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射洪中学高2024级高二下期第一次学月考试
数学试题
命题人：文一鸣 郭 益 审题人：文质彬
(考试时间：120分钟分值：150分)
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第一部分 (选择题 共 58分)
一、单项选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1. A 34-A 33的值是 ( )
A. 3 B. 6 C. 15 D. 18
2.下列求导运算错误的是 ( )
A. ( 2 ) = 1 B. (x3) = 3x2
2 2
C. (ex) = ex D. (cosx) =-sinx
3.某校开设A类选修课 3门，B类选修课 4门，若要求从两类课程中选一门，则不同的选
法共有 ( )
A. 3种 B. 4种 C. 7种 D. 12种
4.已知 f x 是函数 f x 的导函数，若 f x = x2- x，则 f 2 = ( )
A. - 4 B. - 3 C. 3 D. 4
高二数学试题 第1页 共4页
5.书架上层放有 6本不同的数学书，下层放有 5本不同的语文书．从书架上任取数学书
和语文书各 1本，不同的选取方法有 ( )
A. 6种 B. 30种 C. 5种 D. 11种
6.如图，用 5种不同的颜色把图中A、B、C、D四块区域分开，若相邻区域不能涂同一种
颜色，则不同的涂法共有 ( )
A. 200种 B. 160种 B
A D
C. 240种 D. 180种 C
7.设 f(x) , g(x)是R上的可导函数，f (x) , g (x)分别为 f(x) , g(x)的导函数，且 f (x)
g(x) + f(x)g (x)< 0，则当 a< x< b时，有 ( )
A. f(x)g(b)> f(b)g(x) B. f(x)g(x)> f(b)g(b)
C. f(x)g(a)> f(a)g(x) D. f(x)g(x)> f(a)g(a)
8.若关于 x的不等式 x2- 2lnx+m≥ 0恒成立，则实数m的取值范围为 ( )
A. [-1，+∞) B. [e，+∞)
C. (-∞，-1] D. (-∞，e]
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，至少
两项是符合题目要求的，选不全对得2分，选错得0分。
9.如图是 y= f x 的导数 y= f x 的图象，则下面判断错误的是 ( )
A. 在 -3,1 内 f x 是增函数
B. 在 3,4 内 f x 是减函数
C. 当 x= 4时 f x 取得极小值
D. 在 x= 1时 f x 取得极大值
高二数学试题 第2页 共4页
10.有 4名同学报名参加三个不同的社团，则下列说法中正确的是 ( )．
A. 每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有 34种
B. 每名同学限报其中一个社团，则不同的报名方法共有 43种
C. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有 24种
D. 每个社团限报一个人，则不同的报名方法共有 33种
11. 已知 f x 是定义在 -∞,0 ∪ 0,+∞ 的偶函数，且当 x> 0时，f x = x-1 lnx，
则 ( )
A. f 1 = 0
B. 当 x< 0时，f x = x+1 ln -x
C. x=-1是 f x 的极小值点
D. 任意实数 k，使得直线 y= kx与 y= f x 的图象有 2个公共点
第二部分 (非选择题 共 92分)
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知函数 y = f x 的定义域为 R，且 y = f x 为 y = f x 的导函数 ，若
f 3+Δx - f 3
lim = 1，则 f 3
3Δx
= ．
Δx→0
13.现有 5名同学排成一排，其中甲不站最左边，则有 种站法 (用数字作答).
14.若 x=-2是函数 f(x) = (x2+ ax- 1)ex-1的极值点，则 f(x)的极小值为 .
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 本题满分13分
已知函数 f(x) = lnx- ax+ b在 x= 2处取得极值为 ln2.
1 求 a，b的值；
2 求在点 1，f 1 处切线方程.
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16. 本题满分15分
1
已知函数 f x = 3 23 x + x - 8x+
4
3 ．
(1)求 f x 的单调区间；
(2)若 x∈ -2,4 ，求 f x 的最大值与最小值．
17. 本题满分15分
口袋中装有 8个白球和 10个红球，每个球编有不同的号码，现从中取出 2个球
(1)正好是白球、红球各一个的取法有多少种？
(2)至少有一个白球的取法有多少种？
(3)两球的颜色相同的取法有多少种？
注：结果均用数字作答．
18. 本题满分17分
已知函数 f x = 12 x
2- alnx，a∈R.
