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绝密★启用前 A. B.
绥化市第七中学 2025-2026 学年度第二学期 4 月阶段检测 C. D.
7.已知 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ，若 为 的中点，
高一数学
边 上的中线 长为 ，则 面积的最大值为( )
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 A. B. C. D.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干 8.已知向量 ，则与向量 同向的单位向量的坐标为( )
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 A. B. C. D.
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 二、多选题：本题共 3小题，共 18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9. 易经 是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，其中八卦深邃的哲理解释了自然、社会现象．如图
第 I卷（选择题）
所示的是八卦模型图，其平面图形 图 中的正八边形
一、单选题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符
，其中 为正八边形的中心，则下列说法正确的
合题目要求的。
是( )
1.已知复数 ，则 的虚部是( )
A. B. C. D. A. B.
2.在 中， ， ， ，则 ( ) C. D. 和 能构成一组基底
A. B. C. D. 10.如图，圆锥 的底面半径为 ，侧面积为 ， 是圆锥的一个轴截面，则下列结论正确的是( )
3.设有两条不同的直线 ， 和两个不同的平面 ， ，则下列命题正确的是( )
A.圆锥的母线长为
A.若 ， ，则
B.圆锥 的侧面展开图的圆心角为
B.若 ， ，则
C.由 点出发绕圆锥侧面一周，又回到 点的细绳长度的最小值为
C.若 ， ，则
D.若 ， ， ，则 D.该圆锥内部可容纳的球的最大半径为
4. 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，若 ， ， ，则 为( ) 11. ， 且 ，下列说法正确的是
A. B. C. D. ( )
A. 的最小值是 B. 在 上投影向量为
5.圣 索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美为了
估算圣 索菲亚教堂的高度，某人在教堂的正东方向找到一座建筑物 ，高约为 ，在它们之间的地面 C. 的范围 D.
上的点 三点共线 处测得建筑物顶 、 第 II卷（非选择题）
教堂顶 的仰角分别是 和 ，在建筑物顶
三、填空题：本题共 3小题，每小题 5分，共 15分。
处测得教堂顶 的仰角为 ，则可估算圣 索
( ) 12. 为 内一点，且 ，则 的面积与 的面积的比值为菲亚教堂的高度 约为
A. B. 13.若正方形 边长为 ， 、 分别为 、 的中点， 为线段 上动点 含端点 ，则 的最
C. D. 小值为 ．
6.已知平面内两个不共线的向量 和 ， ，且 和 的夹角为 ，若 与 的夹角为
钝角，则实数 的取值范围为( )
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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14.如图所示，在边长为 的等边三角形 中， ，且点 在以 的中点 为圆心， 为半
径的半圆上，则 最大值为 ，若 ，则 的最大值
为 ；
四、解答题：本题共 5小题，共 77分。解答应写出文字说明，证明过
程或演算步骤。
15. 本小题 分 17. 本小题 分
已知 ，且 与 的夹角为 ，求：
在 中角 、 、 所对的边长为 、 、 ，向量 ，且
；
．
与 的夹角；
若 ，求 ；
若向量 与 垂直，求实数 的值．
若 ，求 的周长．
18. 本小题 分
关于 的方程 的根为 ．
求 的值；
16. 本小题 分 求 的值及 ， 的值．
已知向量 ， ，函数 ．
求函数 的单调递增区间；
若 ，且 ，求 的值；
将 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象当 时，求函数 的值域．
19. 本小题 分
中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ，且 ．
