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启星中学 2025-2026 学年度第二学期第一次质量检测
九年级数学学科试卷
一、单选题（3×8=24 分）
1． 的绝对值是（ ）
A． B．2024 C． D．
2．下列运算：① ；② ；③ ；④
；正确的是（ ）
A．②③④ B．①②③ C．①②④ D．①③④
3、下列国产 软件图标属于轴对称图形的是（ ）
A． B．
C．米可智能 D．通义千问
4、在课外活动中，有 10名同学进行了投篮比赛，限每人投 10次，投中次数与人数如表，
则这 10人投中次数的平均数和中位数分别是（ ）
投中次数 6 7 8 9 10
人数 3 3 2 1 1
A．5.7，7 B．6.4，7.5 C．7.4，7 D．7.4，7.5
5．已知点 A，B，C，D在 上，依次连接 ， ， ， ， ．若
， ，则 的度数是（ ）
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A B.
C. D.
6．“七巧板”是一种古老的中国传统智力玩具，由“七巧板”组成的正方形如图所
示，若在正方形区域内随意取一点，则该点取在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，函数 y=3x和 y=ax+4 的图像相交于点 A（m，3），则不等式 3x≤ax
+4 的解集为（ ）
A．x≤1 B．x＞3 C．x≤3 D．x≥1
8.如图， 是等腰直角三角形 的边 的中点， 是平面内一点，连接 ，将线
段 以点 为中心逆时针旋转 ，得到线段 ，连接 ．若 ，点 ， 之
间的距离为 1，则 的最小值为（ ）
A．4 B．5 C．3 D．
二、填空题（3×10=30 分）
9．若式子 有意义，则 的取值范围是________．
10.石墨烯是目前已知最薄的材料，其理论厚度仅为 米，这个
数用科学记数法表示为 。
11．若关于 x的方程 有实根，则 的取值范围是______
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12.方程 的解为______．
13.在一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的红色和白色球共 6个，现从袋子
中取出1个球，记下球的颜色后放回，通过大量的重复抽取发现，抽到红色球
的次数约为总抽取次数的 ，则袋子中红色球有______个．
14.若 a2﹣3a+2=0，则 1+6a﹣2a2= ．
15.如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律组成的图形，第 1个图有 4
个三角形，第 2个图有 7个三角形，第 3个图有 10 个三角形，…，按照此规
律排列下去，第 n个图中三角形的个数是: .
16.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长 l为
，扇形的圆心角 为 ，则圆锥的底面圆的半径 r为___ ___ ．
17.如图，菱形 的边长为 4， ，分别以点 和点 为圆心，大于
的长为半径作弧，两弧相交于 两点，直线 交 于点 ，连接 ，
则 的长为____________．
18.如图，已知矩形 OABC的面积为 ，它的对角线 OB与双曲线 相交于
点 D，且 OB：OD＝5：3，则 k＝___ _．
三、解答题
19. (1) ； (2) ．
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20. （1）解方程： ； （2）解不等式组 ．
21.毛泽东主席曾亲笔题词号召全国人民“向雷锋同志学习”，“雷锋精神”激
励着一代又一代中国人．今年 月 号，某校团委组织全校学生开展“学习雷
锋精神，爱心捐款活动”，活动结束后对本次活动的捐款抽取了样本进行了统
计，制作了下面的统计表，根据统计表回答下面的问题：
(1)本次共抽取了______名学生的捐款；
(2)补全条形统计图；
(3)本次抽取样本学生捐款的众数是______元，中位数是______元；
(4)求本次抽取样本学生捐款的平均金额．
22.中国航天科技以自主创新为核心驱动力，成为推动国家科技进步与产业升
级的重要引擎．在航天科技主题班会上，同学们提议从“嫦娥探月”“天问探
火”“北斗组网”“神舟飞天”这四个航天工程中，随机选择一个主题进行介绍．
下面是班长制作的正面印有不同航天主题的卡片，卡片除正面图案和文字外，
其余完全相同．将这 4张卡片背面向上，洗匀，放好．
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(1)小梦从这4张卡片中随机摸出一张，摸到“B．天问探火”的概率是_______；
(2)若小航从这些卡片中随机摸出一张对卡片主题进行介绍，然后将卡片放回，
洗匀，小天再从这些卡片中随机摸出一张卡片对主题进行介绍，请利用画树状
图或列表的方法求他们两人介绍的航天工程主题相同的概率（卡片名称用 A，
B，C，D表示即可）．
23.如图，在矩形 中， ，过对角线的中点 O作 的垂线 ，交 于
点 E，交 于点 F．
(1)求证：四边形 是菱形；
(2)若 ，求 的长．
24.某药品生产车间引进智能机器人替换人工包装药品，每台机器人每小时包装的速度是
人工包装速度的 3倍．经过测试，由 1台智能机器人包装 750盒药品的时间，比 1个工
人包装同样数量的药品节省 10小时，一台智能机器人每小时可以包装多少盒药品？
25.徐州华联商场为方便消费者购物，准备将原来的阶梯式自动扶梯改造成斜坡式自动扶
梯，如图所示，坡角∠ABD为 45°，AB=10，改造后的斜坡式自动扶梯的坡角∠ACB为
15°，请你计算 BC的长度．（结果精确到 1m，参考数据：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15
°≈0.27， ≈1.41）
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26．如图， 是 的直径， ， 是 上两点，且 ， 的
半径为 4．过点 的直线 交 的延长线于点 ，交 的延长线
于点 ，连接 ， ，且 与 交于点 ．
(1)求证： 是 的切线；
(2)若 ，求阴影部分的面积．
27.【问题情境】"综合与实践"课上，老师提出如下概念：将三角形纸片 ABC
折叠，使顶点 A的对应点落在 BC边上点 D处，折痕为 EF，若△BDE与△
CDF均为等腰三角形，我们称折痕 EF是△ABC的双等腰折痕．
【初步尝试】(1）如图①，若 E,F分别是△ABC的边 AB,AC的中点，求证：
折痕 EF是△ABC的双等腰折痕；
【类比探究】(2）如图②，在三角形纸片 ABC中，∠A=90°,EF是△ABC的
双等腰折痕，且 E为 AB的中点，连接 BF，交 DE于点 P，若 AC=6,AB
=8，求 的值。
【拓展应用】(3）如图③，在三角形纸片 ABC中，EF是△ABC的双等腰折
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痕，AE=AF．若∠B是△BDE的顶角，折痕 EF=6，点 A到折痕 EF的距离为
4，求 AC边的长．
28．抛物线 与 轴交于点 和点 ，与 轴交于点 ，连接
．点 为第一象限内抛物线上的动点，过点 作 轴于点 ，交 于点
，连接 ．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，当线段 最短时，求点 的坐标；
(3)当 时，设函数的最大值为 ，最小值为 ，若 ，直接写出 的
值．
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