1 当 a= 1时，求函数 f x 的极值；
2 讨论函数 y= f x 的单调性；
3 若函数 y= f x 有两个零点，求 a的取值范围.
19. 本题满分17分
已知函数 f x = lnx+ ax2- 2a+1 x，其中 a为常数.
(1)当 a= 1时，求函数 g x = f x - ax2的单调区间；
(2)若对任意的 x∈ 1,+∞ ，都有 f x ≤ 0恒成立，求实数 a的取值范围；
(3) 0< a< 1设 2 ，求证：当 0< x< 1
1
时，f x <- 22 x-1 .
高二数学试题 第4页 共4页射洪中学高 2024级高二下期第一次月考
数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 D A C C B D B A AD AC ACD
1.【详解】A34-A33= 4× 3× 2- 3× 2× 1= 18，故选：D.
2.【详解】对于A，因为 ( 2 ) = 0，故A错误；对于B，因为 (x3) = 3x2，故B正确；
对于C，因为 (ex) = ex，故C正确；对于D，因为 (cosx) =-sinx，故D正确.故选：A.
3.【详解】选择课程的方法有 2类：从A类课程中选一门有 3种不同的方法，
从B类课程中选 1门有 4种不同的方法，∴共有不同选法 3+ 4= 7(种)．故选：C.
4.【详解】由 f x = x2- x，得 f x = 2x- 1，∴ f 2 = 2× 2- 1，得 f (2) = 3，故选：C．
5.【详解】分步完成：第一步取出数学书，共 6种方法，第二步取出语文书，共 5种方法，
所以不同的选取方法为 6× 5= 30种，故选：B
6.【详解】要完成给A、B、C、D四块区域涂色，故分步完成：
第一步给A涂色，5种方法，第二步给B涂色，4种方法，
第三步给C涂色，3种方法，第四步给D涂色，3种方法，
由分步乘法原理可得不同的涂色方法共有 5× 4× 3× 3= 180种，故选：D
7.【详解】∵ [ f(x)g(x)] = f (x)g(x) + f(x)g (x)< 0，∴函数 y= f(x)g(x)是R上的减函数．
∴当 a< x< b时，f(a)g(a)> f(x)g(x)> f(b)g(b)，故选：B.
2(x2-1)
8.令 f(x) = x2- 2ln x+m，x> 0 2，则 f '(x) = 2x- x = x ，
令 f '(x)> 0，得 x> 1；令 f '(x)< 0，得 0< x< 1，
则 f(x)在 (0，1)上单调递减，在 (1，+∞)上单调递增，则 f(x)min= f(1) = 1+m，
又不等式 x2- 2ln x+m≥ 0恒成立，则 1+m≥ 0，得m≥-1，
则实数m的取值范围为 [-1，+∞).故选：A
9.【详解】解：对A，由 y= f x 的图象，
可知 x∈ -3,- 32 时，f
x < 0，x∈ - 32 ,1 时，f
x > 0，
所以 f x -3,- 3 3 在 2 上单调递减，在 - 2 ,1 上单调递增，故选项A错误；
对B，由 y= f x 的图象，可知 x∈ 3,4 时，f x < 0，所以 f x 在 3,4 上单调递减，
故选项B正确；
对C，由 y= f x 的图象，可知 x∈ 2,4 时，f x < 0，x∈ 4,5 时，f x > 0，
所以 f x 在 2,4 上单调递减，在 4,5 上单调递增，
高二数学参考答案 第1页 共4页
所以在 x= 4时 f x 取得极小值，故选项C正确.
对D 3，由 y= f x 的图象，可知 x∈ - 2 ,2 时，f
x > 0，
所以 f x - 3 在 2 ,2 上单调递增，因为 x= 1左右两边的单调性相同，所以 f x 取不到极大值，
故选项D错误；故选：AD.
10.【详解】对于AB选项，第 1个同学有 3种报法，第 2个同学有 3种报法，
后面的 2个同学也有 3种报法，根据分步计数原理共有 34种结果，A正确，B错误；
对于CD选项，每个社团限报一个人，则第 1个社团有 4种选择，
第 2个社团有 3种选择，第 3个社团有 2种选择，
根据分步计数原理共有 4× 3× 2= 24种结果，C正确，D错误．故选：AC.
