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2026 年 2 月数学练习
一、单选题
1．已知集合 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】 ， ，
所以 .
故选：A
2．若复数 满足 （ 为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】 ，
，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：C
3．若双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，则 的离心率为（ ）
A． B． C．5 D．
【答案】B
【详解】由双曲线 可得渐近线方程为 ，
由题意可得 ，
所以双曲线的离心率 ，
故选：B．
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4．已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵ ，∴ ， ，
又 ，则 ，所以 ，
故选：A
5．已知随机变量 ，且 ，则 的展开式中 的系数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由题意可知 ，∴ ，
∴ ，
展开式的通项为 ，
当 时， ，即 .
所以 的展开式中 的系数为 .
故选：B.
6．如图，在正方体 中，当点 在线段 上运动时，下列结论正确的是（ ）.
A． 与 可能平行 B． 与 始终异面
C． 与平面 可能垂直 D． 与 始终垂直
【答案】D
【详解】
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构建如图示的空间直角坐标系，若正方体棱长为 1，
则 ， ， ， ， ，
令 且 ，故 ，
而 ， ， ，
所以 ，即 ，故 D正确；
显然 在由相交线 和 所成的平面上，
且 与该平面有交点，
故 在 上移动过程中 可能与 相交，B错误；
若 且 ，则 ，不存在这样的 值，A错误；
若 面 ，则 ，显然不存在这样的 值，故 C错误.
故选：D
7．中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了国际友谊.现有 6
支救援队前往 A，B，C三个受灾点执行救援任务，若每支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安
排 1支救援队，则不同的安排方法种数是（ ）
A．270 B．360 C．540 D．630
【答案】C
【详解】若参加三个受灾点执行救援任务的人数分别为 1，1，4时，共有 种参赛方案；
若参加三个受灾点执行救援任务的人数分别为 1，2，3时，共有 种参赛方案；
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若参加三个受灾点执行救援任务的人数分别为 2，2，2时，共有 种参赛方案；
综上，不同的安排方法种数是 .
故选：C
8．已知函数 ，若 ，则 的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】由题意知 的定义域为 R，
，故 为偶函数，
当 时， ，
由于 在 上单调递增，对勾函数 在 上单调递增，
故函数 在 上单调递增，因此 在 上单调递增，
构造 ， ，当 时， ，故 在 上单调递减，
又 ，∴ ，即 ，
即 ，∴ ，即 ，
故选：A
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．样本甲中有 件样品，其方差为 ，样本乙中有 件样品，其方差为 ，则由甲，乙组成的总体样本的方差
为
B．一组数据 ， ， ， ， 的经验回归方程为 ，则当 时，残差为
C．一组数据 ， ， ， 的均值为 ，标准差为 s，则数据 ， ，…， 的均值为
D．按从小到大排序的两组数据：甲组数据为 ；乙组数据为 ， .
则甲组数据的第 30百分位数和乙组数据的第 40百分位数之和为 75
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【答案】BC
【详解】对于 A，记样本甲，乙的平均数分别为 ，由甲乙组成的总体样本的平均数为 ，
则甲乙组成的总体样本的方差为 ，故 A不正确；
对于 B，由题意，得 ， ，
则 ，所以 ．
令 ，则 ，所以残差为 ，故 B正确．
对于 C，
，
所以数据 ， ，…， 的均值为 ，故 C正确．
对于 D，因为 ，所以甲组数据的第 30百分位数为 31，
乙组数据的第 40百分位数是 ，故 D错误.
