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辽宁沈阳市东北育才学校2025-2026学年高三下学期第六次模拟考
数学试卷
一、单选题
1．下列求导运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．已知命题：，，则为（ ）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．离散型随机变量的取值为．若数列为等差数列，则（ ）
A． B． C． D．
5．已知定义在上的单调递增函数，且为奇函数，则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
6．若函数在是单调递减，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
7．已知为样本空间中的两个随机事件，其中，则（　　）
A． B． C． D．
8．已知椭圆的左右焦点分别为，，是椭圆上一点，且，，成等差数列，则椭圆离心率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法中正确的是（ ）
A．从装有个红球，个白球的袋中任意摸出个球，事件“至少有个红球”，事件“都是白球”，则事件与事件是对立事件
B．若随机变量，且，则
C．若，则
D．若随机变量X满足，则
10．是正方体中线段上的动点(点异于点)，下列说法正确的是（ ）
A．
B．异面直线与所成的角是
C．的大小与点位置有关
D．二面角的大小为
11．已知 为正实数， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 的最小值为 -1
C．的最小值为 12 D． 的最小值为
三、填空题
12．已知向量，，且，则______.
13．已知，则_______．
14．已知等差数列的前n项和为，且满足，，则数列的通项公式为__________．
四、解答题
15．记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求.
(2)若点D在边AC上，且，求.
16．如图所示，矩形ABCD和梯形BEFC所在平面互相垂直，，
(1)求证：平面DEF⊥平面DCE；
(2)当AB的长为何值时，二面角A-EF-C的大小为60°.
17．设是函数的一个极值点.
(1)求与的关系（用表示），并判断的单调性；
(2)设，，若存在[0，4]，使得成立，求的取值范围.
18．一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需击鼓三次，每次击鼓后要么出现一次音乐，要么不出现音乐；每盘游戏击鼓三次后，出现三次音乐获得150分，出现两次音乐获得100分，出现一次音乐获得50分，没有出现音乐则获得-300分.设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立.
（1）若一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为，求的最大值点；
（2）以（1）中确定的作为的值，玩3盘游戏，出现音乐的盘数为随机变量，求每盘游戏出现音乐的概率，及随机变量的期望；
（3）玩过这款游戏的许多人都发现，若干盘游戏后，与最初的分数相比，分数没有增加反而减少了.请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因.
19．我们约定，如果一个椭圆的长轴和短轴分别是另一条双曲线的实轴和虚轴，则称它们互为“姊妺”圆锥曲线.已知椭圆，双曲线是椭圆的“姊妺”圆锥曲线，分别为的离心率，且，点分别为椭圆的左 右顶点.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过点的动直线交双曲线右支于两点，若直线的斜率分别为.
（i）试探究与的比值是否为定值.若是定值，求出这个定值；若不是定值，请说明理由；
（ii）求的取值范围.
参考答案及解析
1．D
解析：对于A，因为，故A错误；
对于B，因为，故B错误；
对于C，因为，故C错误；
对于D，因为，故D正确.
2．A
解析：命题为全称命题，则命题的否定为，，
故选：A．
3．A
解析：，．
.
故选：A.
4．B
解析：由离散型随机变量分布列的性质，，
由等差数列性质及前项和公式，
所以，解得，
故选：B.
5．D
解析：由函数为奇函数，可得，
即，所以，
又由不等式，可得，
因为函数是上的单调递增函数，
所以，即，解得，
所以不等式的解集为.
故选：D.
6．B
解析：，
.
又，
因为余弦函数在上单调递减，所以，解得.
所以的最大值为.
故选：B.
7．C
解析：法1：因为，所以，
所以，
所以．
法2：因为，所以，
所以，
