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小题满分练1
(分值：73分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.设集合A={x∈N|-x2+4x+5≥0}，B={1，2，4}，则 AB等于(　　)
A.{1，3} B.{3，5}
C.{0，3，5} D.{-1，0，3，5}
2.若z=，则等于(　　)
A.+i B.+i
C.-i D.-i
3.直线l：x-y=0被圆C：(x-1)2+y2=1所截得的弦长为(　　)
A.1 B.
C. D.2
4.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为1，若将其截去三棱锥A-A1B1D1，则剩余部分几何体的体积为(　　)
A. B.
C. D.
5.若sin2θ=cos θ，则cos 2θ等于(　　)
A.-3 B.2-
C.-2 D.3-
6.在平行四边形 ABCD中，=，=，CE与BF相交于点G，若=a，=b，则等于(　　)
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
7.(2025·河池模拟)一家银行有VIP客户和普通客户，VIP客户占客户总数的30%，普通客户占客户总数的70%.已知VIP客户的信用卡欺诈概率为2%，而普通客户的信用卡欺诈概率为5%.现在随机抽取一个发生信用卡欺诈的客户，则这个客户是VIP客户的概率是(　　)
A. B.
C. D.
8.已知定义域为R的函数f(x)满足：①f(-1-x)是偶函数；②在(-∞，-1]上单调递增.若x1<0，x2>0，且 x1+x2+2>0，则f(x1)与 f(x2)的大小关系是(　　)
A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)C.f(x1)=f(x2) D.无法确定
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A.ω=2
B.φ=
C.y=f是奇函数
D.当x∈[3π，4π]时，f(x)的图象与x轴有2个交点
10.定义min{x，y}表示x，y中的最小者，设函数f(x)=min{x2-3x+3，3-|x-3|}，则(　　)
A.f(x)有且仅有一个极小值点为
B.f(x)有且仅有一个极大值点为3
C. x∈(-∞，2]∪[5，+∞)，f(x)≤1
D. k∈R，f(x)≤k恒成立
11.(2025·武汉模拟)已知圆O：x2+y2=8，直线l与圆O交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点P为圆O上异于A，B的任意一点，若x1x2+y1y2=-4，x1+y1=x2+y2>0，则(　　)
A.∠AOB=
B.△PAB面积的最大值为6
C.直线l的方程为y=-2x+2
D.圆O上满足到直线l的距离为的点P有且仅有3个
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.若曲线y1=x3与曲线y2=aln x相切，则a=　　　　.
13.抛掷一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满100次时结束，设抛掷的次数为X，则随机变量X的数学期望E(X)=　　　　.
14.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左顶点是A，右焦点是F，点P是双曲线C右支上异于顶点的动点，∠AFP的平分线与直线AP交于点N，过N作NM⊥x轴，垂足是M，若=恒成立，则双曲线C的离心率为　　　　. 小题满分练1
(分值：73分)
一、单项选择题(每小题5分，共40分)
1.设集合A={x∈N|-x2+4x+5≥0}，B={1，2，4}，则 AB等于(　　)
A.{1，3} B.{3，5}
C.{0，3，5} D.{-1，0，3，5}
答案　C
解析　因为集合A={x∈N|-x2+4x+5≥0}={x∈N|x2-4x-5≤0}={0，1，2，3，4，5}，B={1，2，4}，
则 AB={0，3，5}.
2.若z=，则等于(　　)
A.+i B.+i
C.-i D.-i
答案　A
解析　z===，
则=+i.
3.直线l：x-y=0被圆C：(x-1)2+y2=1所截得的弦长为(　　)
A.1 B.
C. D.2
答案　A
解析　圆C：(x-1)2+y2=1的圆心C(1，0)，半径r=1，
点C到直线l：x-y=0的距离d=，
所以所求弦长为2=2=1.
4.已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的体积为1，若将其截去三棱锥A-A1B1D1，则剩余部分几何体的体积为(　　)
A. B.
C. D.
答案　D
解析　设点A到平面A1B1C1D1的距离为h，四边形A1B1C1D1的面积为S，
显然有1=Sh，
所以=×Sh=，
因此剩余部分几何体的体积为1-=.
5.若sin2θ=cos θ，则cos 2θ等于(　　)
A.-3 B.2-
C.-2 D.3-
答案　B
解析　因为sin2θ=cos θ=1-cos2θ，
所以cos θ=.
故cos 2θ=2cos2θ-1=2-.
6.在平行四边形 ABCD中，=，=，CE与BF相交于点G，若=a，=b，则等于(　　)
A.a+b B.a+b
C.a+b D.a+b
答案　A
解析　因为B，G，F三点共线，
所以可设=x+(1-x)，x∈R，
所以=xa+b，
因为C，G，E三点共线，
所以可设=y+(1-y)，y∈R，
因为=a，=b，
所以=+=a+b，
所以=a+(1-y)(a+b)=a+(1-y)b，
所以xa+b=a+(1-y)b，
即解得
所以=a+b.
7.(2025·河池模拟)一家银行有VIP客户和普通客户，VIP客户占客户总数的30%，普通客户占客户总数的70%.已知VIP客户的信用卡欺诈概率为2%，而普通客户的信用卡欺诈概率为5%.现在随机抽取一个发生信用卡欺诈的客户，则这个客户是VIP客户的概率是(　　)
A. B.
C. D.
答案　A
解析　记事件A为“客户是VIP客户”，事件B为“客户是普通客户”，事件E为“客户发生信用卡欺诈”，
则P(A)=，P(B)=，P(E|A)=，P(E|B)=，
由全概率公式得
P(E)=P(E|A)P(A)+P(E|B)P(B)=×+×=，
由条件概率公式得P(A|E)====.