故选：BC．
10．设随机变量 的分布列如下：
1 2 3 4 5 6 7 8 9
则下列说法中正确的是（ ）
A．当 为等差数列时，
B．当数列 满足 时，
C．数列 的通项公式可能为
D．当数列 满足 时，
【答案】ACD
【详解】由已知可得 ，
对于 A，当 为等差数列时，则 ,故 ，故 A正确；
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对于 B：由 ，2， ， 时，则 ，所以 ，
故 B错误；
对于 C：显然 ，又 ，
，故 C正确；
对于 D：令 ，2，3， ， ，
则 ，即 ， ，2，3， ， ，
于是有 ，2，3， ， ，又 ，
，解得 ， ，故 D正确．
故选：ACD
11．已知 ，圆 ，则（ ）
A．存在两个不同的实数 ，使圆 过原点
B．存在三个不同的实数 ，使圆 与 轴或 轴相切
C．存在正实数 ，使圆 在 轴上和在 轴上截得的线段相等
D．存在唯一的实数 ，使圆 的周长被直线 平分
【答案】ABD
【详解】圆 的圆心为 ，半径为 2，
对于 A：由圆 过原点，所以 ，方程 的解的个数等价于函数 的图象与曲线
的交点个数，
作函数 与圆 的图象可得：
所以函数 的图象与曲线 的交点个数为 2，
所以存在两个不同的 ，使得圆 经过坐标原点，故 A正确；
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对于 B：圆 C与 轴或 轴相切等价于 或 ，解得 或 ，
所以存在三个不同的实数 ，使圆 与 轴或 轴相切，故 B正确；
对于 C：圆 C在 轴和 轴上截得的线段长相等等价于 ，
所以 ，即 ，
方程 的解的个数函数 和 的零点的个数和相等，
因为 ，所以 在 上单调递增，又 ，
所以函数 在区间 上存在一个零点，即函数 存在一个零点，
又因为 ，由 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，又 ，
所以 没有零点，
即存在一个 ，使得圆 C在 轴和 轴上截得的线段长相等，故 C错误；
对于 D：圆 的周长被直线 平分等价于， 过圆心 ，
所以 ，即 ，令 ，
所以 ，由 ，
所以 在 单调递增，在 单调递减，又 ，所以 只有一个零点，
所以存在唯一的实数 ，使圆 的周长被直线 平分，故 D正确.
故选：ABD.
三、填空题
12．边长为 2的等边 中， 为 的中点， 在边 上且 ，则 .
【答案】
【详解】如图所示，过 作 于 ，则 在 上的投影向量为 ，
因为 ，可得点 为 的三等分点，
又因为 ，所以 为 的三等分点，则 ，
因为 为边长为 2的等边三角形，可得 ，所以 ，
所以 .
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故答案为： .
13．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，椭圆上一点 满足 ，以 的短
轴为直径作圆 ，截直线 的弦长为 ，则椭圆的方程为
【答案】
【详解】由题意知以 的短轴为直径作圆 ，截直线 的弦长为 ，设交点为 A，B，
取弦 的中点 ，连接 ，如下图所示：
则 ， ，因为 ，所以 ，
因为 为 的中点， 是 的中点，所以 ，
，且 垂直平分弦 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
由椭圆定义可知， ， ，
所以 ，解得 ， ，
因为 ， ，所以 ， ，
所以椭圆方程为 .
14．已知 ，集合 ，若存在 ，使得集合
恰有五个元素，则 的范围取值为 ．
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【答案】
【详解】因为 ，
若 ，等价于 或 ，
即 同为最大值点或最小值点，
若 ，则点 ；若 ，则点 ；
据此可知：若集合 恰有五个元素，等价于 在 内有 个最值点 ，
不妨设 ，可知 最值性相同，与 不同，
此时集合 B的元素为 ，符合题意，
因为 ，且 ，则 ，
可得 ，解得 ，
所以 的范围取值为 .
故答案为： .
四、解答题
15．已知△ABC的内角 的对边为 ， ， ，且 .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ， ，求 的周长.
【答案】(1)
(2)25
【详解】（1）由正弦定理得 ，即 ，
由余弦定理得 ，
又因为 ，所以 ；
（2）由 的面积 ，解得 ，
由 ，可得 ，即 ，
故解得 ，所以 的周长为 .