求角 ；
若 ， ，求 和 ．
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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答案和解析 所以 ，
所以由正弦定理可得 ，
1.【答案】
【解析】解：复数 ，其虚部为 ． 所以 ，
故选： ．
则在直角 中， ．
结合复数的四则运算，以及复数的概念，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的概念，属于基础题． 即圣 索菲亚教堂的高度约为 ．
2.【答案】 故选： ．
6.【答案】
【解析】解：因为 ， ， ，
【解析】解：因为 ，所以 ， ，
所以由余弦定理得： ， 因为 和 的夹角为 ，所以 ，
因为 ，所以 ． 因为 与 的夹角为钝角，
故选： ． 所以 ，且 与 不反向共线，
由余弦定理求得 ，再结合 的取值范围即可求得． 所以 ，即 ，解得 ，
本题考查余弦定理的应用，属于基础题．
由 与 反向共线可得 ，
3.【答案】
所以实数 的取值范围为 ．
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
故选： ．
对于 ，若 ， ，则 或 ，A错误；
由向量夹角为钝角建立不等式，求解即可．
对于 ，若 ， ，则 或 ， 相交，B错误；
本题考查平面向量的数量积与夹角，属于基础题．
对于 ，由面面平行的性质，若 ， ，则 ，C正确；
7.【答案】
对于 ，若 ， ， ，则 ， 可以平行，可以异面，可以相交，D错误．
【解析】解：因为 ，由余弦定理可得 ，
故选： ．
根据空间中直线与平面、平面与平面平行的性质与判定，平面与平面垂直的性质与判定逐个选项分析即可． 可得 ，
本题考查直线与平面的位置关系，涉及平面与平面平行的性质，属于基础题．
在 中，可得 ，
4.【答案】
因为 为 的中点，边 上的中线 长为 ，
【解析】解：由 ， ， ，
则 ，两边平方可得
可得 ．
，
故选： ．
根据余弦定理求解即可． 即 ，可得 的最大值为 ，
本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
所以 ．
5.【答案】
【解析】解：由题可得在直角 中， ， ， 所以该三角形的面积的最大值为 ．
所以 ， 故选： ．
由题意及余弦定理可得 的值，再由中线的向量表示及基本不等式可得 的最大值，可得该三角形面
在 中， ， ，
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积的最大值． 此时圆锥的高为 ，
本题考查余弦定理的应用，三角形面积公式的应用，基本不等式的性质的应用，属于中档题．
由等面积法得 ，
8.【答案】
解得 ，
【解析】解：因为 ，
则 ， 则该圆锥内部可容纳的球的最大半径为 ，故选项 D正确．
所以与向量 的方向相同的单位向量为 ． 故选： ．
故选： ． 确定圆锥的侧面展开图，再结合选项逐个判断即可．
9.【答案】 本题考查空间几何体展开图的相关问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．
【解析】解：对于 选项， ， 选项错误． 11.【答案】
对于 选项， ， 选项正确． 【解析】解：由题意可知， ，
对于 选项，由于八边形 为正八边形，故 ，且 ， 而 ， ，
故 ，所以选项 C正确． 则 ，即 ，又 ， ，则 ，
对于 选项，由于 和 不共线，故 和 能构成一组基底，所以 D正确． 对于 ， ，
故选： ．
当且仅当 时取等号，A错误；
根据正八边形的几何特点，结合向量线性运算和平行关系的判断，对每个选项逐一分析，即可判断和选择．
本题考查平面向量的线性运算，属于中档题． 对于 ， ， 在 上投影向量 ，B正确；
10.【答案】
对于 ， ，C正确；
【解析】解：圆锥的侧面展开图如图所示：
对于 ， ，
当且仅当 ，即 时取等号，D正确．
故选： ．
根据给定条件，利用共线向量的坐标表示，再利用基本不等式求解判断 ；求出投影向量判断 ；求出模
设圆锥的母线长为 ，底面半径为 ， 的范围判断 ．
因为圆锥 的侧面积为 ， 本题主要考查向量的坐标运算，属于基础题．
解得 ， 12.【答案】
则圆锥的母线长为 ，故选项 A正确； 【解析】解：取 的中点为 ，连接 ，如下图所示：
圆锥 的侧面展开图的圆心角 ，故选项 B错误；
由 点出发绕圆锥侧面一周，
又回到 点的细绳长度最小值为圆锥侧面的展开图得到的扇形的圆心角所对的弦长 ，
，故选项 C正确；
球与圆锥内切时，球的半径最大， 易知 ，又 ，可得 ，
此时球心在轴 上，且内切球的大圆内切于圆锥的轴截面，
因此可得 ， ， 三点共线，
