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2025-2026学年高三下学期第一次月考数学试题 A．5 B． C．1 D．
5．已知函数 f（x），对任意的 x，y∈R，恒有 f（x+y）+f（x﹣y）＝2f（x） f（y），且 ，
注意事项： 则下列说法正确的是（ ）
1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答 A．f（0）＝0 B．f（x）为奇函数
题卡上填写清楚. C．f（x）为周期函数 D．f（2025）＝1
2.每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 6．如图，圆台的上、下底面半径分别为 r1，r2，半径为 r的球与圆台的上、下底面及母线均相
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试题卷上作答无效. 切，圆台的侧面积为 25π，则 r1+r2＝（ ）
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分 150分，考试用时 120分钟.
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选
项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若复数 z＝1﹣i的共轭复数为 ，则 （ ） A．5 B．5π C．10 D．10π
A．2﹣2i B．2+2i C．﹣1+i D．3﹣i 7．在空间直角坐标系 O﹣xyz中，已知 ，
2．已知集合 A＝{1，2，3}，B＝{x|x2﹣x+m＝0}，若 A∩B＝{2}，则 B＝（ ） 点 Q在直线 OP上运动，则当 取得最小值时，点 Q的坐标为（ ）
A．{2，1} B．{2，4} C．{2，3} D．{2，﹣1}
A． B．
3．已知函数 ，则该函数的单调递增区间是（ ）
C． D．
A． ，k∈Z
8．已知函数 ，若当 x≥0时，f（x）≥0，则 a的最大值为（ ）
B． ，k∈Z
A．1 B．2 C．3 D．4
C． ，k∈Z
D． ，k∈Z 二．多项选择题（本大题共 3个小题，每小题 6分，共 18分.在每个小题给出的四
个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得 6分，部分选对的得部分
4．若抛物线 C的焦点为 F，准线方程为 3x+4y＝5，且 C经过点 O（0，0），则|OF|＝（ ）
分，有选错的得 0分）
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9．如图，棱长为 2的正方体 ABCD﹣A B C D 中， ， ，λ，μ∈（0，1）， 14． 已 知 等 边 △ ABC的 边 长 为 2， △ ABC所 在 平 面 存 在 O， P两 点 ， 满 足1 1 1 1
则下列说法正确的是（ ） ，其中λ1+λ2+λ3＝1且λ1，λ2，λ3≥0．若|OP|＝1，则点 O运动
A．λ＝μ时，C1B1∥平面 D1PQ 所形成的轨迹的区域面积为 ．
B． 时，四面体 APQD1的体积为定值
四．解答题（共 77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
C． 时， λ∈（0，1），使得 A1Q⊥平面 D1PA
15．（13分）已知数列{an}满足 a1＝2， ．
D．若三棱锥 P﹣CBD的外接球表面积为 ，则
（1）证明： 为等差数列；
10．在△ABC中，2sinA+2sinB＝3sinC，cosA+cosB＝2cosC，则（ ）
A．BC+AC＜2AB B．sin2A+sin2B＜2sin2C （2）设 ，求 f′（﹣1）．
C．7sin2C＝16sinAsinB D．
11．已知双曲线 ，A，B是双曲线 C的左、右顶点，F1，F2是双曲线 C的左、
16．（15分）如图所示，在多面体 GHL﹣ABCDEF中，ABCDEF为平面六边形，平面 GAF⊥平
右焦点，P是双曲线 C上与 A，B不重合的一动点，直线 PA，PB与直线 x＝1交于M，N两
面 ABC，平面 LCD⊥平面 ABC，AB⊥AF，BC⊥CD，△GAF与△LCD都是边长为 2的等边
点，△PMN，△PAB的外接圆半径分别为 r1，r2．则（ ）
三角形，AB∥EF∥GH，BC∥ED∥HL，AB＝BC＝6，FE＝ED＝4，M，N，K分别为 AF，BE