8.已知定义域为R的函数f(x)满足：①f(-1-x)是偶函数；②在(-∞，-1]上单调递增.若x1<0，x2>0，且 x1+x2+2>0，则f(x1)与 f(x2)的大小关系是(　　)
A.f(x1)>f(x2) B.f(x1)C.f(x1)=f(x2) D.无法确定
答案　A
解析　由f(-1-x)是偶函数，则f(-1+x)=f(-1-x)，
即函数f(x)的图象关于直线x=-1对称，且f(-2-x)=f(x)，
因为f(x)在(-∞，-1]上单调递增，
所以f(x)在(-1，+∞)上单调递减，
因为x1<0，x2>0，且x1+x2+2>0，
所以-2-x2若x1≤-1，则-2-x2则f(-2-x2)若-10，则x2>x1>-1，
所以f(x2)综上可得，f(x1)>f(x2).
二、多项选择题(每小题6分，共18分)
9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示，则(　　)
A.ω=2
B.φ=
C.y=f是奇函数
D.当x∈[3π，4π]时，f(x)的图象与x轴有2个交点
答案　AD
解析　由题图可知，T=2×=π，
故ω==2，
f=sin=1，
故+φ=+2kπ，k∈Z，
由于|φ|<，则φ=，
故f(x)=sin，故A正确，B错误；
y=f=sin=cos 2x为偶函数，故C错误；
令f(x)=sin=0，
则2x+=kπ，k∈Z，
故x=-+，k∈Z，
当x∈[3π，4π]时，此时x=-+或x=-+4π，故D正确.
10.定义min{x，y}表示x，y中的最小者，设函数f(x)=min{x2-3x+3，3-|x-3|}，则(　　)
A.f(x)有且仅有一个极小值点为
B.f(x)有且仅有一个极大值点为3
C. x∈(-∞，2]∪[5，+∞)，f(x)≤1
D. k∈R，f(x)≤k恒成立
答案　ACD
解析　由题意知，
函数f(x)=作出函数f(x)的图象，如图所示，
由图象知，f(x)有且仅有一个极小值点为，所以A正确；
f(x)有两个极大值点1和3，所以B错误；
令f(x)≤1，可得或或解得x≤2或x≥5，
即当x∈(-∞，2]∪[5，+∞)时，f(x)≤1，所以C正确；
由图象知，当x=3时，函数f(x)的最大值f(3)=3，
所以存在实数k=3，使得f(x)≤k恒成立，所以D正确.
11.(2025·武汉模拟)已知圆O：x2+y2=8，直线l与圆O交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点P为圆O上异于A，B的任意一点，若x1x2+y1y2=-4，x1+y1=x2+y2>0，则(　　)
A.∠AOB=
B.△PAB面积的最大值为6
C.直线l的方程为y=-2x+2
D.圆O上满足到直线l的距离为的点P有且仅有3个
答案　BD
解析　对于A，依题意，·=x1x2+y1y2=-4，||=||=2，
则cos∠AOB==-，而0≤∠AOB≤π，解得∠AOB=，故A错误；
对于B，|AB|=2|OA|cos =2，圆心O到直线l的距离为|OA|sin =，因此点P到直线l距离的最大值为3，△PAB面积的最大值为×2×3=6，故B正确；
对于C，由x1+y1=x2+y2，得x1-x2=-(y1-y2)，直线l的斜率k=-1，
设直线l的方程为y=-x+m，则圆心O到直线l的距离为=，解得m=±2，由x1+y1=x2+y2>0，
得x1+y1=m>0，因此m=2，直线l的方程为y=-x+2，故C错误；
对于D，由圆O的半径为2，圆心O到直线l的距离为，得圆O上到直线l距离为的点有且仅有3个，因此符合条件的点P有且仅有3个，故D正确.
三、填空题(每小题5分，共15分)
12.若曲线y1=x3与曲线y2=aln x相切，则a=　　　　.
答案　e
解析　因为y1=f(x)=x3与y2=g(x)=aln x相切，
其中f'(x)=x2，g'(x)=，
设切点为，
则
故ln x0=，
解得x0=，a=e.
13.抛掷一枚质地均匀的硬币，一直到出现正面向上时或抛满100次时结束，设抛掷的次数为X，则随机变量X的数学期望E(X)=　　　　.
答案　2-
解析　由题意，在第n(1≤n≤99)次结束抛掷的概率为，第100次结束抛掷的概率为，X=1，2，…，100，
所以E(X)=1×+2×+3×+…+99×+100×，
则E(X)=1×+2×+3×+…+98×+199×，
故E(X)=++…++200×-199×
=++…++=1-，
所以E(X)=2-.
14.已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的左顶点是A，右焦点是F，点P是双曲线C右支上异于顶点的动点，∠AFP的平分线与直线AP交于点N，过N作NM⊥x轴，垂足是M，若=恒成立，则双曲线C的离心率为　　　　.
答案　
解析　如图所示，过点P作PH⊥AF交AF于点H，可得△ANM∽△APH，
因为=，
所以|AM|=，
设P(x0，y0)，
则|PF|=ex0-a，|AF|=a+c，
由FN为∠AFP的平分线，
可得==，
所以==，
由△ANM∽△APH，可得=，
所以|AM|=·|AH|=(x0+a)
=(a+c)，
把e=代入整理得(7a-3c)x0=a(3c-7a)，
所以7a=3c，
所以双曲线C的离心率e==.

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