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题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 C B C B B B B B BD BD BD
1.答案：C
解析：因为 ，所以 .故选 C.
2.答案：B
解析：由题可得， ，解得 ，则 ，所以 .
故选 B.
3.答案：C
解析：这组数据共有 10 个数， ，故 ，所以 .故选 C.
4.答案：B
解析：依题意，得 .由余弦定理 ，得 ，
整理得 ，解得 或 .故选 B.
5.答案：B
解析：法—：易知 ，抛物线 C 的准线为直线 .设 ，由抛物线的定义可知
，所以 ，又 为 C 上的点，所以 ，因此
，故选 B.
法二：易知 ，设 ，则 ，得 ，所以
，故选 B.
6.答案：B
解析：因为关于 x 的不等式 的解集是 ，所以 的两个
根是 ，2，由根与系数的关系可得 ， ，所以 可转化为
，解得 或 ，所以原不等式的解集为 .故选 B.
7.答案：B
解析：设 的公差为 d.因为 ，所以 ， ，则 ，
， .因为 ，所以 ，解得 .故选 B.
8.答案：B
解析： ，所以 ，所以
，故 ，故选 B.
9.答案：BD
解析：设等比数列 的公比为 q，则 .因为 ， ，所以
，解得 或
当 ， 时， ，数列 是递减数列.
当 ， 时， ，数列 是递增数列.综上， .故选 BD.
10.答案：BD
解析：A（×）由题知 的定义域关于原点对称，又
，所以 不是偶函数.
B（√） ，设 ，则 ，当
时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，所以
为 （即 ）的极大值点.
C（×）由 B 可知当 时， ，从而当 时， ，
单调递减，故 不是函数 的极值点.
D（√）由 C 可知 在 上单调递减，因为 ， ，所以
的零点个数为 1.故选 BD.
11.答案：BD
解析：如图所示，因为圆的方程为 ，不妨取双曲线的一条渐近线的方程为 ，
联立 解得 或 不妨设 ，则 ，又因为 ，
，所以 ， ， ， ，所以
，
又因为 ，所以 ，从而得 ，即 ，所以
.
对于 A，设离心率为 e，由题意可得 ，又因为 ，解得 ，故 A 错误；
对于 B，连接 ，由对称性可得四边形 为平行四边形，又因为 ，所以
，故 B 正确；
对于 C，因为 ， ，且 ，所以 ，
所以 .同理，若 ，则 ，可得 ，故 C 错误；
对于 D，当 时， ， ，所以 ，所以
，
所以四边形 的面积 ，故 D 正确.故选 BD.
12.答案：
解析： ， ，故 ，所以 .
13.答案：
解析： ，则 .若函数 有两个极值点，
则 有两根，只需满足 有两个解，令 ，则 .当
时， ，则 在 上单调递减；当 时， ，则 在
上单调递增，所以 ，故只需 ，即 k 的取值范围是 .
14.答案：
解析：设正六边形 ABCDEF 的中心为 M，则点 M 与正六边形 ABCDEF 的任意一条边均构成等
边三角形，因此点 M 到各边的距离均为等边三角形的高，即为 .不妨设该正六棱
柱的高为 h，则 .易得该正六棱柱的外接球半径为 .当
时， ， ；当 ， ，
，所以 时， 取得最小值 .又底面上一个等边三角
数学·参考答案第 4页（共 11页）
形的面积为 ，所以正六棱柱底面的面积为 ，此时该正六棱柱的体积为
.