11.【详解】由题设 f 1 = 1-1 ln1= 0，A对，
若 x< 0，则-x> 0，故 f -x = -x-1 ln(-x) =- (x+ 1)ln(-x)，
由 f x 为偶函数，则 f(x) = f -x =- (x+ 1)ln(-x)，B错，
由上 x< 0时，f(x) =- (x+ 1)ln(-x)，则 f (x) =-ln(-x) - 1x - 1，
令 g(x) = f (x) g (x) = 1 - 1 1-xx = > 0，即 g(x) = f
(x)在 (-∞ , 0)上单调递增，
x2 x2
又 f (-1) =-ln1+ 1- 1= 0，故在 (-∞ ,-1)上 f (x)< 0，在 (-1 , 0)上 f (x)> 0，
所以 f(x)在 (-∞ ,-1)上单调递减，在 (-1 , 0)上单调递增，故 x=-1是 f x 的极小值点，C对，
由C分析，x→-∞或 x→ 0-时 f x →+∞，且 f(-1) = 0，
所以 (-∞ ,-1)、(-1 , 0)上 f(x) ∈ (0 ,+∞)，
又 f x 为偶函数，则 (0 , 1)、(1 ,+∞)上 f(x) ∈ (0 ,+∞)，
所以直线 y= kx与 y= f x 的图象恒有 2个交点，D对.
故选：ACD
f(3+h)- f(3)
12.【详解】由导数的定义，可得函数 f(x)在 x= 3处的导数满足：f (3) = lim ，
h→0 h
f 3+h - f 3 1 f 3+h - f 3
则 lim = 3 lim =
1 f 3 (3) = 1，解得 f
(3) = 3.
h→0 3h h→0 h
13.【详解】先安排最左边的位置，有 4种方法，然后剩余的 4人在四个位置上排列，有A44= 24种，
故共有 4× 24= 96种.故答案为 96.
14.【详解】f′ (x) = [x2+ (a+ 2)x+ a- 1]·ex-1，
则 f′ (-2) = [4- 2(a+ 2) + a- 1]·e-3= 0 a=-1，
则 f(x) = (x2- x- 1)·ex-1，f′ (x) = (x2+ x- 2)·ex-1，令 f′ (x) = 0，得 x=-2或 x= 1，
当 x<-2或 x> 1时，f′ (x)> 0，当-2< x< 1时，f′ (x)< 0，则 f(x)极小值为 f(1) =-1．
故答案为-1.
高二数学参考答案 第2页 共4页
15.【详解】 1
1
由已知可得：f′ (x) = x - a，
1
所以 f′ (2) = 2 - a= 0，f(2) = ln2- 2a+ b= ln2,
1
解得：a= 2 ，b= 1；
2 k= f′ (1) = 1- 12 =
1
2 ，f(x) = ln1-
1
2 + 1=
1
2 ，
1 1
故切线方程为：y- 2 = 2 x-1 ，整理得：x- 2y= 0.
16.【详解】(1)因为 f x = x2+ 2x- 8= x+4 x-2 ．
令 f x = 0，得 x=-4或 x= 2，
当 x变化时，f x , f x 的变化情况如表所示．
x -∞,-4 -4 -4,2 2 2,+∞
f x + 0 - 0 +
f x 单调递增 28 单调递减 -8 单调递增
所以 f x 的单调递增区间为 -∞,-4 和 2,+∞ ，单调递减区间为 -4,2 ．
(2)由 (1)知当 x= 2时，f x 取得极小值-8．
因为 f -2 = 1 3 × -2
3 4 56 + -2 2 - 8× -2 + 3 = 3 ,
f 4 = 1 × 43+ 42- 8× 4+ 4 3 3 =
20
3 .