设内切球的半径为 ，
易知 与 的公共边为 ，设 点到边 的距离为 ，
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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可知 到边 的距离为 ， 到边 的距离为 ，
所以 ．
故答案为： ．
结合平面向量共线定理求出两个三角形的高的比值，即可求得面积比值．
本题主要考查向量共线定理的应用，考查计算能力，属于基础题．
13.【答案】 则 ，
【解析】解：建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ， ， ， 则 ， ， 由题意得 的轨迹为以 为圆心， 为半径的半圆，其轨迹方程为 ，
设 在线段 上，直线 方程为 ， 设 ， ，
又 ， ， 则 ，
则
因为 ，
所以 ，
，
当且仅当 时， 取最小值 ． 所以 ，
故答案为： ．
所以当 时， ，此时 取得最大值 ．
由平面向量数量积的运算，结合二次函数最值的求法求解即可．
故答案为： ； ．
本题考查了平面向量数量积的运算，重点考查了二次函数最值的求法，属中档题．
14.【答案】 第一空：根据线性运算法则，可得 ，根据数量积公式，可得
，根据 ， 的范围，分析即可得答案；
第二空：以 为原点，建立平面直角坐标系，可得各点坐标及 的轨迹方程，设出 点坐标，根据题意，可
【解析】解：由题意，
得 的表达式，分析即可得答案．
， 本题考查平面向量数量积的性质及运算，属中档题．
15.【答案】解： 因为 ，且 与 的夹角为 ，
所以
所以 ，
，
所以 ；
因为 ，故当 时，
取得最大值为 ； 因为 ，
以 为原点， 为 轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示， 所以 ，
又因为 ，
所以 ，
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因为 ，所以 与 的夹角为 ； 根据向量数量积坐标运算、二倍角和辅助角公式可化简得到 ，利用整体代换的方式可求得单调递增
因为向量 与 垂直， 区间；
所以 ，
根据 的范围可确定 ，由 ，结合两角和差公式可求得
所以 ，
结果；
所以 ，解得 或 ，
根据三角函数平移变换可得 ，由余弦型函数值域求法可求得结果．
所以实数 的值为 或 ．
本题考查了平面向量数量积的坐标运算和三角函数的性质，属于中档题．
【解析】 利用平面向量的模的运算求解；
17.【答案】
利用平面向量的夹角公式求解；
【解析】解： 根据题意可知， ，得 ，
根据向量 与 垂直，建立方程求解即可．
本题考查平面向量的数量积与夹角求法，属于中档题． 在 中，由正弦定理得 ，而 ，则 ， ，
16.【答案】 ； 当 时，由余弦定理得 ，
； ，所以 ；
． 当 时，则 ，
由 知 ，则 ，显然 为锐角，
【解析】解： 已知向量 ， ，函数 ，
根据平面向量数量积的坐标公式可得： 解得 ，由正弦定理得 ，
所以 的周长 ．
利用向量共线的坐标表示及正弦定理角化边求出 ， ，再利用余弦定理求出 ，进而求出 ；
，
由三角恒等变换，结合条件求出 ，再利用正弦定理求解．
令 ，解得： ， 本题考查了余弦定理，解三角形，属于中档题．
的单调递增区间为 ； 18.【答案】 ； ；
由 得： ， 【解析】解： 方程 的根为 ，
， ， 则 ， ，
又 ， ， 又因为 ，所以 ，
联立 解得： ， ， ，
，
所以 ．
由 可知 ，所以 ，
；
将 的图象向左平移 个单位长度得到函数 的图象， ，
则 ，
．
当 时， ，
根据韦达定理及同角三角函数的关系解方程组即可求出 ， ， ，代入表达式中即可；
即 的值域为 ．
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※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
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根据韦达定理求出 ，根据二倍角公式求出 ， ．
本题主要考查二倍角的三角函数值，属于基础题．
19.【答案】 ，
【解析】解： 由 可得， ，即
，
又 ，
所以 ，又 ，
所以 ；
由 ，可得 ，
又 ， ，即 ，可得 ，
故 ， ．
由诱导公式及二倍角公式进行化简可求 ，进而可求 ；
根据余弦定理即可求解．
本题主要考查余弦定理的应用，考查计算能力，属于中档题．
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
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