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16．为研究高中生自主刷题与数学成绩提升的关联性，某教研机构随机抽取 200名高三学生开展调查，统计数据如
下表（单位：人）：
成绩显著提升 成绩未显著提升 合计
坚持自主刷题 90 30 120
未坚持自主刷题 20 60 80
合计 110 90 200
根据上述数据，解答下列问题：
(1)依据小概率值 的独立性检验，判断能否认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升有关？
(2)已知在坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优秀的概率为 0.6；在未坚持自主刷题的学生中，数学成绩达到优
秀的概率为 0.3。现从这 200名学生中随机抽取 1人，发现其数学成绩为优秀，求该学生坚持自主刷题的概率。
附： ，其中 ．
【答案】(1)有关，理由见解析
(2)
【详解】（1）零假设 ：高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提升无关联；
经计算
因 ，
故依据小概率值 的独立性检验，我们推断假设 不成立，即认为高中生坚持自主刷题与数学成绩显著提
升有关联，该推断犯错误概率不超过 0.001.
（2）定义事件：设 “该学生坚持自主刷题”， “该学生未坚持自主刷题”， “该学生数学成绩优秀”，
则 ， ， ，
,故该学生坚持自主刷题的概率为 .
17．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若过原点可以作两条直线与曲线 相切，求 的取值范围．
【答案】(1)见解析
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(2)
【详解】（1）由已知得 ，
（2） ，
设切点分别为 ，
则 在 处的切线方程为 ，
又切点过原点，所以 ，
即 ，同理 ，
所以 为方程 两个不同的根，
设 ，则 ，
若 ，则 在 单调递减， 不可能有两个不同的根，不符合题意；
若 ，令 得， 在 单调递减，
令 得 在 单调递增，
所以 ，
若 ，即 ，则 ，
此时方程 没有两个不同的根，不符合题意；
若 ，即 ， ，
因为 ，所以 ，所以 ，
令 ，则 ，
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所以 在 上单调递增， ，
即 ，又 的图象是不间断的曲线，
所以存在 满足 使得 ，
所以 的取值范围是 ．
18．球面三角学是研究球面三角形的边、角关系的一门学科．如图，球 O的半径为 R，A、B、C为球面上三点，设
，表示以 O为圆心，且过 B、C的圆，劣弧 BC的弧长记为 a，同理，圆 ， 的劣弧 AC、AB的弧长分别记为
b、c，曲面 ABC（阴影部分）叫做球面三角形．若设二面角 ， ， 分别为 、 、
，则球面三角形的面积为 ．已知 ；
(1)若 ， ，求球面三角形 ABC的面积（直接写结果无需证明）；
(2)在球 O的内接三棱锥 D-ABC中， 平面 ， ，直线 DC与平面 ABC所成的角为
．
（ⅰ）若 ，N分别为直线 AD，BC上的动点，求线段 MN长度的最小值；
（ⅱ）如图（2），若 分别为线段 AC，BC的中点，G为线段 BD上一点（与点 B不重合），当平面 OBC与平面
GPQ夹角的余弦值为 时，求线段 BG的长．
【答案】(1)
(2)（i） ；（ii）
【详解】（1）由题意， ， ， ，
所以 ，则有 ，
所以球面三角形 ABC面积为 ．
（2）因为 平面 ， 平面 ，所以 .
设 ，则 ，所以 .
由勾股定理的逆定理可得 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以 ，
因为直线 与平面 所成的角为 ，所以 .
易知在 和 中，斜边 的中点到点 的距离相等，
即 为球 的直径，所以 .
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以点 为坐标原点，直线 分别为 轴，过点 且与 平行的直线为 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系.
（i）由题可知 ，
则 .
设与 都垂直的向量为 ，
则 ，令 ，则 ，
所以线段 长度的最小值为 .
（ii）设 ，由题可知 ，
则 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，可得 .
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，可得 .
设平面 与平面 的夹角为 .
因为 = ，
化简得 则 ，
故 .
19．已知抛物线 : 的焦点 ，直线 过 且交 C于两点 ，已知当 时， 中点纵坐标
的值为 .
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(1)求 的标准方程.
(2)令 ，P为 C上的一点，直线 ， 分别交 C于另两点 A，B.求证： 为定值，并求出此定
值.
(3)过 分别作 的切线 ， 与 相交于 ，同时与 相交于 ，求四边形 面积取值范围.
【答案】(1)
(2)1,证明见解析；
(3) .