所以 f 56 x max= f -2 = 3 , f x min= f 2 =-8．
17.【详解】(1)取出 1个白球，有 8种取法；取出 1个红球，有 10种取法，
所以取出两个球正好是白球、红球各一个的取法有 8× 10= 80种．
(2)至少有一个白球分为白球、红球各一个和两个全是白球，
8×7
取出的两个球全是白球的取法有 2 = 28种，
所以至少有一个白球共有 80+ 28= 108种取法．
(3)两球的颜色相同分为两球全是白球和两球全是红球，
10×9
取出的两个球全是红球的取法有 2 = 45种，
所以两球的颜色相同的取法有 45+ 28= 73种．
18.【详解】(1)由函数 f x = 12 x
2- lnx 1，所以函数的定义域为 0,+∞ ，f x = x- x ，
令 f x = x- 1x > 0得 x> 1，
故 f x 在 1，+∞ 0，1 上单调递增，在 0，1 上单调递减，
故当 x= 1时 f x 取极小值 f 1 =-1，无极大值；
2
2 f x
a x -a
= x- x = x ，
当 a≤ 0时，f x > 0恒成立，故 f x 在 0,+∞ 单调递增；
当 a> 0时，令 f x > 0解得 x> a，
高二数学参考答案 第3页 共4页
故 f x 在 0， a 单调递减，在 a，+∞ 单调递增；
综上所述：当 a≤ 0时，f x 在 0,+∞ 单调递增；
当 a> 0时，f x 在 0， a 单调递减，在 a，+∞ 单调递增；
1 1 lnx
3 由题意可得： x22 = alnx有两个不等根，等价于 2a = 有两个不等根，x2
令 g x =
lnx
，则 g x = 1-2lnx ，
x2

x3
y
1
令 g x
1-2lnx
= > 0得 0< x< e 2，
x3 O x
1 1
故 g x 在 0，e 2 单调递增，在 e 2，+∞ 单调递减,
当 x→ 0时，g x →-∞，当 x→+∞时，g x → 0，如图所示，
= 1 = lnx
1
故 y 2a 与 y
1 1
要有两个不同交点，则 0< 2
x2 2a
< g e = 2e ，
解得 a> e.故 a的取值范围为 e，+∞ .
19.【详解】(1)当 a= 1时，则 f x = lnx+ x2- 3x的定义域为 0,+∞ ，
1 2x-1 x-1= 且 f x x + 2x- 3= x ，
令 f 1 1 x > 0，解得 0< x< 2 或 x> 1；令 f
x < 0，解得 2 < x< 1；
所以函数 f x
1 1
的单调递增区间为 0, 2 ， 1,+∞ ，单调递减区间为 2 ,1 .
(2)因为 f x = lnx+ ax2- 2a+1 x，
若 a> 0，当 x趋近于+∞时，f x 趋近于+∞，不合题意，所以 a≤ 0，
1 2ax-1 x-1因为 f x = x + 2ax- 2a+

1 = x ，
且 x∈ 1,+∞ ，则 x- 1> 0，2ax- 1≤ 0，则 f x ≤ 0，
可知 f x 在 1,+∞ 内单调递减，则 f x < f 1 =-a- 1，
可得-a- 1≤ 0，解得-1≤ a≤ 0，所以实数 a的取值范围为 -1,0 .
(3)令 g x = f x + 1 x-1 2= a+ 1 x22 2 - 2a+2 x+ lnx+
1
2 ，
则 g
x-1 2a+1 x-1
x = 2a+1 x- + + 1 =

2a 2 x x ，
因为 0< x< 1 0< a< 1， 2 ，则 x- 1< 0
1 1
，2 < 2a+1 < 1，
令 g x > 0，解得 0< x< 12a+1 ；令 g
x < 0 1 ，解得 2a+1 < x< 1；
g x 0, 1可知 在 2a+1
1
内单调递增，在 2a+1 ,1 内单调递减，
g x ≤ g 1 = 1 - 2a+2 + ln 1 + 1 =- 1 1 1则 2a+1 2a+1 2a+1 2 + ln 2a+1 - 2 ，2 2a+1 2 2a+1
1 1 1 1
因为 2 < 2a+1 < 1，则 ln 2a+1 < 0，可得 g 2a+1 =-
1 + ln 1 12a+1 - 2 < 0，2 2a+1
即 g x < 0，所以当 0< x< 1 1时，f x <- 2 x-1
2 .
高二数学参考答案 第4页 共4页

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