所以，所以事件与事件相互独立，
所以事件与事件独立，所以.
故选：C
8．D
解析：由，，成等差数列，则，
由椭圆定义可得，又，
则，即，
又，即，则，
当且仅当时，等号成立，
故椭圆离心率的最大值为.
故选：D.
9．BCD
解析：对于：从装有个红球，个白球的袋中任意摸出个球，
可能的情况有3红，3白，1红2白，2红1白，
所以事件与事件不是对立事件，故错误；
对于：因为，所以，
则，所以，
所以，故正确；
对于：根据全概率公式，
故，故正确；
对于：由题意知，服从，，的超几何分布，
所以，故正确.
故选：BCD.
10．ABD
解析：对A,因为,所以平面,而平面,所以,正确;
对B, 异面直线与所成的角即为异面直线与所成的角,因为,所以即为异面直线与所成的角,而为等边三角形,所以,正确；
对C,因为四边形为矩形,所以为定值,而平面,点到平面的距离为定值，故为定值，错误；
对D，二面角的平面角即为二面角的平面角，由二面角的定义可知，为二面角的平面角，易知,正确.
故选：ABD.
11．ABD
解析：由，可得，
对于A中，令，则且，
可得，则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
可得，所以，所以A正确；
对于B中，由，可得，
则，
当且仅当时，取得最小值，所以B正确；
对于C中，由，
当且仅当时，即时，即时，等号成立，所以C不正确；
对于D中，由，
可得，
当且仅当时，即时，等号成立，
所以的最小值为，所以D正确.
故选：ABD.
12．5
解析：因为向量，，且，
所以，解得，
故，
故
故答案为：
13．/
解析：解：因为，所以；
故答案为：
14．
解析：设的公差为，
因为，
所以，
又，故，解得，所以，
又，所以．
故答案为：
15．(1)；
(2).
解析：（1）据已知条件及正弦定理得
整理得，
又据余弦定理，则有，因为
则；
（2）因为，
所以，
故,
即
所以,
整理得
故,
化解得，因为，
故，
则.
16．(1)证明见解析
(2)
解析：（1）因为，所以，因为矩形和平面垂直，所以.矩形和平面交于，所以面，又因为
面，所以.因为面，所以面，又因为面，所以平面DEF⊥平面DCE.
（2）因为，所以，由上面可知，面，则以为原点，分别以为轴、轴、轴建立空间直角坐标系.如下图.
过点作于点，在中，，，则.因为，所以，.
设，则、、，，
，，，设平面的法向量为，则，得，令，则，
因为面，所以，若二面角的大小为，则
，解得，所以当时，二面角A-EF-C的大小为60°.
17．(1)，单调性见解析
(2)
解析：（1），
由=0，得
故.
因为，
由=0得：，
由于是的极值点，
故，即
当时，，
故在上为减函数，在[3，-a-1]上为增函数，在上为减函数；
当时，，
故在上为减函数，在上为增函数，上为减函数；
（2）由题意，存在[0，4]，使得成立，
即不等式在[0，4]上有解.
于是问题转化为，
由于两个不同自变量取值的任意性，因此首先要求出和在[0，4]上值域.
因为，则，
由（1）知：在[0，3]递增；在[3，4]递减.
故在[0，4]上的值域为，
而在[0，4]上显然为增函数，其值域.
因为=≥0，
故，
，
从而，
解.
故的取值范围为
18．（1）；（2），；（3）见解析.
解析：（1）由题可知,一盘游戏中仅出现一次音乐的概率为：
,
由得或（舍）
当时,；
当时,,
∴在上单调递增,在上单调递减,
∴当时,有最大值,即的最大值点；
（2）由（1）可知,
则每盘游戏出现音乐的概率为
由题可知
∴；
（3）由题可设每盘游戏的得分为随机变量,则的可能值为-300,50,100,150；
∴；
；
；
；
∴
；
令,则；
所以在单调递增；
∴；
即有；
这说明每盘游戏平均得分是负分,由概率统计的相关知识可知：经过若干盘游戏后,与最初的分数相比,分数没有增加反而会减少.
19．(1)
(2)（i）为定值，（ii）
解析：（1）由题意可设双曲线，则，解得，
所以双曲线的方程为.
（2）（i）设，直线的方程为，
由，消元得.
则，且，
，

或由韦达定理可得，即,
，
即与的比值为定值.
（ii）方法一：设直线，
代入双曲线方程并整理得，
由于点为双曲线的左顶点，所以此方程有一根为，.
由韦达定理得：，解得.
因为点A在双曲线的右支上，所以，解得，
即，同理可得，
由（i）中结论可知，
得，所以，
故，
设，其图象对称轴为，
则在上单调递减，故，
故的取值范围为；
方法二：由于双曲线的渐近线方程为，
如图，过点作两渐近线的平行线，由于点A在双曲线的右支上，
所以直线介于直线之间（含轴，不含直线），

所以.
同理，过点作两渐近线的平行线，
由于点在双曲线的右支上，
所以直线介于直线之间（不含轴，不含直线），

所以.
由（i）中结论可知，
得，所以,
故.

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