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数学
时量：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写
在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的．
1. 复数 （其中 i为虚数单位）的模为（ ）
A. 12 B. 7 C. 5 D. 1
2. 若 ， ， ， ，则（ ）
A. p，q均为真命题 B. ， 均为假命题
C. ， 均为真命题 D. p，q均为假命题
3. 若 为奇函数，则函数 的图象关于（ ）
A. 点 对称 B. 点 对称 C. 点 对称 D. 直线 对称
4. 已知 ， ， ，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
5. 若函数 ，则下列结论错误的是（ ）
A. 的最小正周期为
B. 的定义域为
C. 的单调递增区间为
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D. 图象的对称中心的坐标为
6. 在 中，设内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ．若 ， ， 成等差数列，且 ，
，则（ ）
A. B. C. 或 D. 或
7. 如图，已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， 为 上位于第一象限内的一
点， 中 的外角平分线 与 轴交于点 ， 关于 的对称点为 ，若 的离心率为 ，则
的面积与 的面积之比的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8. 我们知道：无限循环小数可以表示为分数．例如 ，证明过程如下：令 ，则
，所以 ，所以 ，解得 ，所以 ．同理，
某些正无限不循环小数（正无理数）可以表示为连分数 ．若正无理数
满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
9. 已知 ， 为随机事件，则下列说法正确的是（ ）
A. 若 ， ， ，则 ， 相互独立
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B. 若 ， ， ，则
C. 若 ，则
D. 若 ， ， ，则
10. 若双曲线 的右焦点为 ， 为 上任意一点， 为圆 上一点，
则下列结论正确的是（ ）
A. 两条渐近线夹角的正切值为 B. 与 有公共点
C. 的最大值为 D. 的最小值为
11. 在棱长为 4的正方体 中，E，F分别为 AB，BC的中点，则下列结论正确的是（ ）
A. 异面直线 与 所成角的余弦值为
B. 点 B到平面 的距离为
C. 与平面 所成角的正切值为
D. 若点 P在正方体 的表面运动，且 ，则点 P的轨迹总长度为
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
12. 已知集合 ， ，若 ，则实数 的取值范围
是_________．
13. 已知 且： ，则 的最大值为_________．
14. 已知 ， ，则 的取值范围是_________．
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 如图，在四棱台 中， ，四边形 为平行四边形， 为棱 的中
点．
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（1）求证： 平面 ；
（2）若四边形 为正方形， 平面 ， ，求平面 与平面 夹角的
余弦值．
16. 某公司新开发了一款游戏软件，为了解该游戏软件在青年男性和青年女性中的使用体验，某机构进行了
一项调查，统计结果如下表．
单位：人
性别
体验 合计
青年男性 青年女性
较好 200
一般 100
合计
（1）求出 x，y的值；
（2）试比较该游戏软件在不同青年性别中有较好体验的概率大小；
（3）依据小概率值 的独立性检验，请判断该游戏软件的使用体验是否与体验者的性别有关？
参考公式及数据： ，其中 ．
0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
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17. 已知正项数列 的前 项和为 ，若 ， ，其中 ， ，则称 为
“ 数列”．
（1）若 是“ 数列”，求 的值；
（2）若 是“ 数列”，且 ，探究 是否为等比数列？请说明理由．
18. 已知函数 ，且 ．
（1）求 的定义域和极大值点．
（2）当 时．
①判断 在 上的单调性，并证明；
②证明：当 时， ．
19. 对于抛物线 和点 ，若 上存在不同的两点 ， ，使得 ，
且 的倾斜角不等于 ，则称 是 的“ —圆点”，线段 是 的“ —圆弦”．设抛物线
的焦点为 ，准线为 ， 与 轴交于点 为 上一点， ， ，
．
（1）求 的方程；
（2）判断 是否存在“ —圆点”？请说明理由；
（3）设“4—圆弦”中点的轨迹与 轴交于点 ，点 关于原点 的对称点为 ，过点 作直线 与
交于 ， 两点，求证： ．
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数学
时量：120分钟 满分：150分
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需要
改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写
在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的．
【1题答案】
【答案】C
【2题答案】
【答案】C
【3题答案】
【答案】A
【4题答案】
【答案】C
【5题答案】
【答案】D
【6题答案】
【答案】D
【7题答案】
【答案】C
【8题答案】
【答案】B
二、选择题：本题共 3小题，每小题 6分，共 18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题
目要求．全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得 0分．
【9题答案】
第 6页/共 8页
【答案】ABD
【10题答案】
【答案】AD
【11题答案】
【答案】AB
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分．
【12题答案】
【答案】
【13题答案】
【答案】 ##
【14题答案】
【答案】
四、解答题：本题共 5小题，共 77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
【15题答案】
【答案】（1）证明见解析
（2）
【16题答案】
【答案】（1）
（2）青年男性有较好体验的概率为 ，青年女性有较好体验的概率为 ，且青年男性更大
（3）该游戏软件的使用体验与体验者的性别有关
【17题答案】
【答案】（1） ；
（2）不是，理由见解析.
【18题答案】
【答案】（1） ；
（2）① 在 上单调递增，证明见解析；②证明见解析
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【19题答案】
【答案】（1）
（2）当 时， 存在“ —圆点”；当 时， 不存在“ —圆点”．
（3）证明见解析
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