A．直线 PA与直线 PB的斜率之积为定值
，CD的中点．
B．直线 PF1与 PF2的斜率之积为定值
（Ⅰ）求证：GM∥LK，HN⊥平面 ABC；
C．|MN|的最小值是
（Ⅱ）棱 ED上是否存在点 P，使得 HP与平面 ABHG成角 ？若存在，求 的值；若不
D． 的最大值为 存在，说明理由．
三．填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12．曲线 在 x＝﹣1处的切线方程为 ．
13．已知数据 x1、x2、…、x2025的平均数为 3，方差为 520，则 、 、…、 的平均数
为 ．
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17．（15分）已知椭圆 的离心率为 ，左顶点到右焦点的距离为 3． 参考答案
（1）求椭圆 E的方程； 一．单项选择题
（2）设椭圆 E的右顶点为 A，若直线 l：y＝kx+m与椭圆 E相交于 M，N两点（异于 A点）， 题号 1 2 3 4 5 6 7 8
且满足 MA⊥NA，试证明直线 l经过定点，并求出该定点的坐标．
答案 B D B C C A D B
18．（17分）如图所示是竖直平面内的一个“通道游戏”，图中竖直线段和斜线段都表示通道，
二．多项选择题
竖直线段有一条的为第 1层，有 2条的为第 2层，依此类推，现有一个小球从第 1层的通道
题号 9 10 11
里向下运动，在通道的分叉处，小球等可能地向左或向右落下，然后继续下落．记小球落入
答案 ABD ABC AC
第 n层第 m个竖直通道（从左向右）的概率为 P（n，m），m＝1，2，…，n．
（1）求 P（3，1），P（4，2），P（5，3），的值，并写出 P（n，m）的表达式（只需写出结
三．填空题
果，不必写过程）；
12．2ex﹣y+e＝0．
（2）利用（1）的结论，证明：P（n，m﹣1）+P（n，m）＝2P（n+1，m）；
13．529．
（3）设小球落入第 n层第 m个竖直通道的得分为 X，其中 ，m＝1，2，…，n，证明：
14． ．
X的数学期望 ．
四．解答题
15．解：（1）证明：由 ，
可得 ，
所以 是首项为 1，公差为 1的等差数列．
19．（17分）已知函数 f（x）＝xlnx﹣ax2﹣x+a（a∈R）．
（1）当 a＝0时，求曲线 y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程； （2）由等差数列的通项公式得 ，故 ．
（2）若 f（x）有两个极值点 x1，x2（x1＜x2），求 a的取值范围； 可得 f（x）的导数为 ，
（3）在（2）的条件下，证明：当λ≥1时，lnx1+λlnx2＞1+λ．
由 得 ，所以 ，
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当 x≠2 所以 HN⊥NM，HN⊥NK，即 HN，NM，NK两两垂直，时， ，
故以 N为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
所以 ． 因为 MN∥AB∥GH，GM∥HN，
16．（Ⅰ）证明：因为△GAF与△LCD均为等边三角形，且 M，K分别为 AF，CD中点， 所以四边形 GMNH为平行四边形，所以 ，
所以 GM⊥AF，LK⊥DC， 则 E（1，1，0），D（1，5，0），A（5，﹣1，0），B（﹣1，﹣1，0），H（0，0， ），G（5，
又平面 GAF⊥平面 ABC，平面 GAF∩平面 ABC＝AF，GM 平面 GAF，
0， ），
所以 GM⊥平面 ABC，
同理 LK⊥平面 ABC， 所以 ，
所以 GM∥LK；
又 GM 平面 HLKN，LK HLKN 设平面 ABHG的法向量为 ，则 ，平面 ，
所以 GM∥平面 HLKN， 不妨取 ，
而平面 GMNH∩平面 HLKN＝HN，
设 ，λ∈[0，1]，
所以 GM∥NH，
又 GM⊥平面 ABC， 则 ，
所以 HN⊥平面 ABC． 因为 HP与平面 ABHG成角 ，
（Ⅱ）解：过 E作 ET⊥AB于 T，
因为 AB⊥AF，AB∥EF，AB＝6，EF＝4，AF＝2， 所以 sin |cos ， | ，
所以 ET＝AF＝2，AT＝EF＝4，BT＝AB﹣AT＝6﹣4＝2，
解得 ，
所以△BTE是等腰直角三角形，∠TBE ，
同理可得∠CBE ， 所以存在点 P，使得 HP与平面 ABHG成角 ，此时 ．
所以 AB⊥BC，
又 M，N，K 分别为 AF，BE，CD中点，所以 MN∥AB，KN∥CB，
所以 MN⊥KN，