15.答案：（1）
（2）
解析：（1）因为 的最小正周期为 ，
所以 ，所以 ，故 ，……………………………………………………2 分
则 ，………………4 分
令 ，则 ，
即函数 的单调递增区间为 .……………6 分
（2）当 时， ，所以 ，
因为 A 为锐角，所以 ，则 ，
所以 ，解得 .……………………………………………………………………9 分
因为 ，所以 ，………………………………………………10 分
由余弦定理 ，得 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
故 a 的最小值为 .……………………………………………………………………………13 分
16.答案：（1）
（2）
解析：（1）由题意得， ，得 ，…………………………………………2 分
又 ， ，故 ，解得 ， ，
则 C 的标准方程为 .…………………………………………………………………5 分
（2）依题意，过点 的直线 l 斜率不为 0，
设直线 ，联立 得 ，…………………………7 分
设 ， ，则 ， ，………………………………9 分
与椭圆的另一交点为 G， ，G 关于原点对称，即 O 为 中点，连接 ，
， ，…………………………………………………………12 分
，
化简得 ，即 ，解得 ，故 ，
∴直线 l 的方程为 ，即 .…………………………………………………15 分
17.答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图，设 E 为 的中点，连接 ， ，
因为 D 为 的中点，所以 ， ，
则 ， ，所以四边形 为平行四边形，…………………………………3 分
所以 .
又 平面 ， 平面 ，所以 平面 .…………………………………5 分
（2）由 平面 ， 平面 ，得 ，根据题意以 B 为坐标原点，
， 所在直线分别为 x，y 轴，过点 B 且与平面 垂直的直线为 z 轴建立如图所示的空
间直角坐标系，
则 ， ， ， ，………………………………………7 分
则 ， ，
易知 ，故 ，则 .……………………9 分
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设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
取 ，则 .……………………………………………………………………11 分
因为 平面 ，所以平面 的一个法向量为 .
设二面角 的大小为 ，
则 ，………………………13 分
则 ，
故二面角 的正弦值为 .……………………………………………………15 分
18.答案：（1）极小值为 0，无极大值
（2）见解析
（3）证明见解析
解析：（1） 的定义域为 ，当 时， ，
若 ，则 ；…………………………………………………………………………2 分
若 ，则 ，则 在 上单调递减，在 上单调递增.
故 ，没有极大值.……………………………………………………………4 分
（2） .
①当 时，若 ，则 ；
若 ，则 ，故 在 上单调递减，在 上单调递增.………………6 分
②当 ，即 时，若 ，则 或 ；
若 ，则 ，故 在 上单调递减，在 ， 上单调递增.
③当 ，即 时， 恒成立，故 在 上单调递增.………………8 分
数学·参考答案第 8页（共 11页）
④当 ，即 时，若 ，则 或 ；
若 ，则 ，故 在 上单调递减，在 和 上单调递增.
综上所述：当 时， 在 上单调递减，在 和 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 ， 上单调递增；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增.………………………………11 分
（3）由（1）知 在 上为减函数，
则当 时， ，故 .……………………………………13 分
令 ，得 ，则 ，
即 ，故 ， ， ，…， ，………15 分
将以上各式左右两边相加得 ，
即 .…………………………………………………………17 分
19.答案：（1）（i）分布列见解析，
（ii）
（2）证明见解析
解析：（1）（i）由题意知 X 的所有可能取值为 1，2，3，
， ， ，
……………………………………………………………………………………………………4 分
所以 X 的分布列为
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X 1 2 3
P
则 X 的数学期望 .…………………………………………6 分
（ii）设事件 B 表示该人闯关成功，F 表示该人第一轮闯关失败， （ ，2，3）表示该人
第 i 轮闯关成功，
则 ， ， ，
，
，…………………………………………………………9 分
由条件概率的计算公式可得 ，
故在该人闯关成功的条件下，该人第 1 轮闯关失败的概率为 .……………………………11 分
（2）法一：由题意知
，
令 ，………………………………………12 分
则 ，
所以 .
……………………………………………………………………………………………………15 分
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .…………………………………………………………………………………17 分
数学·参考答案第 10页（共 11页）
法二：由题意知
，……………………………………………………………………12 分
则
，……………………………………………………………………15 分
所以 .
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 .…………………………………………………………………………………17 分
数学·参考答案第 11页（共 11页）

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