【详解】（1）抛物线 的焦点 的坐标为 ，
若直线 的斜率为 0，则 与抛物线 只有一个交点，与条件矛盾，
可设直线 的方程为 ，联立 ，化简得 ①，
方程①的判别式 ，
设 ，
所以 ，
若 ，则 ，
所以 ，
又 中点纵坐标的值为 ，所以 ，
解得 ，
所以抛物线方程为 ；
（2）设点 的坐标为 ，则 ，直线 的方程为 ，
联立 ，化简可得 ②，
方程②的判别式 ，所以 ， ，
设 的坐标为 ，则 ，所以 ，所以 ，
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直线 的方程为 ，联立 ，化简可得 ③，
方程③的判别式
设 的坐标为 ，则 ，所以 ，
所以 ，所以 ；
（3）设过点 的切线方程为 ，
联立 ，化简可得 ④，
方程④的判别式 ，解得 ，
所以 ，
所以 ，即 的方程为 ，
同理可得 的方程为： ，
的方程为： ，
联立 ，又 ， ，
解得 ， ，又 ，即点 的坐标为 ，
联立 ，又 ， 解得 ， ，
又 ，即点 的坐标为 ，
因为 ， ，所以 ，
所以点 的坐标为 ，
因为 ， ，所以 ，所以点 的坐标为 ，
试卷第 1页，共 3页
所以直线 的方程为 ，
记直线 与直线 的交点为点 ，则点 的坐标为 ，
根据抛物线的对称性，不妨设 ，则 或 ，
当 时，则 ， ，
所以 ， ，
所以四边形 的面积 ，
所以 ，
设 ，由已知 ，则 ，
所以 ，
函数 在 上单调递减，
所以 ，
当 时，则 ， ，
所以 ， ，
所以四边形 的面积 ，
所以 ，
设 ，由已知 ，则 ，
所以 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
所以 ，
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所以四边形 面积取值范围为 .
试卷第 1页，共 3页南昌二中2025-2026学年度上学期高三数学期末试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题
目要求的。
1.已知集合A=x|x2<1},B={xlog2x≤1}，则AUB=()
A.（-1,2]
B.（0,1)
C.(-0,1]
D.（-m,2]
2.若复数z满足-1)(z-1)=2(i为虚数单位)，则=()
A.√2
B.5
C.5
D.3
3.若双曲线C若1a>0b>0的一条渐近线与直线+2y+1=0垂直，则C的离心率为()
x2
A.5
B.5
C.5
2
D.
4.已知m2a-后ae(0,则cosa+}(
2
A.6
B.
c.30
D.5
6
6
6
3
5.已知随机变量X~N0o),且P(X≤-3)=P(X≥3a-),则(ar-左"的展开式中二的系数为
()
A.-10
B.-20
C.10
D.20
6.中国救援力量在国际自然灾害中为拯救生命作出了重要贡献，很好地展示了国际形象，增进了
国际友谊现有6支救援队前往A,B,C三个受灾点执行救援任务，若每
D
C
支救援队只能去其中的一个受灾点，且每个受灾点至少安排1支救援队，
则不同的安排方法种数是()
A
B
A.270
B.360
C.540
D.630
7.如图，在正方体ABCD-AB,CD中，当点F在线段BC上运动时，下
列结论正确的是()，
A.AF与BD可能平行
B.AF与BD始终异面
C.AF与平面BDC,可能垂直
D.AF与BD始终垂直
A
8.己知函数f)=1og,4+)-x,若a=fπ，b=f(e)c=f(-√2)，则a,b,c的大小关系为（）
A.b>a>c
B.a>c>b
C.c>a>b
D.b>c>a
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是()
A.样本甲中有m件样品，其方差为s2,样本乙中有n件样品，其方差为s,则由甲，乙组成
的总体样本的方差为m5+”
n+n
+
B.一组数据(1,3)，（2,8)，(3,10)，（4,14)，(5,15)的经验回归方程为=3x+a,则当x=5时，
残差为-1
C.一组数据x,x2,…,x的均值为，标准差为5，则数据x,x,…,的均值为s2+x
D.按从小到大排序的两组数据：甲组数据为29,31,37,40,41,50：乙组数据为24,30,33,44，
48,52,60,68,70,80.则甲组数据的第30百分位数和乙组数据的第40百分位数之和为75
1

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