由（Ⅰ）知 HN⊥平面 ABC，
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整理得 4k2+16mk+7m2＝0，
17．解：（1）因为椭圆 E的离心率为 ，左顶点到右焦点的距离为 3， 解得 或 m＝﹣2k，
此时均满足 3+4k2﹣m2＞0，
当 m＝﹣2k时，直线 l的方程为 y＝k（x﹣2），
所以 ，
此时直线过点（2，0），与已知矛盾，
当 时，直线 ，
解得 ，
此时只爱你 l直线过点 ．
则椭圆的方程为 ；
综上所述，直线 l过定点，定点坐标为 ．
（2）证明：设 M（x1，y1），N（x2，y2），
2 2 2 18．解：（1）P（3，1）：小球要落入第 3层第 1个竖直通道，从第 1层开始，第一次有 1种选联立 ，消去 y并整理得（4k +3）x +8mkx+4m ﹣12＝0，
择（向左或向右），第二次有 2种选择（左左或右右），
此时Δ＝64m2k2﹣4（4k2+3）（4m2﹣12）＞0，
总共有 22＝4种等可能的路径，而落入第 3层第 1个竖直通道的路径只有 1种（左左），
解得 3+4k2﹣m2＞0，
所以 ，
由韦达定理得 ， ，
P（4，2）：从第 1层到第 4层，总共有 23＝8种等可能的路径，
所以 ， 落入第 4层第 2个竖直通道的路径有 3种（左左右、左右左、右左左），
因为 MA⊥NA， 所以 ，
所以 ， P（5，3）：从第 1层到第 5层，总共有 24＝16种等可能的路径，
又 A（2，0）， 落入第 5层第 3个竖直通道的路径有 6种（左左左右、左左右左、左右左左、右左左左、左
左右右、右左左右），
所以 ， ，
此时（2﹣x1）（2﹣x2）+y1y2＝0， 所以 ，
即 4+x1x2﹣2（x1+x2）+y1y2＝0， P（n，m）的表达式： ；
所以 ，
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（2）证明：由（1）得 ， ， ， 所以当 时，f（x）有两个极值点 x1，x2；
（3）证明：f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝lnx﹣2ax，
所以 ；
由（2），f（x）有两个极值点 x1，x2（x1＜x2），
（3）证明：X的分布列为：
即 x1，x2是 f′（x）＝lnx﹣2ax＝0有两个不同正根，
X 1 ..． ..．
所以 lnx1＝2ax1，且 lnx2＝2ax2，
P P（n，1） P（n，2） P（n，3） ..． P（n，m） ..． P（n，n）
所以 ，所以 ，
所 以
所以，当λ≥1时，lnx1+λlnx2＞1+λ 2ax1+2λax2＝2a（x1+λx2）＞1+λ
．

，
19．解：（1）当 a＝0时，f（x）＝xlnx﹣x，所以 f（e）＝0，f′（x）＝lnx+1﹣1＝lnx，
所以 f′（e）＝1，所以曲线 y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率 k＝1， 令 ，即证当λ≥1时， 对 t∈（0，1）恒成立，
所以曲线 y＝f（x）在点（e，f（e））处的切线方程为 y＝x﹣e，即 x﹣y﹣e＝0；
令 ，
（2）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）＝lnx﹣2ax，
则 ，
因为 f（x）有两个极值点 x1，x2（x1＜x2），即 f′（x）＝lnx﹣2ax＝0有两个不同的变号正根，
因为 0＜t＜1，λ≥1，所以 t﹣1＜0，t﹣λ2＜0，t（t+λ）2＞0，所以 h′（t）＞0，
设 g（x）＝lnx﹣2ax， ，
所以 h（t）在（0，1）上单调递增，所以 h（t）＜h（1）＝0，即 ，
若 a≤0，g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，g（x）＝0不会有两个正根，不合题意，
所以当λ≥1时，lnx1+λlnx2＞1+λ恒成立．舍去；
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当 a＞0，令 g'（x）＝0，得 ，
x∈ ，g'（x）＞0，g（x）递增，x∈ ，g'（x）＜0，g（x）递减，
x趋于 0时，g（x）趋于负无穷，x趋于正无穷时，g（x）趋于负无穷，
所以要使 g（x）＝0有两个正根，需 ，
即 ，解得 ，
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