC 于点 O，则 BO＝AB·cos 60°＝32，AO＝AB·sin 60°＝3)2.
以 O 为坐标原点，以 BC 和 AO 所在直线分别为 x，y 轴建立平面直角坐标系.
如图，设 M(a，0)，不妨设点 N 在点 M 右侧，
则 N(a＋1，0)，且－32≤a≤72.又 D\a\vs4\al\co1(1，\f(3\r(3)2))，所以→＝
\a\vs4\al\co1(a－1，－\f(3\r(3)2))，
→ → →
＝ \a\vs4\al\co1(a， － \f(3\r(3)2))， 所 以 · ＝ a2－ a＋ 274＝ \
a\vs4\al\co1(a－\f(12))2＋132.
所以当 a＝12 时，→·→取得最小值 132. 10 分
16【解】（1）如图所示：连接 ， ∵ ， ，
∴在 中，利用余弦定理得： 2 分
在 中， ，∴ ，则 ； 4 分
. 6 分
（2）由 ， 8 分
∵ ，∴
.则当 时， 有最大值 . 15 分
17.（1）解：由正弦定理得 ，又 ， 2 分
所以 ，所以 ，即 . 4 分
因为 ， ，所以 ，即 . 7 分
（2）由余弦定理得 ，即 ， 9 分
所以 ，即 . 所以 ， 14 分
所以 ，当且仅当 时，等号成立. 所以 的最大值为 8 17 分
18 解：（1）任取 且 ，
则
∵ ∴ ∴ ，
即 ∴ 在区间 上单调递减． 6 分
（2）令 ，
原命题等价于方程 在 上有 2 个相异实根；显然 8 分
当 时，得
11 分
当 时，得
14 分
综上所述： 15 分
19 解：（1）由 知： 恒成立． 2 分
又因 x＝2 时， 恒成立，∴ 4 分
（2） 由（1）知 ，而 ，联立解得： ，
即 ，则 ， 7 分
若二次函数 值永远不小于 0，则
即 ，解得 ， ，则 ， 9 分
因为 ，函数 图象上的点位于直线 的上方，则 ， 恒成立，所
以 ，所以 ，即 ， 11 分
当 时， 成立，此时 ，因此 ， ，所以 ，当
时， ，当且仅当 ，即 时取“=”， 15 分
从而有 ，综合得： ，所以实数 m 的取值范围是 . 17 分

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