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2027届高二年级四月学情检测
数学
（时间：120分钟 满分 150分）
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
1. 设 ， ，若 ，则 k的值是（ ）
A. B. C. 3 D.
2. 已知一个圆锥的底面半径为 3，其侧面积是底面积的 2倍，则圆锥的体积为（ ）
A. B. C. D.
3. 设 ，且 ，若 能被 13整除，则 （ ）
A. 0 B. 1 C. 11 D. 12
4. 在平行六面体 中，已知 ， ， ， ，
，则 的值为（ ）
A. 10.5 B. 12.5
C. 22.5 D. 42.5
5. 已知函数 的图象在点 处的切线方程为 ，且函数
在 上的最大值为 M，最小值为 m，则 的值为（ ）
A. B. C. D. 0
6. 安排 5名大学生到三家企业实习，每名大学生只去一家企业，每家企业至少安排 1名大学生，则大学生
甲、乙到同一家企业实习的安排方法数为（ ）
A. 150 B. 90 C. 60 D. 36
7. 如图，等边三角形 的边长为 3， 分别交 AB，AC于 D，E两点，且 ，将 沿
DE折起（点 A与 P重合），使得平面 平面 BCED，则折叠后的异面直线 PB，CE所成角的正弦值为
（ ）
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A. B. C. D.
8. 已知随机变量 X的概率分布表如下：
0 1
其中 ， ， 都是正数，若随机变量 X的数学期望 ，方差 ，则（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得 6分，部分选对得部分分，
不选或有错选的得 0分.
9. 抛掷一枚质地均匀的骰子两次，记事件 A为“两次的点数均为奇数”，B为“两次的点数之和小于 7”，
则（ ）
A. B. C. D.
10. 已知 ，则（ ）
A.
B.
C.
D.
11. 如图，正方体 的棱长为 2，E是 的中点，则（ ）
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A. 三棱锥 的体积为
B. 平面
C. 三棱锥 的外接球的表面积为
D. 由 三点确定的平面与正方体相交形成的截面周长为
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
12. 长方体 中， ， ，则点 B到平面 的距离为________．
13. 已知定义在R上的函数 满足 ，且 ，则不等式 的解集为______
．
14. 如图为一个正八面体，用事件 表示“从正八面体的所有顶点中任取 4个点，这 4个点恰好共面”，若事
件 满足， ， ，则 ______.
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文
字说明，证明过程或演算步骤.
15. 已知 展开式中某项的系数恰为它的前一项系数的 2倍，而等于它后一项系数的 ，求：
（1） 的值；
（2）展开式中二项式系数最大的项；
（3）展开式中的有理项．
16. 四棱锥 ， ， ， ， ， 底面 ，
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与底面 成 角， 为 的中点．
（1）证明： ；
（2）求二面角 的正弦值．
17. 设函数 （ 为常数）．
（1）若 在 上是增函数，求 a的取值范围；
（2）是否存在 a，使得当 时， 有最大值 ？若存在，求出 a的值；若不存在，说明理由．
18. 甲、乙两袋装有形状、大小都相同的红球和白球，甲袋装有 2个红球，3个白球；乙袋装有 1个红球，
2个白球．
（1）若从甲袋中连续抽取 2次，每次取 1个球，抽取后不放回，
①求取出的 2个球中至少有一个红球的概率；
②求在第 1次取到白球的条件下，第 2次取到红球的概率；
（2）若从甲袋中随机取 1个球，放入乙袋中，再从乙袋中随机取 2个球，求取到的 2个球中恰有 1个红球
的概率．
19. 如图，在三棱柱 中， 为等边三角形，四边形 为菱形， ，
， ．
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（1）已知 ， 为线段 上的点，且 ，求证： 平面 ；
（2）证明： 平面 ；
（3）若 是线段 上一个动点，求平面 与平面 的夹角余弦值的最大值．
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2027届高二年级四月学情检测
数学
（时间：120分钟 满分 150分）
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上.
【1题答案】
【答案】B
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】D
【4题答案】
【答案】A
【5题答案】
【答案】B
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】D
【8题答案】
【答案】B
二、多项选择题：本大题共 3小题，每小题 6分，共 18分.在每小题给出的四个选项中，有多
项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得 6分，部分选对得部分分，
不选或有错选的得 0分.
【9题答案】
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】AC
【11题答案】
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【答案】ACD
三、填空题：本大题共 3小题，每小题 5分，共 15分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本大题共 5小题，共 77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文
字说明，证明过程或演算步骤.
【15题答案】
【答案】（1）7 （2） ， .
（3） ， ， .
【16题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【17题答案】
【答案】（1）
（2）存在，
【18题答案】
【答案】（1）① ；②
（2）
【19题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
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